混沌臨界值對(duì)混沌系統(tǒng)檢測(cè)性能的影響分析

石 敏

(1. 水聲對(duì)抗技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 廣東 湛江 524022；2. 中國(guó)人民解放軍91388部隊(duì), 廣東 湛江 524022)

混沌臨界值對(duì)混沌系統(tǒng)檢測(cè)性能的影響分析

石 敏1,2

(1. 水聲對(duì)抗技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 廣東 湛江 524022；2. 中國(guó)人民解放軍91388部隊(duì), 廣東 湛江 524022)

利用混沌系統(tǒng)進(jìn)行微弱信號(hào)檢測(cè)時(shí)，確定系統(tǒng)由混沌態(tài)轉(zhuǎn)化為大尺度周期態(tài)的混沌臨界閾值至關(guān)重要。仿真表明：選取不同精度的混沌臨界閾值將對(duì)混沌系統(tǒng)檢測(cè)性能產(chǎn)生影響，選取的臨界閾值精度越高，能夠檢測(cè)到信號(hào)的信噪比越低，但同時(shí)其對(duì)噪聲檢測(cè)的虛警率也越高。因此，實(shí)際檢測(cè)中需根據(jù)檢測(cè)要求來(lái)選取合適精度的臨界閾值，以使檢測(cè)性能達(dá)到檢測(cè)要求。

微弱信號(hào)檢測(cè)；混沌系統(tǒng)檢測(cè)性能；混沌臨界值

0 引 言

利用混沌系統(tǒng)進(jìn)行微弱信號(hào)檢測(cè)的基本原理是混沌系統(tǒng)具有對(duì)噪聲及與其內(nèi)置信號(hào)頻差較大信號(hào)免疫，而對(duì)與混沌系統(tǒng)內(nèi)置信號(hào)頻差較小信號(hào)敏感的特點(diǎn)[1–5]。

當(dāng)混沌系統(tǒng)處于由混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)化為大尺度周期狀態(tài)的臨界狀態(tài)時(shí)，若輸入噪聲則系統(tǒng)仍保持混沌狀態(tài)，而輸入與之同頻率的微弱信號(hào)，則系統(tǒng)迅速進(jìn)入大尺度周期狀態(tài)，據(jù)此可以檢測(cè)待測(cè)信號(hào)中是否含有微弱信號(hào)[6–10]。

在混沌微弱信號(hào)檢測(cè)中，如何確定混沌臨界值至關(guān)重要[11]。仿真中發(fā)現(xiàn)：選取不同精度的臨界值將影響混沌系統(tǒng)的檢測(cè)性能，本文主要研究不同精度的臨界值將如何影響系統(tǒng)的檢測(cè)性能。

1 混沌系統(tǒng)微弱信號(hào)檢測(cè)的基本原理

考慮可用于任意頻率微弱信號(hào)檢測(cè)的 duffing 混沌檢測(cè)系統(tǒng)，其 duffing 方程為：

式中，ω 和γ分別為混沌系統(tǒng)內(nèi)置信號(hào)頻率和幅度；k為阻尼系數(shù)，一般取 k=0.5；（x–x3）為非線性項(xiàng)和分別為 x 的一階和二階微分。

隨著γ值的變化，系統(tǒng)的相軌跡將發(fā)生變化，歷經(jīng)同宿軌道、倍周期分叉軌道、混沌狀態(tài)及大尺度周期狀態(tài)等，當(dāng)γ等于混沌臨界閾值 γd時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌臨界狀態(tài)。此時(shí)若輸入純?cè)肼暎到y(tǒng)仍保持混沌狀態(tài)，若輸入含有與內(nèi)置信號(hào)頻率相同的信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)迅速?gòu)幕煦鐮顟B(tài)轉(zhuǎn)化為大尺度周期狀態(tài)，據(jù)此可檢測(cè)微弱信號(hào)是否存在。

2 混沌系統(tǒng)臨界閾值的確定

Lyapunov 指數(shù)可用于定量確定系統(tǒng)的狀態(tài)和混沌臨界值：系統(tǒng)的最大 Lyapunov 特性指數(shù)大于 0，說(shuō)明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當(dāng)系統(tǒng)的最大 Lyapunov 特性指數(shù)小于 0 時(shí)，說(shuō)明系統(tǒng)處于大尺度周期狀態(tài)；當(dāng) Lyapunov 特性指數(shù)由大于 0 轉(zhuǎn)為小于 0，則說(shuō)明系統(tǒng)從混沌態(tài)躍變到了周期態(tài)，最大 Lyapunov 特性指數(shù)符號(hào)轉(zhuǎn)變的那一刻所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)內(nèi)置信號(hào)幅值即為系統(tǒng)臨界閾值。文獻(xiàn)[12]中給出了 Lyapunov 指數(shù)的具體計(jì)算方法及利用該指數(shù)計(jì)算系統(tǒng)臨界閾值的方法。

