從“紙上談兵”到“真槍實彈”

張春妮

摘 要：數學實驗要求學生“從做中學”，通過實踐、探索、發現理論知識的形成過程，體會相關定理的具體意義，理解數學的本質。從觀察式、模擬式、操作式、探索式四種類型的數學實驗設計出發，通過實踐提煉出中職數學實驗課程的操作流程，并總結出有效實施數學實驗的策略。

關鍵詞：數學實驗；實驗設計；實施策略

隨著信息技術的飛速發展，數學實驗越來越受到世界各國的重視。美國的中學有專門的數學實驗室，英國的數學教材中也提供了非常豐富的實驗材料。為適應時代的需求，高等教育出版社于2013年在中職課程改革規劃教材數學的修訂中新增了數學實驗模塊。新增模塊的內容融入中職數學的各章節，結合了相應的教學內容，針對性較強。在學習和理解編者意圖的基礎上，我們對教材中隱含的教育資源進行挖掘，根據我校學生的具體學情及認知特點，設計了一系列的數學實驗項目，開展了中職數學實驗課程的嘗試。

一、中職數學實驗的界定

數學實驗是指為獲得某種數學理論、檢驗某個數學猜想或解決某類數學實際問題，實驗者運用一定的物質手段，在數學思維活動的參與下，在特定的實驗環境下進行的一種數學探究活動。因此數學實驗應從教學設施、教材內容、學生能力和認知特點等實際情況出發，內容的選擇上注重典型性、針對性、探究性和趣味性，而其設計上應遵循以下原則：

1.目的性原則

進行數學實驗應有明確的實驗目標，不能盲目地、無選擇地運用。實驗的核心是解決教學中的重、難點問題，而不能把實驗當作一種形式，為了實驗而實驗，為了探究而探究。

2.適度性原則

數學實驗是數學學習的補充和輔助，而不是替換和否定。它應當起畫龍點睛的作用，而不是畫蛇添足。傳統的教學手段雖有其局限性，但也有其獨到的優勢。因此，實驗設計中應選擇具有典型性、針對性的內容，適度開展數學實驗。

3.適用性原則

數學實驗應適用于某一特定的學習內容和情境，設計中以“適用、能用、易用”為準則，不宜過分追求“高、精、尖”，避免“難、雜、煩”。

4.探究性原則

在數學實驗中，學生由于親自動手操作，從一個旁觀者和聽眾變成一個直接參與者，培養了動手能力、建模能力和數學應用的意識，從而主動完成數學知識的構建。因此，實驗的設計應高度重視學生的參與廣度、互動頻率和探究深度。

中職數學實驗的設計與實施理論框架如下圖所示：

二、中職數學實驗的設計

如果從數學實驗教學設計的角度出發，以實驗任務為劃分標準，可以將中職數學實驗分為觀察式、模擬式、操作式、探究式四種類型。四種類型中，學生的主觀認識作用是不同的，呈順次遞增的特點。

1.針對概念的“觀察式”實驗

觀察式數學實驗注重對數學概念的直觀解析。學生在對實驗現象的觀察過程中加深了對數學概念的理解和數學問題的認識，使抽象、枯燥的數學概念形象化。

圓錐曲線演示儀就是典型的觀察式實驗的工具，對于某些需將靜態問題動態化的概念問題可借助計算機強大的作圖能力或運算功能完成常規實驗所難以呈現或表達的數學內容。其中較為常見的軟件平臺包括幾何畫板、Mathematics、MATLAB等。有些驗證式數學實驗需要機械地重復，這時候不厭其煩的計算機能幫助我們很好地完成。例如用幾何畫板模擬的投幣實驗和蒲豐投針實驗。

就實驗活動本身而言，這類實驗操作結構比較簡單，實驗過程的變量較少，對主體的主觀認識能力要求不高，而作為實驗的中介，計算機的作用被擴大。因此此類實驗活動常用于某概念的獲取或者定義的理解上。

2.針對現象的“模擬式”實驗

數學中的一些復雜現象往往無法在靜觀或想象中完成對它的刻畫，因此我們需要借助一些實驗載體去描述或展現它，這類數學實驗通常被稱為模擬式數學實驗。我們以圓錐曲線的生成開展實驗，實驗過程如下：

