二維空間中具間接信號產出趨化模型解的整體存在性

劉冬梅

(東華大學 信息科學與技術學院， 上海 201620)

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二維空間中具間接信號產出趨化模型解的整體存在性

劉冬梅

(東華大學 信息科學與技術學院， 上海 201620)

摘要：考慮一個山松甲殼蟲的擴散和聚集趨化模型，該模型由兩個反應-擴散方程和一個常微分方程構成.證明了對任意的充分光滑的初始值該模型整體解的存在性，從而排除了解在有限時間爆破的可能性，討論了該模型在初始細胞質量適當小的假設下整體解的有界性.

關鍵詞：趨化性； 間接信號產出； 整體存在性； 有界性

趨化性是指由信號濃度的空間變化而引起的細胞的偏向運動.著名的趨化數學模型(以下簡稱KS模型)是由Keller-Segel提出[1].設細胞的密度為u=u(x，t)，而相應的信號濃度為w=w(x，t)，則上述提及KS模型如下：

在KS模型的基礎上，本文研究的是在文獻[8]中提出的關于山松甲殼蟲聚集模式的模型.近年來，由于氣候變暖，主要生活在加拿大的山松甲殼蟲快速繁殖，并給森林造成了巨大的危害.它們把卵產在松樹上，直到第二年夏天時，幼蟲變為成蟲離開樹洞，然后繼續攻擊下一批松樹，再準備產卵.需要強調的是：做窩的甲殼蟲通過釋放一種化學物質來吸引飛行的甲殼蟲[8].而本文關心的是這種甲殼蟲的擴散和聚集行為.

設飛行的甲殼蟲的密度為u=u(x，t)，做窩的甲殼蟲的密度為v=v(x，t)，相應的信號濃度為w=w(x，t)，則關于甲殼蟲的模型[8]如下：

(1)

其中：Ω?Rn是一個光滑有界區域；參數δ>0.模型(1)中，第一個方程描述飛行的甲殼蟲密度隨時間的變化情況，等式右邊第一項表示飛行的甲殼蟲的隨機擴散，第二項表示飛行的甲殼蟲趨向于化學物質濃度增加的方向移動；第二個方程描述做窩的甲殼蟲密度隨時間變化情況，δ表示相應的死亡率；第三個方程表明化學信號由做窩的甲殼蟲產出，并隨時間衰減.

模型(1)給出了一個間接信號產出過程，即這種化學物質并不是由飛行的甲殼蟲直接產出，而是由飛行甲殼蟲轉變而來的做窩的甲殼蟲產出的.從數學的角度來說，模型(1)和KS模型的一個本質區別在于：由直接信號產出的KS模型，在二維空間中，當初始細胞的質量大于某個特定值時，模型的解會在有限時間爆破；而間接信號產出的模型(1)是不可能在有限時間爆破的.更精確地說：

而當t→+∞時，解是否會爆破這一問題，目前尚不清楚，有待進一步深入研究.

如前面所述，KS模型存在臨界質量現象.另外一個有趣的問題是模型(1)是否也存在類似的臨界質量現象？本文將探討這一問題.

為了陳述結論，首先回顧Gagliardo-Nirenberg不等式：設Ω?R2是一個光滑有界區域，則對任意的u(x)∈W1， 2(Ω)，存在CG N=CG N(Ω)>0，使得

成立.

下面陳述有關模型(1)的一個小初值整體解有界的結果.

定理2假設n=2且設

‖u(·， t)‖L∞(Ω)≤C

成立.

1解的整體存在性：定理1的證明

利用合適的不動點方法可以證明關于模型(1)的解的局部存在唯一性結論.

進一步，如果Tmax<∞，則當t→Tmax時，有

‖u(·，t)‖L∞(Ω)→∞.

證明：該證明過程類似于文獻[9]，故在此不重復其細節.

由引理1.1知，要證明模型(1)的解在Ω×(0， ∞)上存在，需要建立u(·，t)在L∞(Ω)空間中的估計，即要證明：對任何T∈(0，Tmax)，存在某個常數C(T)，使得

‖u(·， t)‖L∞(Ω)≤C(T)，?t∈(0， T)

(2)

成立.

以下的質量估計是建立估計式(2)的起點.

引理1.2模型(1)的古典解(u，v，w)具有如下性質：

‖u(·， t)‖L1(Ω)=‖u0‖L1(Ω)，t∈(0， Tmax)，

(3)

‖v(·， t)‖L1(Ω)≤

(4)

‖v0‖L1(Ω)+‖w0‖L1(Ω)，t∈(0， Tmax).

(5)

證明：模型(1)中第一個方程在Ω上求積分，并利用分部積分和模型(1)中零流邊界條件得

由此推得

(6)

即式(3)成立.

模型(1)的第二個方程的兩邊在Ω上求積分得

據此并利用式(6)得

(7)

即式(4)成立.

類似地，有

解之并根據式(7)得

從而式(5)得證.

