數學符號在高中數學課堂上的解讀研究

孫啟柱

摘 要：數學符號是用以表示數量關系的記號，在高中數學教學中具有重要作用。根據新編教材統計得知，小學生群體每學期新增42個數學符號，初中生每學期新增120個數學符號，高中生每學期新增約54個數學符號，而這三類學生群體中，45%的學生只懂得一個數學符號的一種含義，38%的學生在逐年次的學習過程中遺忘了所學過的數學符號，這三類學生在符號意義獲得能力上經統計分析并無顯著性差異。由于學生年級逐次增長，所接觸的數學符號意義越來越抽象，也越來越復雜，教師在符號教學中基本都是一筆帶過，導致學生對數學符號意義的掌握情況不理想，學習數學的困難系數逐年遞增。因此，通過探究數學符號的起源、發展、應用歷程，以及數學符號在高中數學課堂中的解讀方法及其帶來的教學效益，嘗試建立一種符號與數學概念之間的教學聯系，從而推動高中數學教學的進一步發展。

關鍵詞：數學符號；高中數學；教學；策略

備受青年群體喜愛的韓寒在出版《三重門》和《零下一度》后接受某教育電視臺的采訪，對欄目組記者如是說：將來不從事數學研究的孩子，邏輯推理能力練習到初中二年級的水平就夠了。這種認識后來他也笑稱當時年輕胡亂調侃的話語不足以作為學習信條。著名數學家華羅庚指出，“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，地球之變，生物之謎，日用之繁”無一能離開數學。對數學地位如此精辟的概述，可見數學傳遞給世界的，除了邏輯推理知識以外，也有其獨特的藝術魅力。數學符號的理解性教學是數學學習的基礎，之所以高中年級的學生對數學運算的感知越來越困難，對數理邏輯系統掌握越來越不熟練，其根源都要追溯到數學符號認識的不深刻。重新對數學符號內容進行“補課”，對學生數學能力的提升，具有深遠意義。

一、數學符號的起源與發展

“×÷√±≠≡≮≯”是運算符號；“⊥‖∠⌒⊙≡≌△°|a|⊥∽”是幾何符號；“∝∧∨～∫≤≥≈∞”是代數符號；“∪∩∈Φ？埭”是集合符號；“？撞π（圓周率）@#※￥？駐？專∧？樁Ο？裝？撞？準Χ？追”是特殊符號；“←↑→↓？坼？坭？坨？坻∵ ∴ ∶ ∷”是推理符號。標點符號和其他象征意義的數理符號就不在此一一列舉了。這些數學符號擺在學生和教師面前，可以肯定的是并非所有學生都認識它們，并將它們進行科學正確地歸類。

數學符號作為一種語言象征獨立于其他類別的語言符號而存在，它們的出現比數字要晚得多，人類創造了數字并付諸實踐，發現單純的數字呈現并不能完整意義地說明數量之間的邏輯關系。因此，在早期貨物交換過程中，為了表達數量之間的邏輯關系，人們不得不一再進行口語化解釋。后來口語現場解釋解決不了異地、非面對面的交易問題，數學符號隨著書面文字的發展就應運而生了。如：“+”來源于十六世紀意大利科學家塔塔里亞的數理運算，它用意大利文“plu”的首個字母來表示“加”。隨著時代的遷移最終演變為“+”的形態并沿用至今。

二、數學符號的應用現狀

1.符號記憶不準確

1885年德國心理學家艾賓浩斯在實驗報告里展示了一張遺忘曲線圖（下圖），一方面它向全世界的教育學人士闡述了這樣一個觀點：記憶內容的保存量隨著時間的推移逐漸遞減，2天之后記憶存儲的內容就剩下知識總量的27.8%。艾賓浩斯給追求記憶效果的人們一個提高記憶存儲量的秘訣：重復。每20分鐘重復一遍所記憶的內容，曲線就會從58.2%的位置再次開始勾勒，依次重復下去，重復間隔時間越短，記憶保存量就越高，直到將知識點全部記憶下來為止。

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另一方面，細心的符號界人士不難看出，遺忘曲線是一個由文字、符號、數字、射線、曲線所組合而成的語言表達。橫坐標代表時間（天），縱坐標代表記憶保存比例，基本解讀即記憶保持比例隨時間推移逐步遞減。這就是數學符號的文字學表達。