實驗目的：讓學生在實驗操作中感性地認識圓錐曲線，加深理解。

實驗工具：手電筒、白色紙板

實驗過程：

（1）在白色紙板上畫出平面直角坐標系，并將其固定在墻上。

（2）將強光手電筒光束垂直照射在紙板上，此時，光束呈圓錐體形，觀察光束垂直照射在紙板上所形成的圖形。

（3）適當調整手電筒與紙板的夾角，觀察光束在紙板上所形成的圖形，并記下你的發現。

這種傳統的操作教具或實物模型的實驗教學，可以大大簡化和純化數學對象，有利于發現問題的實質。同樣的實驗也可借助數學軟件去完成，與傳統的實驗方式相比，計算機模擬實驗雖然對學生的動手能力有所弱化，但其知識體系更加完備，優點體現在展現平面和母線平行（拋物線）和不平行（雙曲線）上。

在模擬式數學實驗中，主體的主觀認識雖對實驗的進程影響不大，但實驗操作需對變量加以控制，只有主體參與才能實現這種控制。通過客體“可視化”的模擬，加快了學生的認識速度，縮短了認識進程。此類數學實驗常用于較復雜現象的探究過程中。

3.針對規律的“操作式”實驗

操作式數學實驗通常是指在人為干預控制實驗對象的條件下進行觀察、測算、歸納等，并從中發現數學事實，以深刻理解數學原理及其規律的實驗。因此，它也是數學實驗最常見的形式。現以正弦型曲線的操作實驗為例分析其實施中的關鍵環節：

（1）選取實驗主題

數學實驗與傳統意義的物理、化學等實驗不相同，它的主要材料是思想，而不是物質。以學生動手操作、直接體驗、研究探索的學習為基本方式，它的設計和開展是建立在主體主動體驗訴求和具體行動基礎上的，其目的在于提高學生的數學素養及綜合應用能力。在實驗設計之初，教師應認真鉆研教材，挖掘具有實驗價值的因子，選取合適的內容作為實驗主題。

正弦型曲線y=Asin（？棕x+？漬）是中職數學的重要內容之一。在現實生活中有潮汐等原型。而且它和電子電工、機械、數控等專業課程的相關知識聯系緊密，例如正弦交流電的解析式。正弦型曲線y=Asin（？棕x+？漬）的實驗價值頗高，因此我們選取本節內容作為數學實驗的主題。

實驗主題的設計中要注重展現知識形成和發展的過程，給予學生親身感受和體驗的機會，在數學學習中使學生參加活動、增加體驗、獲得認知、發展情感態度與價值觀得到和諧統一。活動主題的確定應該切合學生的實際并突出職業教育的特色。

（2）創設實驗情境

創設情境是指教師在學生動手實驗之前，給他們提供的學習準備。數學實驗的原材料大多不是物質，因此在動手實驗之前，教師需要精心準備實驗所需要的半成品，而把實驗的過程留給學生。

數學實驗的主材料是思想而不是物質，因此大部分數學實驗的情境需要借助信息技術來創設。例如正弦型曲線y=Asin（？棕x+？漬）的實驗就可以借助Flash提供的控制性接口去完成。

（3）動手實驗操作

在實驗課程中，學生是通過“做數學”來完成學習的，通過觀察、實驗去獲得感性認識。在這一環節中，學生按照實驗要求，動手完成相應的實驗操作，努力去尋求實驗數據反映出的規律性。探尋過程中可集思廣益，通過小組合作的方式去完成。

在正弦型曲線y=Asin（？棕x+？漬）的實驗中，學生通過輸入A，？棕，？漬的值來觀察圖象的變化，在動手實驗中完成知識的構建。

（4）提出實驗猜想

提出猜想是數學實驗過程中的重要環節，和動手操作、討論交流密不可分，是實驗的高潮階段。猜想是在動手實驗的過程中產生的，它的提出依賴于直覺思維即靈感。而靈感的產生，除了需要具有一定的數學素養外，還應對所面臨的問題有比較深入的理解。而且猜想是根據實驗結論而提出的，不能憑主觀隨意亂猜，要合乎實際，接近事實。

學生在上一環節中，初步理解了A，？棕，？漬的值對圖象的影響，得出猜想：要得到正弦型曲線y=Asin（？棕x+？漬）的圖象，可以將正弦曲線y=sinx按橫坐標伸長或縮短、沿x軸平移、縱坐標伸長或縮短的順序完成。

