對一道同步衛星變軌題的評析

陳小明

(銅陵市第一中學　安徽 銅陵　244000)

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對一道同步衛星變軌題的評析

陳小明

(銅陵市第一中學安徽 銅陵244000)

摘 要：以2015年高考新課標Ⅱ卷第16題為例，分析了發射場不在赤道的同步衛星的變軌過程，并對題中的難點作了進一步討論.

關鍵詞：同步衛星變軌非赤道發射

衛星變軌是高中物理天體運動中的常見問題，也是學生學習中的一處難點.2015年高考新課標Ⅱ卷第16題，重點考查了同步衛星的變軌運動，試題將學生常見的同一平面內變軌拓展為不同平面內的變軌，涉及到矢量運算、空間構圖等，對學生的多方面能力進行了有效檢測.下文筆者將結合平時的教學，對同步衛星發射中的變軌問題進行分析，同時對赤道上和非赤道上發射進行比較，幫助學生正確理解衛星的變軌過程.

1模型分析

1.1發射場在赤道

發射同步衛星的運載火箭一般為三級，先來分析發射時的簡化模型(圖1).

圖1

運載火箭的第一級和第二級依次啟動，使火箭垂直向上加速，到第二級火箭脫離后轉彎進入一個高度較低的圓形軌道，稱為停泊軌道，一般為幾百千米.在停泊軌道上運行少許時間，衛星快要到達與轉移軌道交點時，第三級火箭點火，使衛星進入一個橢圓形的轉移軌道.之后在轉移軌道上運行幾圈，完成姿態調整和遠地點點火前準備工作，當衛星到達遠地點，啟動衛星上的遠地點發動機，改變衛星的速度，使之進入同步軌道.此處的轉移軌道由德國工程師奧爾特·霍曼于1925年首先提出，又稱霍曼軌道.

轉移軌道上近地點P和遠地點Q的速率可求解如下，估算時，忽略停泊軌道的高度，設同步軌道高度h=36 000 km，地球半徑R=6 370 km，地球質量M=5.98×1024kg，衛星質量為m，衛星從P點運動到Q點，由機械能守恒定律可得

由角動量守恒定律可得

mRvP=m(R+h)vQ

聯立兩式解得

1.2發射場不在赤道

運載火箭的第一、二級啟動與在赤道上的過程一樣，而其停泊軌道為與赤道平面有一定夾角的傾斜圓形軌道，以地球球心為圓心，衛星快要到達停泊軌道與赤道平面交點時，點燃第三級火箭使衛星進入橢圓轉移軌道，橢圓軌道與停泊軌道共面，橢圓軌道與赤道平面夾角因發射地點不同而不同.其近地點為停泊軌道與赤道平面交點，遠地點為轉移軌道與赤道平面的另一個交點，近地點和遠地點都在赤道平面內.當衛星到達遠地點時，啟動遠地點發動機，改變速度的大小和方向，并對衛星進行姿態調整，進入同步軌道.

2原題再現

【題目】(2015年高考新課標Ⅱ卷第16題)由于衛星的發射場不在赤道上，同步衛星發射后需要從轉移軌道經過調整再進入地球同步軌道.當衛星在轉移軌道上飛經赤道上空時，發動機點火，給衛星一附加速度，使衛星沿同步軌道運行.已知同步衛星的環繞速度約為3.1×103m/s，某次發射衛星飛經赤道上空時的速度為1.55×103m/s，此時衛星的高度與同步軌道的高度相同，轉移軌道和同步軌道的夾角為30°，如圖2所示，發動機給衛星的附加速度的方向和大小約為

A.西偏北方向，1.9×103m/s

B.東偏南方向，1.9×103m/s

C.西偏北方向，2.7×103m/s

D.東偏南方向，2.7×103m/s

圖2

解析：本題為非赤道上發射同步衛星，由前面非赤道發射過程的分析可知，本題所考查為從轉移軌道的遠地點到同步軌道的速度調整情況.可將過程繪制成圖3.

圖3

其中停泊軌道未畫出，灰色部分為橢圓轉移軌道，地球球心為其一個焦點.近地點A在赤道平面內，橢圓轉移軌道平面與同步衛星軌道平面成30°，故橢圓軌道在B的速度v1與同步軌道在B的速度v2成30°，在B點由速度的矢量分析圖4可知，附加速度Δv為v2與v1的矢量差，由余弦定理得

v1和v2的方向為圖2中兩個箭頭的方向，將圖4結合圖2所示的方向，可知附加速度東偏南方向.

圖4

3評價反思

本題以同步衛星的發射為背景，考查衛星從轉移軌道的遠地點進入同步軌道的情況.學生在高中的學習過程中，會遇到很多類似的習題，但都是停泊軌道、轉移軌道和同步軌道在一個平面上的情況，這些問題可以通過離心運動進行定性的分析.而本題轉移軌道與同步軌道有個夾角，需要進行定量計算，要求學生在有限的時間內，從速度的矢量變化求出附加速度，有一定的難度，并且題中有兩處情景增加了試題的分析難度.

首先，題中所涉及為轉移軌道至同步軌道，此過程的圖像即使同一平面內，讓一般學生畫出尚且有困難.現題中給出為兩平面互成角度，因此更不容易畫出來.筆者曾與其他教師討論過此圖，都認為該圖容易誤解.圖中畫出的大圓，很容易看成同步軌道，這樣就會誤認為俯視圖.而實際題中為正視圖，大圓可理解成地球的邊緣線.圖中實線、虛線和箭頭的含義也容易看錯，致使題中所標注的赤道、轉移軌道和同步軌道在不了解的情況下，找不到實際的位置，起不到助于理解的作用.

其次，學生平時遇到的同平面變軌，能從圖中清楚看出是在遠地點變軌，而現在非同平面，理論上只要兩個軌道有交點都可以變軌，但學生無法確切地知道這次的變軌也是在遠地點進行，如果此次不在遠地點變軌，那么變軌前后兩個速度的夾角就不是30°，也就無法求解.

試題以非赤道同步衛星的發射為背景，也啟發了我們在平時教學中，不能只停留在遇到的題目層面上，要善于對問題進行適當的拓展，舉一反三，適當介紹一些前沿的知識，開闊學生的眼界和思維.

(收稿日期：2015-11-08)