高中函數(shù)的一些性質(zhì)

【摘要】函數(shù)在高中的教學(xué)中占著核心的作用，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。本文將簡單的介紹函數(shù)單調(diào)性和對稱性以及奇偶性。

【關(guān)鍵詞】函數(shù) 單調(diào)性 對稱性 奇偶性

【中圖分類號】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）04-0081-02

一、函數(shù)的定義

在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量x、y，如果給定一個(gè)x值，相應(yīng)的就確定唯一的一個(gè)y，那么就稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量，x的取值范圍叫做這個(gè)函數(shù)的定義域，相應(yīng)y的取值范圍叫做函數(shù)的值域。

二、函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性也可以叫做函數(shù)的增減性。當(dāng)函數(shù) f（x）的自變量在其定義區(qū)間內(nèi)增大（或減小）時(shí)，函數(shù)值f（x）也隨著增大（或減小），則稱該函數(shù)為在該區(qū)間上具有單調(diào)性。

1、函數(shù)單調(diào)性的定義：一般地，設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)镈，如果對于屬于定義域D內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值 ， ，當(dāng) 時(shí)，則有 （ ），那么 在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）.

理解函數(shù)單調(diào)性時(shí)，應(yīng)注意以下問題：

（1）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)首先確定其定義域，定義域中的 相對于單調(diào)區(qū)間具有任意性，不能用特殊值替代。

（2） 在區(qū)間D1 ，D2上是增函數(shù)，但 不一定在區(qū)間D1∪D2上是增函數(shù)；同樣 在區(qū)間D1 ，D2上是減函數(shù)，但 在區(qū)間D1∪D2上不一定是減函數(shù).例如： 在區(qū)間 上為減函數(shù)，在 上也是減函數(shù)，但 在 上就不能說成是減函數(shù)。

2.1證明單調(diào)性的方法

1 用定義法證明函數(shù) 單調(diào)性的一般步驟是：

（1）取值：對任意 ，且 ；

（2）作差變形： ；

（3）定號得出結(jié)論

2用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性：

（1）確定函數(shù)的定義域

（2）對函數(shù)求導(dǎo)

（3）解出導(dǎo)函數(shù)大于0或者小于等于0的x值

（4）當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于等于0增函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)小于等于0減函數(shù)

3通過四則運(yùn)算確定函數(shù)的單調(diào)性

對于具有單調(diào)性的兩個(gè)子函數(shù)而言：他們的定義域沒有交集：

（1）兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性，那么兩個(gè)函數(shù)的和組成的新的函數(shù)單調(diào)性與原來的相同，但是兩個(gè)函數(shù)的減法，乘法，除法與原來的不一定相同。

（2）如果兩個(gè)函數(shù)的點(diǎn)調(diào)性相反，則新得到的函數(shù)（兩個(gè)函數(shù)相減或者相乘是增函數(shù)），但是新得到的函數(shù)（兩個(gè)函數(shù)做加法或者除法）是不能確定的

4.圖像法

函數(shù)的單調(diào)性還可以從圖像上進(jìn)行描述，對于給定的區(qū)間上的函數(shù)f（x），函數(shù)圖像如果從左向右連續(xù)上升，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)導(dǎo)函數(shù)f（x）<0，；函數(shù)圖像如果從左向右連續(xù)下降，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減，導(dǎo)函數(shù)f（x）<0.

函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，函數(shù)的單調(diào)性在比較大小，證明不等式，解不等式，求最值，求值域以及實(shí)際問題中都有廣泛的應(yīng)用。

三、函數(shù)的對稱性

1.函數(shù)的對稱性可分為軸對稱和中心對稱：

①函數(shù)軸對稱：如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一條直線對折，直線兩側(cè)的圖像能夠完全重合，則稱該函數(shù)具備對稱性中的軸對稱，該直線稱為該函數(shù)的對稱軸。

②中心對稱：如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，所得的圖像能與原函數(shù)圖像完全重合，則稱該函數(shù)具備對稱性中的中心對稱，該點(diǎn)稱為該函數(shù)的對稱中心。

