新型掠飛末敏彈的捕獲概率分析

趙博博,劉榮忠,郭銳,陳亮,劉磊,楊永亮(.南京理工大學機械工程學院,江蘇南京20094; 2.7397部隊,江蘇南京20000)

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新型掠飛末敏彈的捕獲概率分析

趙博博1,2,劉榮忠1,郭銳1,陳亮1,劉磊1,楊永亮1
(1.南京理工大學機械工程學院,江蘇南京210094; 2.73917部隊,江蘇南京210000)

摘要:針對掠飛末敏彈新型掃描機理的作戰效能進行評估,研究末敏彈在彈道末段的捕獲特性。通過坐標變換的方法得到掠飛末敏彈的掃描線方程,耦合求解其六自由度彈道方程組,得到了彈丸的穩態掃描區域,通過證明掃描依賴區結論,進一步推導求解了捕獲概率的解析公式。結果表明:掠飛末敏彈的空間掃描軌跡為螺旋線、掃描區域為圓柱體,平面上的掃描區域為左半橢圓;增加彈丸初速、降低彈丸射角、準確預估目標運動,能有效提升掠飛末敏彈的捕獲概率,其中初速的影響更勝一籌;解析公式求得捕獲概率與蒙特卡洛打靶法計算結果吻合較好,驗證了公式的正確性。

關鍵詞:兵器科學與技術;末敏彈;掠飛;穩態掃描;捕獲概率;掃描依賴區

0　引言

掠飛末敏彈作為帶有新型探測機理的低空飛行智能彈藥[1-2],具有速度快、難反制、不受風影響等普通末敏彈無可比擬的優勢,被投以越來越多的關注[3]。其基于旋轉的彈體作為掃描平臺,利用小射角下彈道平直的特性,彈丸一邊飛行,一邊探測目標[4],這種新型的探測機理具有掃描區域大、允許非直瞄等優勢,相較于普通末敏彈掃描系統殺傷效費比顯著提升。美軍120 mm主戰火炮XM943末敏彈,利用旋轉的彈體作為掃描平臺,已完成演示驗證。因此,為深入剖析掠飛末敏彈的作戰性能,研究其掃描特性及捕獲概率具有重要意義。

近年來,針對末敏彈在減速減旋階段的穩態掃描開展了大量研究。文獻[5-6]通過對彈丸的受力分析,分別通過歐拉方法和四元數法建立了末敏彈系統的穩態掃描階段的運動方程,對穩態掃描特性進行分析;文獻[7]通過翼型設計,對單翼、雙翼末敏彈進行優化,適當提升了末敏彈的落速及轉速,但普通末敏彈的落速低,易反制的特性沒有根本改變;文獻[8]通過對彈丸散布橢圓中是否加入制導導引,建立了對目標的截獲概率模型,文獻[9]通過分析目標散布、落點散布、搜索區等影響捕獲概率的影響因素,建立不同射擊條件時的火箭助飛魚雷對目標捕獲概率的解析模型,計算結果與實驗結果吻合較好;文獻[10-11]通過考慮影響彈丸散布的主要因素,基于蒙特卡洛方法對彈丸的發射進行模擬,最終得到激光半主動末制導及集束火箭彈彈丸的命中概率,并提出提升命中概率的方法,但這種方法計算量特別大;文獻[12-13]研究了具有隨機特性的機動目標隨機穿越射擊域時的周期命中概率問題,通過導出目標隨機穿越周期的多發命中密度函數和特征函數,得到周期命中概率的一般表達式。而對于掠飛末敏彈的穩態掃描及捕獲研究未見公開報道。

彈丸在彈道下降段,滿足一定條件時打開穩態掃描裝置,開始掃描與捕獲目標。本文首先分析了掠飛末敏彈的掃描特性,在此基礎上,對彈丸的捕獲概率進行了研究。依據掃描裝置的安裝特點,通過坐標變換得到了掃描線方程,聯立求解其六自由度彈道方程組,依據掃描區域特性進一步推導獲得了對靜止和移動目標的捕獲概率解析公式,并分析了影響因素。

1　掠飛末敏彈的穩態掃描模型

掠飛末敏彈小射角發射后,沿平直彈道飛行,在彈道下降段掃描裝置啟動,按照一定規則對目標進行掃描。

為方便建立穩態掃描方程,選取坐標系如下:地面坐標系Gχyz、基準坐標系Oχbybzb以及彈體坐標系Oχpypzp,坐標系描述與文獻[11]相同。探測裝置安裝與彈體保持相對靜止,將彈體坐標系坐標原點移動到掃描信號發射點,記為掃描坐標系O＇χsyszs,如圖1所示。則掃描坐標系與基準坐標系之間的轉換矩陣為

式中:φ為彈體的俯仰角;ψ為彈體的偏航角;γ為彈體的滾轉角。

由于敏感探測器發射的直徑與目標尺寸相比很小,將敏感裝置發出的掃描信號簡化為一條掃描線,由于安裝時的角度存在,所以掃描線在O＇χsys平面內與掃描坐標系ys軸成一定夾角,記為α,記探測信號長度為l,探測器發射裝置點O＇距離質心O的距離為lO＇O.