表1 11 個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 Lyapunov 指數(shù)值Tab. 1 Lyapunov characteristic exponents corresponding to 11 sample points

圖1 系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的時(shí)域圖和相軌跡圖Fig. 1 Time-domain diagramand phase contrail diagramof chaotic system

由表1 可知，小數(shù)點(diǎn)后取 3 位的混沌臨界閾值為γd=0.825，由圖1 中 γ=0.825 和 γ=0.826 對(duì)應(yīng)的時(shí)域圖和相軌跡圖也可以判定 0.825 是混沌臨界閾值。

若要取更高精度的臨界閾值，則可將 [0.825， 0.826] 以 0.000 1 為步長(zhǎng)進(jìn)行等分，同樣計(jì)算各采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 Lyapunov 指數(shù)，根據(jù) Lyapunov 指數(shù)值得到更高精度的臨界閾值，得到其精度取小數(shù)點(diǎn)后 4 位對(duì)應(yīng)的臨界閾值為 0.825 8。該過(guò)程一直持續(xù)下去，直到得到預(yù)先設(shè)置的精度。這里以小數(shù)點(diǎn)后 8 位為設(shè)置精度，得到各采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 Lyapunov 指數(shù)如表2 所示。

由表2 可知，小數(shù)點(diǎn)后取 8 位對(duì)應(yīng)的混沌臨界閾值為 γd=0.825 843 00。

表2 12 個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 Lyapunov 指數(shù)值Tab. 2 Lyapunov characteristic exponents corresponding to 12 sample points

3 不同精度的臨界值對(duì)檢測(cè)性能的影響

由第 2 節(jié)可知式（1）中的 duffing 混沌系統(tǒng)的臨界閾值按不同精度可取為 0.82，0.825，0.825 8 和 0.825 843 00。

（6）收益轉(zhuǎn)讓：支付期內(nèi)，無(wú)論發(fā)明人、創(chuàng)建人或作者、參與者是否在慕尼黑工業(yè)大學(xué)任職，相關(guān)費(fèi)用都由慕尼黑工業(yè)大學(xué)支付。相關(guān)人員如果離開慕尼黑工業(yè)大學(xué)，不能帶走其收益部分，而是要轉(zhuǎn)給所在部門。如果調(diào)入慕尼黑工業(yè)大學(xué)另一所屬機(jī)構(gòu)，其收益可隨之轉(zhuǎn)入。

3.1 只輸入高斯白噪聲時(shí)對(duì)混沌系統(tǒng)檢測(cè)性能的影響

將 duffing 系統(tǒng)處于混沌臨界狀態(tài)，即將式（1）中的γ分別取為 0.82，0.825，0.825 8，0.825 843 00時(shí)，在系統(tǒng)中加入高斯白噪聲，式（1）變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

式中：γd為混沌臨界閾值；n（t）為高斯白噪聲。

理論上，高斯白噪聲輸入到處于混沌臨界狀態(tài)的混沌系統(tǒng)中，系統(tǒng)仍保持混沌狀態(tài)不變，即系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的最大 Lyapunov 指數(shù)應(yīng)保持為正數(shù)。但仿真實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)在不同精度的臨界閾值下輸入一定功率的白噪聲也會(huì)引起系統(tǒng)的狀態(tài)變化，即系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的最大 Lyapunov指數(shù)可能會(huì)變?yōu)樨?fù)數(shù)。

以輸入噪聲功率為 10–6為例，分別取 γd=0.82， 0.825，0.825 8，0.825 843 00，每個(gè)臨界閾值下進(jìn)行100 次仿真實(shí)驗(yàn)，得到噪聲功率為 10–6時(shí)，各仿真中系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的最大 Lyapunov 指數(shù)如圖2 所示。

圖2 在不同精度臨界閾值下，系統(tǒng)輸入功率為 10–6的高斯白噪聲后，系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的最大 Lyapunov 指數(shù)Fig. 2 Maximal Lyapunov exponent of chaotic systemafter inputting gauss noise with power 10–6into the systemunder different precision critical value

定義輸入噪聲時(shí)，系統(tǒng)的虛警率為：

由圖2 可知，γd=0.82，0.825，0.825 8，0.825 843 00時(shí)，對(duì)應(yīng)的虛警率分別為 0%，0%，7%，62%。隨著混沌臨界閾值的不斷精確，系統(tǒng)對(duì)噪聲越來(lái)越敏感，其虛警率增加，原因如下：

1）噪聲的頻帶很寬，其包含外力驅(qū)動(dòng)力頻率的窄帶可能導(dǎo)致系統(tǒng)由混沌臨界狀態(tài)跳變到大尺度周期狀態(tài)；

3.2 輸入含噪信號(hào)時(shí)對(duì)檢測(cè)性能的影響

在式（1）的 duffing 系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)時(shí)，加入含噪信號(hào)，其變?yōu)椋?/p>

