高中函數的一些性質

【摘要】函數在高中的教學中占著核心的作用，是學習高等數學的基礎。本文將簡單的介紹函數單調性和對稱性以及奇偶性。

【關鍵詞】函數 單調性 對稱性 奇偶性

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）04-0081-02

一、函數的定義

在一個變化過程中，有兩個變量x、y，如果給定一個x值，相應的就確定唯一的一個y，那么就稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量，x的取值范圍叫做這個函數的定義域，相應y的取值范圍叫做函數的值域。

二、函數的單調性

函數的單調性也可以叫做函數的增減性。當函數 f（x）的自變量在其定義區間內增大（或減小）時，函數值f（x）也隨著增大（或減小），則稱該函數為在該區間上具有單調性。

1、函數單調性的定義：一般地，設函數 的定義域為D，如果對于屬于定義域D內某個區間上的任意兩個自變量的值 ， ，當 時，則有 （ ），那么 在區間D上是增函數（減函數）.

理解函數單調性時，應注意以下問題：

（1）函數的單調區間是定義域的子集，確定函數單調區間時，應首先確定其定義域，定義域中的 相對于單調區間具有任意性，不能用特殊值替代。

（2） 在區間D1 ，D2上是增函數，但 不一定在區間D1∪D2上是增函數；同樣 在區間D1 ，D2上是減函數，但 在區間D1∪D2上不一定是減函數.例如： 在區間 上為減函數，在 上也是減函數，但 在 上就不能說成是減函數。

2.1證明單調性的方法

1 用定義法證明函數 單調性的一般步驟是：

（1）取值：對任意 ，且 ；

（2）作差變形： ；

（3）定號得出結論

2用導函數研究函數的單調性：

（1）確定函數的定義域

（2）對函數求導

（3）解出導函數大于0或者小于等于0的x值

（4）當導函數大于等于0增函數，導函數小于等于0減函數

3通過四則運算確定函數的單調性

對于具有單調性的兩個子函數而言：他們的定義域沒有交集：

（1）兩個函數具有相同的單調性，那么兩個函數的和組成的新的函數單調性與原來的相同，但是兩個函數的減法，乘法，除法與原來的不一定相同。

（2）如果兩個函數的點調性相反，則新得到的函數（兩個函數相減或者相乘是增函數），但是新得到的函數（兩個函數做加法或者除法）是不能確定的

4.圖像法

函數的單調性還可以從圖像上進行描述，對于給定的區間上的函數f（x），函數圖像如果從左向右連續上升，則函數在該區間上單調遞增，此時導函數f（x）<0，；函數圖像如果從左向右連續下降，則函數在該區間上單調遞減，導函數f（x）<0.

函數單調性是函數的重要性質之一，函數的單調性在比較大小，證明不等式，解不等式，求最值，求值域以及實際問題中都有廣泛的應用。

三、函數的對稱性

1.函數的對稱性可分為軸對稱和中心對稱：

①函數軸對稱：如果一個函數的圖像沿一條直線對折，直線兩側的圖像能夠完全重合，則稱該函數具備對稱性中的軸對稱，該直線稱為該函數的對稱軸。

②中心對稱：如果一個函數的圖像沿一個點旋轉180度，所得的圖像能與原函數圖像完全重合，則稱該函數具備對稱性中的中心對稱，該點稱為該函數的對稱中心。

2、常見函數的對稱性

常數函數 軸對稱和中心對稱 直線上的所有點均為它的對稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對稱軸

一次函數 軸對稱和中心對稱

二次函數 軸對稱但不是中心對稱 其對稱軸方程為x=-b/（2a）

反比例函數 軸對稱和中心對稱 原點為它的對稱中心，y=x與y=-x均為它的對稱軸

指數函數 不是軸對稱且不是中心對稱

對數函數

冪函數 奇函數中心對稱，偶函數軸對稱，其他冪函數不具備對稱性 奇函數中心對稱，對稱中心是原點；偶函數軸對稱，對稱軸是y軸

正弦函數 軸對稱和中心對稱 其中（kπ，0）是它的對稱中心，x=kπ+π/2是它的對稱軸。

余弦函數 既是軸對稱又是中心對稱 x=kπ是它的對稱軸，

（kπ+π/2，0）是它的對稱中心

正切函數 不是軸對稱，但是中心對稱 其中（kπ/2，0）是它的對稱中心

三次函數 三次函數中的奇函數是中心對稱，對稱中心是原點，而其他的三次函數是否具備對稱性得因題而異。 奇函數是中心對稱，對稱中心是原點，而其他的三次函數是否具備對稱性得因題而異。

絕對值函數 y=f（│x│）和y=│f（x）│兩類。前者顯然是偶函數，它會關于y軸對稱；后者是把x軸下方的圖像對稱到x軸的上方 偶函數，它會關于y軸對稱

y=│lnx│就沒有對稱性，而y=│sinx│卻仍然是軸對稱。

3.1函數的對稱性

1、具體函數特殊的對稱性

一個函數一般是不會關于x軸的：因為一個x不會對應兩個y的值。若，原曲線上有點（x，y），當點（x，-y）在圖像上，那么該曲線關于x軸對稱；當點（-x，y）在圖像上，那么該曲線關于y軸對稱；當點（-x，-y）也在圖像上，那么該曲線關于原點對稱；當點（y，x）也在圖像上，那么該曲線關于y=x對稱；當點（-y，-x）也在圖像上，那么該曲線關于y=-x軸對稱。

2、抽象函數的對稱性

性質1 若函數 關于直線 軸對稱，則以下三個式子成立且等價：

四、函數的奇偶性

4.1函數的奇偶性定義以及判定

先看定義域是否關于原點對稱，如果不是關于原點對稱，則函數沒有奇偶性。若定義域關于原點對稱則 ，f（x）是偶函數， ，f（x）是奇函數。

以上的兩幅圖分別是函數 和 ，由于偶函數自變量是關于y軸對稱的而且，左右兩邊自變量的函數值是相等的，所以能夠輕易辨別，左邊的是偶函數，右邊不關于y軸對稱，所以不是偶函數。下面的圖同理可得，左邊為奇函數，而右邊并非奇函數。

在函數的性質中，對稱性與函數的奇偶性乃至周期性三者密切相關，掌握其關聯，這對學習函數或者是解決函數問題都有很大的幫助。

參考文獻：

[1]黃麗，高中函數單調性的概念教學研究[J]，2014

[2]常莪，高中函數教學研究與實踐[J]，2009

[3]祁紅，函數的性質——單調性[J]，學科教學，2013.3、

作者簡介：

牟銳（1982—）男，湖北利川人，任教于湖北恩施高中。