則掃描線的端點T在彈體坐標系下坐標為

圖1　穩態掃描模型Fig.1 Steady scanning model

將T轉化到基準坐標系下,需要乘以轉化矩陣L的轉置,再加上質心的位置即為掃描線端點的在地面坐標系Gχyz內的坐標,當Ty＞0,掃描線的坐標為

由于掃描線端點在接觸到地面時,被地面阻隔,不會穿透地面。所以當Ty＜0時,掃描線l的長度不再為定值,其大小為Ty= 0的值。所以當Ty＜0 時,掃描線的坐標為

(4)式為掠飛末敏彈在地面上的掃描軌跡方程,(3)式、(4)式聯合為掠飛末敏彈的空間掃描方程。將上述方程與彈丸的六自由度彈道方程相結合[14],依據不同初值及氣動參數[15],運用Runge-Kutta法[16]依次迭代求解,即可得到掃描線的空間運動軌跡、地面掃描區域及彈道諸元隨時間的變化規律。

2　掠飛末敏彈的捕獲概率

掠飛末敏彈在飛行階段對裝甲目標的有效捕獲,才能引爆毀傷機構,對捕獲概率的研究是效能分析的基礎。

2.1彈丸隨機散布及裝甲目標分布

由于受到隨機初始攻角、初始擺動角速度、隨機初速等其他隨機條件的影響,在飛行階段彈體的落點散布分為水平散布、方向散布,都遵循正態分布[14],所以在平面上以點散布中心Pd(χd,zd)為表征的聯合密度函數為

式中:Edχ、Edz分別為彈丸的水平散布和方向散布; ρ=0.477為常數。

由于測量誤差、裝甲目標隨機運動等條件的影響,彈丸發射以后,裝甲目標不會停留在固定位置,對于任意可能的情況,以fz(χ, z)來描述裝甲目標在可能區域Sz內的概率密度函數。

2.2掠飛末敏彈平面掃描區域結論

為研究捕獲概率,需對掠飛末敏彈平面掃描區域進行描述,做以下假設:

1)在任意不長飛行時間內,彈丸的飛行軌跡為直線;

2)由假設1可推出在彈道下降段,高度相近的水平面上,彈丸的隨機散布規律相同;

3)由于彈道偏角角度較小,在描述掃描區域的幾何特征時,忽略彈道偏角。

結論1 掠飛末敏彈在二維平面空間的掃描區域為橢圓,如果彈體只能從高處探測低處目標,則掃描區域為左半橢圓。

證明1 由假設1知在不長的飛行時間內,彈丸的軌跡為直線,且掃描線的最大掃描長度固定,在掃描線未接觸地面時,則掃描線圍成的區域為圓柱體。當掃描線接觸到地面時,相當于以水平面去斜向切割圓柱體,則有效掃描區域為橢圓;如果彈體只能從高處探測低處目標,則相當于水平面切割圓心以下的半柱體,則為左半橢圓,且其長軸為平面掃描區域的長度,短軸為掃描線長度l,即得證。

2.3掃描依賴區結論

結論2 末敏彈在一定高度h掃描線剛好接觸到地面,此時末敏彈的位置為臨界掃描點,在地面上的掃描域記為掃描區域,該掃描區域距離發射點最近的一點記為掃描區域頂點。如果末敏彈要捕獲到該頂點,則彈丸在高度h上的落點必須在依賴區域內,依賴區域以臨界掃描點為頂點,與掃描區域呈中心對稱,此區域記為捕獲依賴區。

證明2 如圖2所示,左半為高h的平面,右半為地面。Pc為末敏彈在高度h平面上的臨界掃描點, S為末敏彈在地面上的掃描區域,A為地面上距離發射點最近的掃描區域頂點,Pc點大多數不與A重合,為了方便證明,將Pc點平移與A重合。

在高h平面隨意取一點P,當彈丸由于散布落在P時,由基本假設2知在地面上的掃描區域為S2,與S大小相等,僅僅是平移一段距離。在掃描區域S內作與P沿Pc呈中心對稱的輔助點AS,分別過P、AS作到水平線OAOP的垂線,與水平線相交于OP、OA點,則知三角形PPcOP全等于三角形ASAOA, 則POP等于ASOA.

