基于多項式的擬合推估法在GPS高程轉換中的應用

劉瑋,石杏喜

(南京理工大學土木工程系,江蘇南京 210094)

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基于多項式的擬合推估法在GPS高程轉換中的應用

劉瑋,石杏喜

(南京理工大學土木工程系,江蘇南京 210094)

摘要:對于GPS道路高程轉換問題,常采用多項式擬合、神經網絡和平均加權法進行擬合,這些方法都存在一些模型上的缺陷,造成精度降低。文中采用基于多項式的擬合推估法進行GPS道路高程轉換,并通過工程實例對幾種轉換方法進行比較分析,證明擬合推估法比單一轉換模型具有更高的精度和可靠性。

關鍵詞:公路;高程轉換;多項式擬合推估;高程異常

擬合推估法即最小二乘配置法,是根據最小二乘原理,集合經典測量平差、濾波、推估于一身,根據特定的擬合法則,對隨機參數和非隨機參數進行推估,使其精度更高的一種處理方法。常規的平面擬合、曲面擬合、多面函數擬合等都是擬合一個與大地水準面相似的趨勢面,沒有考慮趨勢面與大地水準面之間的差值,也就是將全部待定參數看作非隨機變量;平均加權擬合法是將高程異常值與站點平面坐標建立函數關系,對地形起伏所引起的噪聲信號進行擬合,也就是將待定參數看作隨機變量。無論是只考慮非隨機變量還是只考慮隨機變量,在理論上都是不全面的,實踐中的應用也有局限。

1 多項式擬合法原理

多項式擬合法方程為:

式中:x、y分別為點的縱、橫坐標;a1,a2,…,a6為擬合系數。

式(1)中a1,a2,…,a6是6個待定系數,需要知道至少6個控制點才能計算出高程異常。如果式(1)中只有a1,a2,a3前三項,即為平面擬合。擬合系數可以由測區里已知點的高程異常,通過最小二乘原理求得。

誤差方程為:

則矩陣形式為:

根據最小二乘原理可求得:

2 最小二乘配置法的原理

最小二乘配置的一般函數模型為:

式中:L為觀測向量;X為濾波參數,即隨機參數;Y為傾向參數,即非隨機參數;Δ為觀測噪聲,Δ～N(0,DΔ)。

設觀測點推估信號為X′,則式(5)可以寫成:

式中:C=[B,0];Z=[X,X′]T。

已知先驗信息E(X)=μX,var(X)=DX,E(X′)=μX′,var(X′)=DX′,X與X′的協方差為DXX′=DX′X,噪聲Δ與X、X′的協方差是相互獨立的,即DΔX′=0,DΔX=0。則誤差方程為:

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根據最小二乘原理:

式中:V為觀測值L的改正數;VZ為Z的先驗期望E(Z)的改正數。

從而得:

設B=I(單位陣)、μX=0、μX′=0,且不考慮噪聲誤差,則式(9)可表示為:

得到未測點的平差值為:

3 協方差函數

運用最小二乘配置模型計算異常值的過程中要預先知道各信號間的協方差,這是其成敗的關鍵所在。實際應用中需知道各測站高程異常這一信號之間的協方差等。協方差陣往往通過協方差函數計算得到。假定協方差只與i、j兩點間的距離有關,而與點間的點位和方向無關,這就是隨機函數。協方差函數的確定與選擇將直接影響估計值的精度。

協方差函數的嚴密表達式難以準確獲得,實際中通常采用經驗協方差函數根據觀測得到的數據對其進行估計,即預先選擇一個符合協方差函數條件、形式簡單的函數作為協方差函數,根據觀測值采用擬合方法求得所選協方差函數中的待定參數。

確定協方差函數的方法有多項式擬合、高斯曲線函數擬合、一般指數函數擬合、多面函數擬合、希爾沃年函數擬合等。鑒于一般實測中GPS高程測量和水準測量重合點不是很多,采用多面函數擬合協方差函數比較合理。

鑒于擬合區域小且GPS高程測量與水準測量重合點不多,選取平方根函數作為協方差函數,即:

由已知點的坐標(x,y)構成協方差矩陣DX:

協方差矩陣是對稱方陣,其中主對角線元素σ21,…,σ2n分別是信號X的方差,σij=σji是協方差;由已知點坐標和未知點構成協方差矩陣DX′X;求得上述協方差矩陣即可通過式(10)、式(11)求得未知點的高程異常。

