數(shù)值積分的基本思想、術(shù)語(yǔ)及Maltab實(shí)現(xiàn)

楊亞輝,李志平,齊圓華（海南軟件職業(yè)技術(shù)學(xué)院,海南　瓊海　571400）

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數(shù)值積分的基本思想、術(shù)語(yǔ)及Maltab實(shí)現(xiàn)

楊亞輝,李志平,齊圓華
（海南軟件職業(yè)技術(shù)學(xué)院,海南瓊海571400）

摘 要：介紹了數(shù)值積分的基本思想、術(shù)語(yǔ)及MATLAB實(shí)現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：數(shù)值積分，Newton-Cotes公式；高斯求積法；自適應(yīng)求積法；MATLAB

1　引語(yǔ)

用牛頓-萊布尼茲公式（Newton-leibniz formula）計(jì)算定積分在理論和解決實(shí)際問(wèn)題中有很大的作用，但求解積分仍有很多困難。如涉及的初等函數(shù)的積分沒(méi)有或很難找到其有由初等函數(shù)構(gòu)成的解析表達(dá)式。或被積函數(shù)沒(méi)有函數(shù)表達(dá)式，只是一些由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或計(jì)算機(jī)的模擬輸出得到的函數(shù)關(guān)系（表格或圖形）。因此，探討近似計(jì)算的數(shù)值積分方法是有明顯的實(shí)際意義的。

在這些情況下, 必須對(duì)定積分

的值進(jìn)行數(shù)值逼近（近似），這就是數(shù)值積分（numerical integration）。我們來(lái)看兩個(gè)例子：

例1：制造橢圓管

用平板材料制造橢圓管。為構(gòu)成一個(gè)軸長(zhǎng)分別為a和b的橢圓，首先要找一個(gè)寬為L(zhǎng)=2 aE的薄板，其中E是完全橢圓的積分

k2=。E沒(méi)有初等函數(shù)的理論分析表達(dá)式。

例2：用數(shù)值積分求誤差函數(shù)

誤差函數(shù)erf( x )

常出現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)應(yīng)用和一些拋物線類的微分方程的解中。方程（1）的積分也不能通過(guò)解析的辦法求值。數(shù)值積分在積分的解析式已知時(shí)也很有用，但是這樣做計(jì)算起來(lái)會(huì)有困難或不方便。對(duì)數(shù)值積分方法的選擇多少與f( x )的性質(zhì)或類型有關(guān)。所有的數(shù)值積分方法都要求f( x )可以在區(qū)間的任意x上求值。如果f( x )有奇異點(diǎn)（即對(duì)區(qū)間上的某些x*來(lái)說(shuō)有，就要特別警惕。到目前為止，還沒(méi)有任何一種數(shù)值積分法可以適用于所有的積分。

2　數(shù)值積分的基本思想和術(shù)語(yǔ)

數(shù)值積分也叫數(shù)值求積（numerical quadrature）。術(shù)語(yǔ)“求積”的本意是“求與某個(gè)平面圖形有相同面積的正方形的邊長(zhǎng)”。這表明了數(shù)值積分的一個(gè)基本的計(jì)算策略：考慮定積分，

在積分所限定的區(qū)間中，被積函數(shù)f( x )的插值式在n個(gè)點(diǎn)處求值，這些點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)（node）。節(jié)點(diǎn)用xi表示，并假設(shè)它們有序且各不相同（即。

已經(jīng)知道，分段多項(xiàng)式的插值比單個(gè)多項(xiàng)式的全局插值更加優(yōu)秀，這個(gè)結(jié)論對(duì)數(shù)值積分方法也適用。將整個(gè)閉區(qū)間[a , b ]劃分為N個(gè)小段（panel）。在每個(gè)小段上對(duì)f( x )進(jìn)行低階多項(xiàng)式逼近。對(duì)每個(gè)小段上的逼近多項(xiàng)式積分時(shí)，就得到基本公式（basic rule）：)。

基本公式涉及用足夠的(x , f ( x ))對(duì)來(lái)定義分段多項(xiàng)式的某一段，將此公式應(yīng)用到N個(gè)小段并把結(jié)果相加得到了復(fù)合公式（composite rule），或稱為擴(kuò)展公式（extended rule）：

截?cái)嗾`差可用代數(shù)精度衡量，代數(shù)精度越高，誤差越小；反之誤差越大。代數(shù)精度是用來(lái)衡量數(shù)值積分公式近似程度的辦法，如果是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)m的代數(shù)多項(xiàng)式，（2）式等號(hào)成立；而當(dāng)是一個(gè)m + 1次多項(xiàng)式時(shí)，（3）式不能精確成立，則稱（3）式的代數(shù)精度為m。

在一個(gè)小段中節(jié)點(diǎn)的位置和數(shù)目決定了基本公式的很多重要特性。當(dāng)節(jié)點(diǎn)均勻分布時(shí)，所用的積分公式就叫做Newton-Cotes公式。相反，高斯求積公式要選擇作為正交多項(xiàng)式零點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)。高斯求積公式的截?cái)嗾`差比相同數(shù)目節(jié)點(diǎn)的Newton-Cotes公式的要小得多。雖然高斯求積公式難于推導(dǎo)，但是在程序中實(shí)現(xiàn)時(shí)不會(huì)有明顯的困難。

自適應(yīng)（adaptive）數(shù)值積分法通過(guò)估計(jì)截?cái)嗾`差來(lái)決定是否需要更密的分布節(jié)點(diǎn)，從而達(dá)到指定精度。若需要增加節(jié)點(diǎn)，函數(shù)會(huì)在新節(jié)點(diǎn)處重新求值，截?cái)嗾`差也要重新估計(jì)。

3　數(shù)值積分的Maltab實(shí)現(xiàn)

MATLAB符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱(Symbolic Math Toolbox)求數(shù)值積分的常用命令如下：

矩形公式命令sum(y) %輸出一個(gè)向量y的分量的和，按矩形公式計(jì)算積分的近似值。

梯形公式命令trapz(x,y)%輸入向量x=[x0,x1,…,xn]，輸出同維數(shù)的向y=[f0,f1,… ,fn],按梯形公式計(jì)算積分近似值。

梯形公式命令trapz(y)%按梯形公式計(jì)算積分，但取步長(zhǎng)h=1.辛普森公式quad('fun',a,b)%計(jì)算函數(shù)fun從a到b的定積分,自動(dòng)選擇步長(zhǎng)，誤差為10-3。

辛普森公式quad8('fun',a,b)%用高精度計(jì)算，效果比quad更好。

參考文獻(xiàn)：

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基金項(xiàng)目：海南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（編號(hào)：112008）

DOI :10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.01.250