2、常見函數(shù)的對稱性

常數(shù)函數(shù) 軸對稱和中心對稱 直線上的所有點(diǎn)均為它的對稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對稱軸

一次函數(shù) 軸對稱和中心對稱

二次函數(shù) 軸對稱但不是中心對稱 其對稱軸方程為x=-b/（2a）

反比例函數(shù) 軸對稱和中心對稱 原點(diǎn)為它的對稱中心，y=x與y=-x均為它的對稱軸

指數(shù)函數(shù) 不是軸對稱且不是中心對稱

對數(shù)函數(shù)

冪函數(shù) 奇函數(shù)中心對稱，偶函數(shù)軸對稱，其他冪函數(shù)不具備對稱性 奇函數(shù)中心對稱，對稱中心是原點(diǎn)；偶函數(shù)軸對稱，對稱軸是y軸

正弦函數(shù) 軸對稱和中心對稱 其中（kπ，0）是它的對稱中心，x=kπ+π/2是它的對稱軸。

余弦函數(shù) 既是軸對稱又是中心對稱 x=kπ是它的對稱軸，

（kπ+π/2，0）是它的對稱中心

正切函數(shù) 不是軸對稱，但是中心對稱 其中（kπ/2，0）是它的對稱中心

三次函數(shù) 三次函數(shù)中的奇函數(shù)是中心對稱，對稱中心是原點(diǎn)，而其他的三次函數(shù)是否具備對稱性得因題而異。 奇函數(shù)是中心對稱，對稱中心是原點(diǎn)，而其他的三次函數(shù)是否具備對稱性得因題而異。

絕對值函數(shù) y=f（│x│）和y=│f（x）│兩類。前者顯然是偶函數(shù)，它會關(guān)于y軸對稱；后者是把x軸下方的圖像對稱到x軸的上方 偶函數(shù)，它會關(guān)于y軸對稱

y=│lnx│就沒有對稱性，而y=│sinx│卻仍然是軸對稱。

3.1函數(shù)的對稱性

1、具體函數(shù)特殊的對稱性

一個(gè)函數(shù)一般是不會關(guān)于x軸的：因?yàn)橐粋€(gè)x不會對應(yīng)兩個(gè)y的值。若，原曲線上有點(diǎn)（x，y），當(dāng)點(diǎn)（x，-y）在圖像上，那么該曲線關(guān)于x軸對稱；當(dāng)點(diǎn)（-x，y）在圖像上，那么該曲線關(guān)于y軸對稱；當(dāng)點(diǎn)（-x，-y）也在圖像上，那么該曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱；當(dāng)點(diǎn)（y，x）也在圖像上，那么該曲線關(guān)于y=x對稱；當(dāng)點(diǎn)（-y，-x）也在圖像上，那么該曲線關(guān)于y=-x軸對稱。

2、抽象函數(shù)的對稱性

性質(zhì)1 若函數(shù) 關(guān)于直線 軸對稱，則以下三個(gè)式子成立且等價(jià)：

四、函數(shù)的奇偶性

4.1函數(shù)的奇偶性定義以及判定

先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果不是關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)沒有奇偶性。若定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱則 ，f（x）是偶函數(shù)， ，f（x）是奇函數(shù)。

以上的兩幅圖分別是函數(shù) 和 ，由于偶函數(shù)自變量是關(guān)于y軸對稱的而且，左右兩邊自變量的函數(shù)值是相等的，所以能夠輕易辨別，左邊的是偶函數(shù)，右邊不關(guān)于y軸對稱，所以不是偶函數(shù)。下面的圖同理可得，左邊為奇函數(shù)，而右邊并非奇函數(shù)。

在函數(shù)的性質(zhì)中，對稱性與函數(shù)的奇偶性乃至周期性三者密切相關(guān)，掌握其關(guān)聯(lián)，這對學(xué)習(xí)函數(shù)或者是解決函數(shù)問題都有很大的幫助。

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作者簡介：

牟銳（1982—）男，湖北利川人，任教于湖北恩施高中。