（5）驗證實驗結論

驗證猜想是數學實驗中不可或缺的環節，它是科學發現的一個重要步驟，是獲得正確結論的關鍵，也是對數學實驗成功與否的判斷。當學生提出自己的猜想后，再通過實驗方法、演繹的方法或者列舉反例的方法加以驗證，無論學生的猜想正確與否，都將會受益匪淺。

學生猜想出正弦型曲線y=Asin（？棕x+？漬）的圖象變化方法后，可再次利用實驗軟件加以驗證，并將變化的量予以確定。

學生提出的猜想，可能有以下三種情況：學生對自己的猜想既不能給予肯定，也不能給予否定；學生憑直覺知道猜想是正確的，但卻無法通過嚴格的邏輯加以證明；學生知道自己的猜想是不恰當的，但卻不能舉出反例予以否定。此時，教師要熱情耐心地幫助學生證明猜想或幫助學生舉出反例否定猜想。

操作理解類數學實驗為學生提供了所要學習的知識與已有經驗建立內部聯系的實踐機會。這類實驗進一步增強了實驗主體在認識過程中的作用，其價值體現在它既能使經驗材料經過數學抽象得以升華，又可以使數學現象具有可操作化的現實背景。此類數學實驗因其具備良好的利用價值，被作為數學實驗的范式。

4.針對問題的“探索式”實驗

如果說操作理解式數學實驗是當今的主流，那么探索建構式數學實驗則可視為未來的發展趨勢。因為探索建構式的實驗對象是對結論未知的數學問題，學生需要自己選擇實驗素材對提供的實驗課題進行探究，在親身實踐的過程中收獲數學知識、數學理解以及自主探究的數學思想、數學方法。

探索式實驗的實施環節在操作式實驗的基礎上進行了提升：

探索建構式數學實驗的實施過程中強調學生在“活動”中學習、在“實驗”中學習，注重學生的自我發現、探索建構和交流分享。因此教師的指導要關注過程，兼顧結果。了解學生在實驗過程中遇到的困難和問題，傾聽學生在實驗中的感受和體悟，引導學生在過程的不同階段以任務為取向，探索相應的問題解決方式，幫助學生深化實驗的進程，最大限度地挖掘學生的創造力。其核心的三個步驟分為初始方案的實施、實驗方案的修正、實驗成果的展示。

這類實驗設計的重要意義就在于使學生在各種認識水平上得到提升，對學習結果沒有唯一的標準。實驗的最終目的是使學生在實驗中真正通過“探索”達到“建構”數學認知結構的目的。

三、中職數學實驗的實施策略

1.運用數學實驗，激發學生學習的動機

教師在數學實驗組織過程中，要以學生的認知結構為依托設計數學問題，或者根據學生提出的問題，為學生設置實驗課題，雖然數學實驗留給學生的思維空間很大，但是學生的努力目標和方向卻是具體的，是他們經過努力可以達到的。這樣學生才會具有強烈的學習動機，積極參與到數學實驗中來。

2.運用數學實驗，增加學生學習的主體性

數學實驗的核心思想是學生的“再創造”。因此教師在實驗情境的創設中、實驗素材的準備中應給學生適當“留空”，通過精心設置的實驗環節調動學生的積極性、主動性和創造性，促使學生的主體性得到發展和完善。

3.運用數學實驗，展現知識的形成過程

中職數學課程標準指出，數學教學要展現知識形成和發展的過程，提供學生親身感受和體驗的機會，在數學學習中使學生參加活動、增加體驗、獲得認知、發展情感態度與價值觀得到和諧統一。而數學實驗恰好搭建了這樣一個平臺，因此教師應注重實驗的過程，引導學生將重點、難點細化成一個個小小的任務，在攻克它們的同時完成知識的建構。

4.運用數學實驗，提高學生的思維層次

數學實驗的規范動作是“做中學”，而不是機械地記憶或練習書中現成的結論、定義和方法。在數學實驗中，教師應該關注學生分析問題、解決問題的數學能力，關注學生大膽猜想、小心驗證的科學態度，關注學生創造性思維的培養，促使學生將數學的思維方式銘記于心，并產生持久的影響。

盡管數學知識本身是枯燥乏味的，但它的表述方式、產生和發展以及在實際中的應用卻是生動多彩的。數學實驗教學不是要取代其他教學方法，而是對傳統教學方法進行有益補充，在中職學校開展數學實驗教學，符合素質教育和職業教育的要求，具有實效性和長效性。

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編輯 李建軍