4 模型精度評定

模型的符合精度是根據參與擬合的已知點的實測高程與擬合高程的差值進行計算的,已知點的擬合精度稱作內符合精度,檢核點的符合精度稱作外符合精度。其計算公式分別為:

式中:n為已知點個數;m為檢核點個數。

5 實例分析

在南京某標段市政道路上設置測量點,并布置控制網,結合GPS測量及二等精密水準測量分別對各點進行試驗研究。為了獲得更好的試驗結果,控制點盡量均勻分布,并覆蓋整個控制網(見圖1)。選取7個已知點(KZ1～KZ7)參與擬合,7個點(D1 ～D7)作為檢核點,分別計算其擬合殘差及內外符合精度。已知點、檢核點的數據見表1、表2。

圖1 控制網中控制點和待測點分布

本例中高程異常量值變化不大,若要達到更好的擬合精度,需將測區內全部已知點的高程異常按一定間距作等高線(見圖2),從中找出已知點的最佳組合。如果個別高程異常變化量比較明顯,則不適合作為擬合點和檢核點。

在進行擬合計算前,先將各控制點的平面坐標減去一個常數,避免數據差異過大產生奇異矩陣,使計算更加穩定。擬合出高程異常ξ后,根據高程關系式即可求出正常高。

通過編程計算,可求得平面擬合法、平面擬合+最小二乘配置法、二次曲面和二次曲面+最小二乘配置法4種方法的擬合高程異常,并計算出擬合殘差、內外符合精度,比較各種方法的優劣(見表3、表4和圖3、圖4)。

表1 控制點坐標和高程異常

表2 待測點坐標、擬合高程和高程異常

圖2 高程異常柱狀圖

從表3、表4和圖3、圖4可看出:平面擬合已知點的最大擬合殘差為-1.19 cm,檢核點的最大擬合殘差為-1.36 cm;平面擬合+最小二乘配置法已知點的最大擬合殘差為-0.9 cm,檢核點的最大擬合殘差為-1.10 cm;二次曲面擬合法已知點的最大擬合殘差為0.6 cm,檢核點的最大擬合殘差為0.96 cm;二次曲面+最小二乘配置法已知點的最大擬合殘差為-0.1 cm,檢核點的最大擬合殘差為0.9 cm。二次曲面+最小二乘配置法的內外符合精度均高于其他3種方法。

表3 已知點高程異常推估值及擬合殘差

表4 檢核點高程異常推估值及擬合殘差

圖3 已知點擬合殘差

圖4 檢核點擬合殘差

6 結論

(1)就單一模型而言,二次曲面擬合法的精度高于平面擬合法;增加最小二乘配置的多項式模型的精度高于單一模型,其精度在已知點擬合中表現更為明顯。其原因是單一擬合模型易受到地形和模型的限制而影響其精度;基于多項式的擬合推估法的綜合模型吸收了單一模型的優點,擬合精度高。

(2)最小二乘配置法中的協方差函數是一種統計函數,在高程異常資料稀少的地區很難確定。同時協方差函數能否正確反映信號的相關性,不僅與所選函數有關,還與參與協方差函數擬合的樣本質量及容量有關。

(3)不同的協方差函數會影響擬合數據精度,鑒于一般實測中GPS高程測量和水準測量重合點不是很多,采用平方根函數比較合理、簡便。

(4)平面擬合法、多項式擬合法及基于多項式的擬合推估法都能滿足精度要求。不過,這與數據的質量和點位分布的均勻程度有著很大關系。

參考文獻:

[1]梁正英,董鴻聞.精密水準測量的理論和實踐[M].北京:測繪出版社,2004.

[2]鐘連琨,黃發秀.GPS水準擬合方式的統計分析以及擬合方式的選擇[J].工程勘察,2000(5).

[3]沙月進.最小二乘配置法在GPS高程擬合中的應用[J].測繪信息與工程,2000(3).

[4]姚道榮,鐘波,汪海洪,等.最小二乘配置與普通Kriging法的比較[J].大地測量與地球動力學,2008,28(3).

[5]劉念.擬合推估的質量理論[D].鄭州:解放軍信息工程大學,2003.

[6]劉念.最小二乘插值與擬合推估[J].測繪科學,2002,27(3).

[7]Koch K R,Yang Y.Robust Kalman filter for rank deficient observation models[J].Journal of Geodesy,1998,72(8).

收稿日期:2015-10-20

中圖分類號:U412.3

文獻標志碼:A

文章編號:1671-2668(2016)02-0088-04