式中：γd和 n（t）與式（2）的意義相同；a 為待測(cè)信號(hào)幅度。

理論上，含噪信號(hào)輸入到處于混沌臨界狀態(tài)的混沌系統(tǒng)中，系統(tǒng)應(yīng)從混沌狀態(tài)迅速轉(zhuǎn)化為大尺度周期狀態(tài)，即系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的最大 Lyapunov 指數(shù)變?yōu)樨?fù)數(shù)。但仿真實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)在不同精度的臨界閾值下輸入一定信噪比的含噪信號(hào)也可能不會(huì)引起系統(tǒng)的狀態(tài)變化，即系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的最大 Lyapunov 指數(shù)仍保持為正數(shù)。

以輸入噪聲為 10–6，輸入信號(hào)的信噪比為–10 dB為例，分別取 γd=0.82，0.825，0.825 8，0.825 843 00，每個(gè)臨界閾值下進(jìn)行 100 次仿真實(shí)驗(yàn)，得到噪聲功率為 10–6，信噪比為–10 dB 時(shí)，各仿真中系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的最大 Lyapunov 指數(shù)如圖3 所示。

其中信噪比的定義為：

定義輸入含噪信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的檢測(cè)率為：

由圖3 可得，γd=0.82，0.825，0.825 8，0.825 843 00時(shí)，對(duì)應(yīng)的檢測(cè)率分別為 0%，0%，100%，100%。可見，隨著臨界閾值的不斷精確，系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的靈敏度增加，這主要是因?yàn)殡S著臨界閾值的不斷精確，系統(tǒng)越來(lái)越接近周期狀態(tài)，其有序度增加，微小的信號(hào)加入到系統(tǒng)中就可以引起系統(tǒng)狀態(tài)的改變。

圖3 在不同精度臨界閾值下，系統(tǒng)輸入信噪比為–10 dB，噪聲功率為 10–6的含噪信號(hào)后，系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的最大 Lyapunov 指數(shù)Fig. 3 Maximal Lyapunov exponent of chaotic systemafter inputting signal with SNR–10 dB and noise with power 10–6into the systemunder different precision critical value

3.3 不同情況下的檢測(cè)性能

取噪聲功率分別為 10–6，10–4和 10–2，信噪比分別為–10 dB，–20 dB，–30 dB，–35 dB 和–40 dB，得到的總檢測(cè)結(jié)果如表3 所示。

表3 混沌系統(tǒng)在不同情況下的檢測(cè)性能Tab. 3 Detection performance of chaotic systemunder different cases

從表可見，不同精度的臨界值將影響混沌系統(tǒng)的檢測(cè)結(jié)果，當(dāng)選取的臨界值精度越高時(shí)，其能檢測(cè)到信號(hào)的信噪比越低，但其虛警率也越高，因此實(shí)際檢測(cè)時(shí)需根據(jù)檢測(cè)的要求來(lái)選取合適精度的臨界閾值。從表中還可看到噪聲強(qiáng)度對(duì)混沌系統(tǒng)檢測(cè)性能也會(huì)產(chǎn)生影響，這將在下一階段中詳細(xì)研究。

4 結(jié) 語(yǔ)

在混沌系統(tǒng)微弱信號(hào)檢測(cè)中，一般利用 Lyapunov指數(shù)定性確定混沌系統(tǒng)中由混沌態(tài)轉(zhuǎn)化為大尺度周期態(tài)的臨界閾值，而選取具有不同精度的臨界閾值將影響系統(tǒng)的檢測(cè)性能，臨界閾值的精度越高，能夠檢測(cè)到的信噪比越低，但同時(shí)虛警率也越高，因此實(shí)際檢測(cè)中需根據(jù)對(duì)檢測(cè)性能的要求選取合適精度的臨界閾值進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)。

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Influence analysis of critical value on detection performance of chaotic system

SHImin1,2(1. Science and Technology on Underwater Acoustic Antagonizing Laboratory, Zhanjiang 524022, China; 2. No. 91388 Unit of PLA, Zhanjiang 524022, China)

Determining the critical value of chaotic systemwhich brings the systemfromchaotic state to large-scale periodic state is very important in detecting weak signal by chaotic system. Simulation shows that choosing critical value of chaotic systemwith different precision will influence the detection performance of chaotic system. The higher precision of critical value of chaotic system, the signal with lower SNR (SNR, signal to noise ratio) can be detected by chaotic system, while the higher false alarmrate is derived. Therefore in actual signal detection, suitable precision of critical value of chaotic systemshould be chosen based on detection requirement in order to bring detection performance achieve the detection requirement.

weak signal detection；detection performance of chaotic system；critical value of chaotic system

TP391

A

1672–7619(2016)10–0137–05

10.3404/j.issn.1672-7619.2016.010.028

2016–03–02；

2016–05–10

石敏(1979–)，女，博士，工程師，主要從事水聲信號(hào)處理方面的研究。