學生從6歲以后步入校門，依次接觸小學、初中、高中數學課程，所涉及的常用數學符號達到200多種，涵蓋幾何、代數、運算、推理等不同類別。如此龐大的符號記憶總量，教師在課堂上“蜻蜓點水”式地講解以后，讓學生自行在習題中去消化，學生對符號含義的理解和掌握情況可見一斑了。如：符號∑表示“連加”，符號∏表示“連乘”，符號∪表示“并”，符號∩表示“補”，符號∈表示“屬于”，學生對這些基本符號都不認識，在正常習題練習當中又怎么可能做到“理解題意并正確作答”呢？

2.符號意義不清晰

人類的某個感官系統只能感知某一個物體的部分屬性，并不能感知到整個客觀事物。因此感知者將感知到的部分屬性賦予意義（表象）后貼上刺激物的標簽（記號），此時標簽與意義之間的人為性連接，就成為了符號。

“×÷±”在符號表現之初賦予的意義較為簡單，加上學生入學伊始最早接觸的就是這四個運算符號，因此在記憶層面的理解是最為深刻的。那么“∩”和“∪”在高中數學教學中，教師會發現經常有學生把它們弄混淆，最后導致題目意思理解相反而做出錯誤答案。完全不認識符號的可能性相對較小，因為這些符號在日常的教學過程和作業練習過程中會經常被應用到，但在實際答題過程中將符號意義“張冠李戴”的學生不在少數。究其原因，在學習符號初始，對符號意義“一筆帶過”式的教學方法和“囫圇吞棗”式的記憶方法，使得學生后期答題中頻繁出現差錯，影響數學考試成績從根本上得到長足地提高。

數學符號是用來表意的，代表數與數之間的邏輯關聯，忽視符號意義的教學去大篇幅地講解公式計算應用，是舍本逐末的表現，對學生學習和教師教學都會帶來不小的障礙。

3.符號應用出現偏差

符號形象記憶不準確，意義理解出現遺漏，帶來的必然是符號應用上的偏差。如“∴ ∵”在試題閱卷中經常能見到學生用錯。盡管這種符號應用錯誤對解題結果起不到較大的影響，但嚴謹、規范化的數學語言表達，是每一個數學人應該以身作則的。

符號應用代表一種邏輯推理過程，邏輯清晰，推理明確，試題會做，但因為符號應用錯誤帶來答題丟分，是數學考試中最不應該也是最遺憾的失誤。因此在符號教學重新被請回課堂以后，教師在符號書寫形象、表達含義、應用方式和方法上都應該下足功夫。試想因為符號理解錯誤而在高考中丟失兩三分，最終無緣名校，將改寫一個高三學生今后不一樣的人生。符號學習和數學推理一樣，只有勤勤懇懇、嚴謹務實，方能在高考戰場上獨占鰲頭。

三、數學符號的課堂解讀

1.把握數學符號的本來含義

數學教師用自己的符號語言在黑板上做了如下表述：2x+3y+z=13，不出現一個漢字。學生問教師：這些符號是什么意思呢？學生A回答說：這是個和蘋果有關的故事，甲小孩拿了2個蘋果，乙小孩拿了3個蘋果，丙小孩拿了1個蘋果，一共拿走了13個蘋果。學生B回答說：這是一個三元一次方程式，已知數是“2、3、1和13”，x、y、z是這個不定式方程的求解未知數。學生C回答說：將x乘以2，將y乘以3，將z乘以1，三者相加的結果是13，問x、y、z各是多少？

教師笑了笑說：這些符號語言，就是我們用來進行數學學習的工具——數學符號。里面的“2、3、1、+、=”都是符號化的數學語言。但是三個學生的理解都是有偏差的，學生A看到的是語言情境，學生B看到的是語言形式，只有學生C看到的才是符號本來的含義。從句式結構上講，學生B口中的三元一次方程式既不能是陳述句，也不會是感嘆句，而應該是疑問句。方程式在沒有正式解答之前都是疑問句。

2.正確運用數學符號的答題方法

（1）符文互譯、分解還原法

在高考試卷呈現的數學試題中，經常會出現一些新的數學符號，由于出現的新符號學生并沒有見過，直接導致學生面對這類新題型的時候六神無主，亂了方寸，也因此影響到學生整個數學試卷的答題思路和答題進程。這時候教師需要教會學生的就是“如何將新出現的數學符號翻譯成我們學過并理解掌握了的原始符號”，這也就是符號的互譯過程，也叫原始符號的分解還原。數學線性函數圖像也是一種符號表達。