證明：模型(1)中第一個方程兩邊同時乘以lnu后再在Ω上積分，并利用分部積分、零流邊界條件及Young不等式得

(8)

其中：ε>0為任意常數.

接下來，模型(1)中第二個方程兩邊同時乘以2v后在Ω上積分，并利用Young不等式得

(9)

再由模型(1)中第三個方程兩邊同時乘以(-Δw)后在Ω上積分得

由此并利用Young不等式得

從而

(10)

綜合式(8)～(10)得

(11)

利用Gagliardo-Nirenberg不等式進一步估計式(11)中右邊第二個積分

(12)

舍棄不等式左邊后3個非負項得

(13)

則式(13)變為

y′(t)≤c1y(t)+c2，

即

從而引理1.3得證.

為了建立u的Lp估計，需先引入下列關于熱方程的正則性引理[9].

引理1.4假設n=2并設z0∈W1， ∞(Ω)， f∈L2(Ω)，z滿足方程

則對任意的1

‖z‖W1， q(Ω)≤C(q)‖f‖L2(Ω)，t>0.

(14)

證明：根據模型(1)中第三個方程知，式(14)是引理1.3和1.4的直接推論.

(15)

成立.

證明：根據模型(1)中的第一個方程直接計算，并利用Cauchy不等式得

(16)

進一步，由式(14)得：存在某個常數c1(p，T)，使得

(17)

再利用Gagliardo-Nirenberg不等式及式(3)估計式(17)中右邊的積分

因此

從而由Young不等式得

(18)

綜合式(16)～(18)得

因此

引理1.6得證.

定理1的證明：根據模型(1)中的第一個方程，利用估計式(14)和(15)及標準的Moser迭代[10]可以得到

‖u(·， t)‖L∞(Ω)≤C(T)，t∈(0， T).

(19)

據此并利用引理1.1及其中的延拓準則知：

Tmax=+∞，

從而定理1得證.

2解的有界性：定理2的證明

由解的整體存在性的證明過程可以看出，要證明模型(1)的解在Ω×(0， ∞)上有界，關鍵要建立u的Lp(Ω)(關于t的)一致先驗估計.下面的基本引理在后面將會用到.

引理2.1存在常數C>0，使得

(20)

成立.

證明：利用洛必達法則得

因此，存在某個常數A>1，使得s>A時成立

從而由Young不等式得

(21)

又因為

所以，存在c1>0， 滿足

(22)

綜合式(21)和(22)得

下面建立v的L2一致先驗估計.

引理2.2令n=2. 假設

(23)

(24)

則存在某個常數C>0，使得模型(1)的解滿足

(25)

證明：由式(8)得

(26)

再由式(9)得

(27)

最后由式(10)得

(28)

綜合式(26)～(28)得

由假設式(23)知：2δ-3≥0，因此

t>0，

滿足

t>0.

再根據引理2.1知

(29)

由式(12)得

(30)

將式(30)代入式(29)得

t>0，

z′(t)+z(t)≤c2.

解之得

z(t)≤z(0)e-t+c2(1-e-t)≤

z(0)+c2∶=c3，t>0.

因此

引理2.2證畢.

根據引理2.2和1.4可以直接得到下面的推論.

(31)

成立.

接下來，建立u的Lp(Ω)一致先驗估計.

(32)

成立.

證明：由式(16)得

(33)

進一步，利用Young不等式及式(31)得：存在某個常數c1(p)滿足

(34)

由式(18)得

(35)

綜合式(33)～(35)得

(36)

根據Young不等式得：存在常數c5(p)>0，使得

成立，由此并利用式(35)得

(37)

其中：η>0為任意常數.將式(37)代入式(36)的右邊得

解之得

因此引理2.4得證.

定理2的證明：根據模型(1)中的第一個方程，利用估計式(31)和(32)及標準的Moser迭代[10]可以得到：存在常數C>0，滿足

‖u(·， t)‖L∞(Ω)≤C，t>0.

由此定理2得證.

參考文獻

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Global Existence in the Two-Dimensional Chemotaxis Model with Indirect Signal Production

LIUDong-mei

(College of Information Science and Technology， Donghua University， Shanghai 201620， China)

Abstract：A chemotaxis model describing the diffusion and aggregation of the Mountain Pine Beetle is considered. The model consists of two reaction-diffusion equations and an ordinary differential equation. It is shown that the model admits global solution for arbitrarily sufficiently smooth initial data， which excludes the possibility of finite-time blow-up. The boundedness of solutions is asserted whenever the initial cell mass is appropriately small.

Key words：chemotaxis； indirect signal production； global existence； boundedness

中圖分類號：O 175.26

文獻標志碼：A

作者簡介：劉冬梅(1987—)，女，安徽宿州人，博士研究生，研究方向為偏微分方程及應用.E-mail： liudongmei121@sina.cn

收稿日期：2014-12-01

文章編號：1671-0444(2016)01-0137-08