半空間上MHD方程弱解的衰減下界

呂　鍇

(東華大學 理學院， 上海 201620)

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半空間上MHD方程弱解的衰減下界

呂鍇

(東華大學 理學院， 上海 201620)

摘要：研究了磁流體力學(MHD)方程的弱解在半空間+上的衰減性質，通過建立一族產生弱衰減的初值， 得到了MHD方程的衰減下界.

關鍵詞：磁流體力學(MHD)方程； 半空間； 衰減下界

磁流體力學(MHD)方程的一般形式為

(1)

對于方程(1)的Cauchy問題，文獻[1]構造了一類類似于Navier-Stokes方程的Leray-Hopf弱解的整體弱解.在全空間n上方程(1)的Cauchy問題的衰減性質的研究上，已有不少研究成果.文獻[2-3]在文獻 [4]的基礎上研究了強解的衰減性質.而對于弱解的衰減性質的研究，可以參見文獻[5-7].然而上述針對全空間n問題的結論，大多使用Fourier變換法，并不適用于半空間+∶={x=(x1，x2， …，xn)∈n；xn>0}問題.對于半空間上的MHD方程，文獻[8]研究了弱解的L2衰減.文獻[9]證明了當半空間上的Navier-Stokes方程(N-S)的初值在滿足一定條件的情況下，可以得到N-S弱解的衰減下界的估計.本文在文獻[9]研究成果的基礎上，得到了半空間+上的MHD方程的相關結論.

(2)

1主要結論

在介紹本文的主要結論之前，首先給出一些符號的定義.

簡便起見，將Ar簡寫為A.

下面給出方程(2)弱解的定義[10].

定義1.1若(u，B)滿足以下條件：

-(u(t)， φ(t))+(u(s)， φ(s))

-(B(t)， φ(t))+(B(s)， φ(s))，

(3)

(iii) 能量不等式

(4)

則稱(u，B)為方程(2)在上的弱解.

其中：m≥0， α， γ， δ>0.

假設考慮滿足以下條件的初值：

(A2)a′(x′，xn)=(a1(x′)η1(xn)， (a2(x′)η1(xn)， …，an-1(x′)η1(xn))∶=a″(x′)η1(xn)和b′(x′，xn)=(b1(x′)η2(xn)， (b2(x′)η2(xn)， …，bn-1(x′)η2(xn))∶=b″(x′)η2(xn)，其中ηi∈L2(且滿足對幾乎所有的，都有，這里的表示ηi相對于xn的奇延拓，即

定理1.1若n≥3，a，b∈Lr((滿足假設(A1)～(A3)，且r和m滿足(i)或(ii)：

則存在T>1及常數C>0，使得當t≥T時，方程(2)的任意弱解(u，B)都有

(5)

定理1.1為本文主要結論.

2Stoke方程及熱方程解的衰減

(6)

其中：q需滿足1

(7)

其中：C=C(n， m， α， γ， δ)>0.

定理2.1[9]若n≥3，a滿足假設(A1)～(A3)，則當t≥1時，有

(8)

其中：C=C(n， m， α， γ， δ)>0.

定理2.2若n≥3，b滿足假設(A1)～(A3)，則當t≥1時，有

(9)

其中：C=C(n， m， α， γ， δ)>0.

證明：因為bn≡0，所以有hn(t)≡0和h′(t)=eΔtb′.因此，由Plancherel定理和Fubini定理，有

(10)

對于I1，由引理2.1可知，存在C=C(n-1， m， α， γ， δ)>0，使得當t≥1時，有

(11)

(12)

3MHD方程解的衰減

本節研究MHD方程解的衰減性質并給出定理1.1的證明.為了估計非線性項，首先給出以下引理.

(13)

引理3.2設1≤r<2 ，a，b∈Lr(對于方程(2)的任意弱解(u， B)，當t→∞時，有

(14)

證明：設λ=λ(t)為(0， ∞)上的光滑函數，則

(15)

同理可得

(16)

(17)

(18)

由引理3.1，有

‖Eλ(t)u(t)‖2≤‖e-t Aa‖2+

(19)

‖Eλ(t)u(t)‖2≤

(20)

y(t)-g(t， s)+z(s)≤y(s)

(21)

z′(τ)=-λ(τ)y(τ)≤

-λ(τ)[y(t)-g(t， τ )+z(τ)]

(22)

設Z(τ)≥0為方程Z′(τ)=λ(τ)Z(τ)的解，將式(22)乘上Z(τ)，并對τ作(s， t)上的積分

(23)

對式(23)作分部積分，因為z(t)=0， g(t， t)=0，所以

(24)

取λ(τ)=m τ-1， m>0，則Z(τ)=τm.令s→0，得

(25)

(26)

(27)

下面將分情況進行討論.

因此，有

引理3.3若1≤r<2， a， b∈Lr(假設v(t)=e-t Aa和h(t)=eΔ tb,則對于方程(2)的任意弱解(u，B)，當t→∞時，有

‖u(t)-v(t)‖2+‖B(t)-h(t)‖2=

(28)

證明：設P(t)∶=u(t)-v(t)，Q(t)∶=B(t)-h(t)， (u，B)滿足能量不等式(4)，v和h滿足能量不等式

因此有

(29)

在式(3)中取試驗函數φ(τ)=v(τ)和ψ(τ)=h(τ).此外，因為dv/dt=-Av，dh/dt=Δh，所以可得

(u(t)， v(t))=

(30)

(B(t)， h(t))=

(31)

將式(30)和(31)代入式(29)，有

(32)

(33)

‖‖ ‖b‖‖u(τ)‖

(34)

(35)

同理，由命題2.1，有

(36)

(37)

設λ=λ(t)為(0， ∞)上的光滑函數，類似引理3.2中式(15)的證明，有

(38)

同理可知

(39)

e-(t -τ)AEλ(t)φ)|dτ≤

(40)

同理有

(41)

類似引理3.2中的證明，可得

(42)

取λ(t)=m t-1，其中m>0足夠大，有

(43)

此時注意到，若1≤r<2， (u， B)滿足

下面將分情況進行討論.

綜上所述，引理3.3得證.

定理1.1的證明.

所以，存在T≥1，使得

再由三角不等式以及定理2.1和2.2，有

‖u(t)‖2+‖B(t)‖2≥

‖v(t)‖2-‖u(t)-v(t)‖2+

‖h(t)‖2-‖B(t)-h(t)‖2≥

綜上所述，定理1.1得證.

參考文獻

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《東華大學學報(自然科學版)》征稿簡則

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Lower Bound of the Energy Decay of the Weak Solution of the MHD Equations in the Half-Space

LüKai

(College of Science， Donghua University， Shanghai 201620， China)

Abstract：An asymptotic behavior of weak solution of the magneto-hydrodynamic(MHD) equations in the half-space + is studied. By constructing a class of initial data which cause slow decay， lower bound of the energy decay of the MHD equations is obtained.

Key words：magneto-hydrodynamic(MHD) equations； half-space； lower bound of the energy decay

中圖分類號：O 175.14

文獻標志碼：A

作者簡介：呂鍇(1988—)，男，江西南昌人，碩士研究生，研究方向為磁流體力學方程.E-mail：faustxxiv@gmail.com

收稿日期：2014-10-23

文章編號：1671-0444(2016)01-0160-07