如題：要求學生畫出y=x-2+1的函數圖像。教師需要引導學生回憶原始符號表達（函數原型）y=x的構造，接著協助畫出y=x的圖像，兩者的區別在于y=x的取值范圍都是≥0的。將y=x的圖像整體沿x軸平行向右移動2個單位，即得出當x=2時，y=x-2的值為0。再將y=x-2的圖像整體沿y軸平行向上移動1個單位，即得出當x=2時，y=x-2的值為1的結果，也就是y=x-2+1的圖像經過點（2，1），符合函數的題設要求。

通過上述對函數圖像符號深入淺出的講解，學生就能通過最原始的函數圖像畫出題設要求的函數圖像了。接著給出y=x+6-12或者y=3x-2+9函數要求學生自行作業繪圖，對學生而言就要容易解決得多了。這種方法就是將復雜的題設還原到最簡單的符號雛形上來，如上題中的y=x-2+1的函數圖像就是由最基本的函數原型y=x轉換演變而來的。在理解了原型函數y=x的結構構造和符號含義，掌握了圖形變換數學規律的前提下，將數理推論定律應用到實際解題當中，就能推導出y=x-2+1的圖像。

（2）要將符號融入解題方法中去

如題：為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）。已知加密規則為：明文a、b、c、d對應密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d.例如，明文1、2、3、4對應密文5、7、18、16.當接收方收到密文14、9、23、28時，則解密得到的明文為

（ ）

A.4、6、1、7 B.7、6、1、4 C.6、4、1、7 D.1、6、4、7

依題意，建立方程組：

a+2b=142b+c=92c+3d=234d=28

解得d=7，c=1，b=4，a=6，選C

試題中表達的都是文字字面意思，需要學生完成“漢語文字→數學符號（方程式）→數學結果→漢語解答”的過程，這一過程就是符號信息的傳遞遷移過程。在高中數學學習過程中，學習符號解讀、遷移、回歸、再解讀的過程就是數理邏輯推理的過程，而數學帶給人類社會的神秘色彩，也盡顯于此了。

（3）數學符號應用過程中需要注意的問題

誠然，在數學符號應用過程中，也有很多方面需要注意的，如分類匯總和理解記憶。前面提到過，數學符號的大類里面主要有運算符號、幾何符號、代數符號、集合符號、推理符號、特殊符號以及標點符號，這些符號在高中數學習題中都有出現過，但近200多種數學符號極少有學生能夠全部辨識。因此在實際教學過程中，全面轟炸式詳細講解所有的數學符號無論是時間上還是精力上都是很不現實的，這個時候分類匯總就起到了關鍵性作用。

分類匯總的方法因人而異，有些高中教師習慣按照符號的類別來分，對符號有自己獨特的見解。但這種方法的弊端就是教師的課堂教學時間有限，串講數學符號所占用的課時分量必定很少，如此反復下去，又會重新回到最初大家看到的畫面：部分學生不認識數學符號，部分學生認錯數學符號，部分學生用錯數學符號。符號添加到教案重難點講解中，根據符號在高考中出現的頻率和分布狀況，最大限度地解讀符號的深層含義，讓學生將數學符號吃透，盡可能不讓數學符號成為學生高考中的絆腳石。

理解記憶的方法就相對要簡單許多，艾賓浩斯遺忘曲線講的是知識儲存量隨時間推移呈下滑趨勢，心理學上對優秀記憶方法的追溯中首推了理解記憶，這種認知層面的理解比背誦記憶要深刻得多。記憶大師論壇上有這樣一個例子，圓周率π為3.14159的諧音記憶為“山頂一寺一壺酒”，將無意義數字賦予文字化內涵不失為一種理解記憶的優秀示范。數學符號創造的目的就是為了說明數量之間的邏輯關聯，對數學符號的記憶要融入具體的習題作答中去，融入對習題中條件和變量之間的推理關系中去，這樣才能保證長期有效地記下符號。

四、數學符號給高中數學教學帶來的啟發

1.帶給學生的思維沖擊

與學生互動交流后不難發現，無法全面、熟練地理解和掌握數學符號的數理含義，是學生抵觸、害怕、厭倦數學學習的首要原因。教師在教學中對數學符號講解的忽視，學生在做題過程中對數學符號的陌生，使學生對數學習題感到恐懼和害怕，要克服這種恐懼的心理，就要利用科學有效的方法去解讀它。

數學符號就好像是積木，每一個小小游樂園里的建筑物都是由不同形狀、不同顏色的積木塊搭建而成的，而這些積木構造中又蘊含了建筑知識的所有信息，需要搭建者去認知、領悟、理解和應用。學生除了要知道積木的“形狀、顏色、構造”等本質特征以外，還需要進一步掌握A積木與B積木或者C積木之間的建構關系，在積木搭建過程中應用好這些積木之間的邏輯關聯，從而搭建出理想中城堡的樣子。符號串聯融入習題的教學方法給學生帶來了一種不一樣的思維模式，傳統課堂上學生只知道數學符號是解題的線索和答題的工具，并不完全了解數學符號在數學發展史中舉足輕重的地位。而符號融入高中數學教學中，最大限度地將數學符號的原始面貌呈現在學生面前，讓學生腦洞大開，思維上受到不一樣的洗禮，長遠來看，是非常有數學意義的。

2.帶給教師的教學便利

傳統應試教育模式在課程開展上基本固定為“三個中心、一個基本點”，即教材是教學的中心，教師是教室的中心，教室是課堂的中心，高考是一切教學方法的基本落腳點。在數學教學上非常流行的“題海戰術”風靡各大講堂，對此，學生是并不完全接納的。用學生從心底里不接納的教學模式、教學方法，推動學生學習的進步和發展自然就變成了無稽之談。

加重數學符號教學在高中數學課堂上的分量，在表面上看似乎是加重了教師的教學負擔，其實不然。俗語有云“工欲善其事必先利其器”，又或者說“磨刀不誤砍柴工”，符號是數學邏輯概念形成的基本元素，是進行高考試題解讀和作答的必備元素，將這些基礎性的符號知識普及到每一位學生身上，對今后的教學有百利而無一害。學生與教師通過學習內容進行互動教學，數學符號給教師帶來的，不單單是知識傳遞上的便利，更是感情交流上的便利。

3.帶給數學的意義內涵

心理學的理論知識認為，人類性格特征的外在表現既受到自身天生生理條件的限制，也受到外部社會環境的影響，情感狀態處在內外部因素交織的關系結構中。數學符號同樣如此，它是外在表現形象和內在邏輯意義的統一體，既不能脫離它的表象去談它的意義，也不能脫離它的意義去探究它的表象。

例題：定義集合運算A⊙B={■=xy（x+y），x∈A，y∈B}，設集合A={0，1}，B={2，3}，則集合A⊙B的所有元素之和為（ ）

A.0 B.6 C.12 D.18

學生在認知這一道題的時候分為三個步驟：第一步解讀題干數學符號的意思表達；第二步是組合題干中要素與要素之間的邏輯關系；第三步進行紙上作答。即完全理解符號“⊙”的數學含義，也就是A⊙B={■=xy（x+y），x∈A，y∈B}，z就是A⊙B的集合元素。題干提出z=xy（x+y）和x∈A，y∈B，同時A={0，1}，B={2，3}，通過代入計算當x=0，y=2或3時，z=0；當x=1，y=2時，z=6；當x=1，y=3時，z=12，這樣就可以知道z={0，6，12}，那么A⊙B的所有元素之和就為0+6+12=18，題目的答案就為D選項。

這是數學邏輯推理的基本步驟，學生在高中數學課程的學習中應該也必須具備的邏輯分析能力在符號解讀過程中得以全面展現，并在實際操作過程中得到足夠練習和強化，形成數學學習道路上極為有益的學習習慣。這是數學符號教學帶給整個數學的深層次含義。

五、具體案例分析

1.無數學符號試題分析

2014年新課標Ⅱ全國統一考試數學題第二大題的第13小題：甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍三種顏色的運動服中選擇一種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為 。

解讀：這是一道只有數字沒有運算符號的高考試題，針對這樣的練習，學生需要經歷的過程依然是三個步驟：第一步賦予題設以數學化符號含義，即甲選擇運動服的種類有C13概率，乙選擇運動服的種類也有C13。第二步掌握問題中條件與條件之間的邏輯關聯，即甲和乙穿同樣運動服的概率為■。第三步進行紙上作答。

針對無數學符號的試題內容，學生答題的重點在于將題目所表達的字面意思進行“數學符號化”處理，這種“符號化”處理的過程就是學生對數學符號進一步理解記憶的過程。將文字符號化以后，緊接著要進行數學的邏輯思維推斷。培養學生的邏輯思維能力是高中數學教學大綱中一再強調的教學目標，推斷過程要有充足的數學邏輯依據。數學邏輯在大腦中進行演算以后，就可以毫無壓力地將答案謄寫在答題紙上了。如若還有剩余時間，可以進行檢查核對。

無符號化的題目在高中數學試卷中非常少見，如幾何圖形類、概率計算類、函數推導類，其題目文字中包含的數學符號非常稀少，但在圖形演繹、數理推理過程中，經過文字符號化出來的數學符號卻是非常繁多的。針對無符號化的數學試題，學生在解題過程中要堅持“先收集文字表達中的數學信息、再探究條件之間的邏輯關系、最后構建邏輯關系間的符號聯結進行運算作答”這一系列答題步驟，對準確完整解決無符號的模擬真題，具有重要作用。

2.帶數學符號的試題分析

2014年新課標Ⅱ全國統一考試數學題第一大題的第1小題：已知集合A={-2，0，2}，B={■2-x-2=0}，則A∩B=（ ）

解讀：問A∩B的結果，那么在解答這一題的時候，第一步必須認識“∩”的數學含義，指既屬于集合A且屬于集合B，A與B的交集表達。符號意思解開以后進入第二步，認識“x2-x-2=0”一元二次方程的數學含義，即集合B中所有元素均滿足方程式x2-x-2=0的計算。第三步進行紙上作答，將A集合中的元素帶入B集合的方程式中，結果只有x=2時滿足方程的計算，因此A∩B={2}。

帶數學符號的考試試題比比皆是，隨處可見。獲取符號化數學題目中的邏輯信息，結合所學的數學理論規律，將信息轉換為解題的有效條件，計算出科學、合理、正確的答案，這就是對帶符號數學習題的解讀。針對帶有數學符號的模擬真題，學生則應該堅持“先將題目中的數學符號文字化，再構建條件之間的邏輯關聯，最后運用運算法則對邏輯條件進行分析作答”這樣的答題步驟。

無論模擬考試試題題設中是否帶有數學符號，數學解題思路是不會改變的。但學生對符號的正確認知，會直接影響其對整個數學題目的邏輯認知，從而發生偏差答錯題目的情況。避免這種答題偏差的關鍵在于基礎符號含義的應用性掌握，也就是把數學符號放進實際考題中進行深層次地講解，直到所有學生都理解符號的數學含義，并能在練習題的答題演示過程中展現出來，那么關于這個符號的教學才算是成功的。符號認知擺在首位，緊隨其后的是邏輯運算法則，這是另一種數學邏輯的符號化表征，同樣需要在解題應用中去從根本上把握。最后需要的就是學生的推理性邏輯思維能力，也可以是發散思維能力，這種能力是可以通過試題演練培養起來的。這三點都做好了，符號教學的課程就可以說是非常成功的了。

六、符號化數學教學的生活解讀

市場上流通的貨幣是商品之間進行等價交換的中間媒介。生活中與貨幣和數學都有關聯的試題，如學生去超市購買5個蘋果、12個雞蛋、5片面包，手中有且僅有50元人民幣，如何最大限度地利用手中的錢，就要挑選所購買商品最合理的單價。即：假設蘋果的單價為x元/個，雞蛋的單價為y元/個，面包的單價為z元/個，要做的試題就是5x+12y+5z≤50，在超市中尋找不同價位的蘋果、雞蛋和面包，帶入不等式進行換算，解開題設即可。這是生活中最常見的數學問題，這道題沒有文字描述，沒有數學公式，也沒有數學符號，但卻可以得出一個有意思的數學答案，這就是現實生活帶給數學的社會氣息。

在學生的世界里，數學符號和所有奇妙的陌生事物一樣，都在無時無刻地吸引著他們。隨著年齡的增長，接觸到的數學試題越來越難，觸碰到的數學公式越來越復雜，相伴而來的是陳舊枯燥的課堂氛圍，單調乏味的教學模式，整齊劃一的成績評判標準，家長與家長之間的成績攀比，教師與教師之間的成績歧視，讓學業進展到高中階段的學生手足無措、滿臉無奈。本可以發展成為終身興趣愛好的數學知識，經過填鴨式、灌輸式、題海式的教學打磨以后，變得生機全無。

將數學興趣重新還給學生，帶領數學課堂知識重新回歸社會，就教育學理論而言，可以通過改變教學方式來部分性地實現這一目標。

學科之間的互相串聯。本文開始就提到過，《蒙娜麗莎的微笑》的創作者達·芬奇，通過畫雞蛋來夯實自己的繪畫基礎。音樂藝人通過視唱練耳來鞏固自己的音樂基本功。語言學家通過研究漢語聲韻母和筆畫構造來充實自己的文字底蘊。這些都是與數學幾乎沒有太大關聯的學科，但其“基礎很重要”的教學理念同數學“基本符號很重要”的教學觀念是相吻合的。求同存異、相互學習，這是周恩來的外交建樹。在學科之間同樣要保留這種“求同存異”的教學觀點，藝術審美觀念、邏輯推理能力、體育運動能力，這不正是素質教育提出的“德智體美勞”全面發展的教學目標嗎？

學生才是數學學習的主體。高中數學課堂上，教師與學生之間互動性最顯著的一句話就是：“這個知識點掌握了嗎？”而學生通常以沉默的方式替代語言上的反饋。這種沉悶無趣的課堂氛圍對以學生為教學主體的素質教育其實是一種無聲的諷刺。學生對新事物都是好奇的，對數字符號化的教學變革一定是歡迎的，如何將數字符號的創新教學理念帶到高中數學教室里去，這才是對教師教學能力的考驗，這才是一切為了學生、為了一切學生、為了學生的一切。學生覺得好才是真的好，學生能夠感受到教學革新帶給他們新鮮活力的元素，自然會積極參與到其中。

課外實踐也可以穿插進來。很多教師偏頗地認為教室才是教學的唯一陣地，脫離了教室，走出去的教學都是不務正業的表現，其實不然。“兩彈一星”元勛錢學森臨走前發出了這樣一個世紀之問：為什么我們的學校培養不出杰出的人才？這個問題引起很多教育界人士以及一線教師的反思，到目前為止，也沒有人能夠全面完整地回答這個問題。那么一線高中數學教師能做的，就是盡最大努力在學生可接受的范圍內有效地傳播數理知識，并開發學生的創造性思維。數學教學知識點呈“螺旋式”結構，數學符號是結構的最底層，也是最為重要的一個環節。單純地只在課堂上進行教學勢必會打壓學生學習的積極性，不利于教學課程的有效開展。那么嘗試把學生帶出課堂試試，聯合體育教師舉辦一次體驗式的數學戶外拓展活動，讓學生感受到教師在數學教學方法變革上所做的努力，給學生呈現一堂新鮮且充滿活力的數學課，對學生、對教師、對數學教學的作用都是利大于弊的。

符號帶來的良性循環系統。數學符號作為一種知識載體，作用于學生與試題之間，作用于教師與教材之間，也作用于學生與教師以及學生與學生之間。思考數學符號帶來的能量，要基于課堂教學方式改變、學生學習積極性提高、學生學習成績提高的結果上。數學符號作為邏輯推理的城堡，教師作為邏輯關系的搭橋者，學生攜帶數學知識通過教師搭建的橋梁，將數學知識組合成一個龐大的系統。教師是這一龐大系統的源泉，學生是系統的活水，讓整個數理知識傳播結構成為一個良性的循環系統。

七、高三數學的符號化生活

知識梳理是在做加法。高中數學的教學技巧相對單一，基本上就是教師示范教學，學生聽講做筆記，課后完成作業，月底教研組出題，學生進行模擬考試，接著教師進行講評。但知識的數理方法大體上是不會變動的，都是在引導學生做加法。梳理出基本的數理公式、數學符號、運算規則和典型錯題，將高中時期所學過的知識點依據高考真題試卷進行類別性整理，最大限度地將分散的知識點連成塊、匯聚成面，建立點線面式的數學知識網絡。

真題模擬是在做減法。加法做好了才能著手做減法，高中階段的數理知識規整齊全了以后，就要開始必要數量和程度上的真題模擬練習。這個時間段就要將自己已經爛熟于心的知識包袱放下，對未來的迷茫與困惑放下，身體上、心理上輕裝前行。真題模擬的作用就在于再現考場上可能出現的數學符號表征，協助學生去再認和辨別高中階段所學習過的數學知識點。這種符號“卸載化”的減法過程，對符號的縱深理解具有不一樣的意義。

總而言之，邏輯推理文字數學符號化在數學發展史上是一個偉大的創舉，加減乘除運算符號的出現讓大眾生活多了更多象征意義上的邏輯化色彩，這些色彩被積極應用到各行各業的邏輯推理當中，以及各年齡階段的數學教學當中，對人類文明的進步和發展，做出了重要的貢獻。

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編輯 鄭曉燕