圖2　捕獲依賴區示意圖Fig.2 Sketch of scanning dependent area theory

由全等三角形知A在S2的位置等同于點AS在S的位置。為了能捕獲A點,則要求A點必須在S2區域內,由全等知點AS必須在S區域內。所以為捕獲A點, P的所有可能點即位于掃描區域關于臨界掃描點Pc的中心對稱區域Y,結論即得證。

2.4對固定裝甲目標的捕獲

由結論1可知,掠飛末敏彈在地面的掃描區域為左半橢圓。由掃描間隔小于地面裝甲目標的最小特征長度[4],則掃描區域覆蓋到裝甲目標,即判定為有效捕獲。平面掃描區域遠大于裝甲目標尺寸,將裝甲目標簡化為一個點。

記固定目標點為Pz0,為了捕獲該點,將該點置于掃描區域S0的頂點,如圖3所示,則該掃描區域是彈丸位于臨界掃描點Psy0的掃描區域,由捕獲依賴區結論知,彈丸必須落于以點Psy0為頂點的中心對稱區域Sy內。

圖3　對地面裝甲的捕獲模型Fig.3 Acquisition model of ground armor

臨界掃描點Psy0與掃描區域頂點Pz0在χ方向存在距離為

式中:θ為彈道傾角;αs兩點連線與垂線的夾角。

則捕獲依賴區Sy為右半橢圓,橢圓圓心Psy的坐標為

式中:χ0、z0為發射彈丸時裝甲目標Pz0的坐標值; a為平面掃描區域的長度,由掃描方程、彈道方程聯立求得。

掃描依賴區Sy為右半橢圓,可表示為

由假設2可知,彈丸落點在高h平面的散布等同于在地面上的散布,則以任意點Pd為瞄準點,發射一發彈丸,當彈丸落在捕獲依賴區Sy內時,即能對目標進行捕獲,用Sy區域對落點概率密度函數進行積分,得捕獲概率為

依次選擇瞄準點Pd的位置,進行捕獲概率計算,則可獲得瞄準點與捕獲概率的關系。捕獲概率最大的一處瞄準點,為最佳瞄準點。

2.5對移動裝甲目標的捕獲

當裝甲目標為移動目標時,(9)式可看作對任意目標可能所在點的捕獲概率。且風對裝甲目標的影響可以忽略,則彈丸隨機散布與裝甲目標的隨機運動可看作為獨立事件,則由概率學知對移動裝甲目標的捕獲概率為

假設裝甲目標的運動導致裝甲目標的停留位置也符合正態散布。依據裝甲目標現有速度,計算彈目交匯點Pz坐標,作為瞄準依據,則捕獲概率為

式中:χz、zz分別為裝甲目標散布中心Pz的坐標、Ezχ、Ezz分別為裝甲目標的散布,大小為

式中:t為彈丸飛行時間;σzχ、σzz為裝甲目標χ、z方向速度的方差。

3　方法驗證及結果分析

為得到掠飛末敏彈的捕獲概率,必須先獲得彈丸的掃描區域的長度。聯合六自由度彈道方程及穩態掃描方程,運用Runge-Kutta法求解,嚴格控制迭代步長,防止掃描線端點的變化間隔過大,即得到掃描軌跡和掃描特性。依據掃描區域特性,運用數值方法對(9)式、(11)式進行積分,即得掠飛末敏彈的捕獲概率。

已知初值條件為:彈丸初速為400～800 m/ s,射角為4～20°,掃描線最大長度為50 m,掃描線安裝角為1°,彈丸的水平散布為1/240,方向散布為0.80,裝甲目標隨機運動的χ、z方向速度方差為0～3 m2/ s2.

3.1方法驗證

為驗證捕獲概率解析公式的正確性,采取蒙特卡洛打靶方法進行方法驗證。將彈道隨機初始參數及目標隨機運動參數的變量依據運動誤差產生隨機變量,即偽隨機數依次代入掃描方程及彈道方程中聯立求解,當掠飛末敏彈的掃描線端點劃過的軌跡與裝甲目標的尺寸、位置判定為重合時,則進行有效捕獲。依次重復計算,滿足計算次數要求時,統計捕獲目標的次數與總計算次數的比值即為掠飛末敏彈的捕獲概率。

表1為初速為700 m/ s時,彈體對靜止目標的捕獲概率解析方法與蒙特卡洛打靶法結果對比,由結果知,蒙特卡洛打靶法與解析法結果吻合較好,特別是蒙特卡洛打靶法多次計算結果與解析法更接近,誤差不超過3%,驗證了捕獲概率計算公式的正確性。同等計算條件下,蒙特卡洛法計算6 000次需要13 h,而解析公式需要0.5 h,大大提升了計算效率。

表1　捕獲概率計算方法驗證Tab.1 The calculated aquisition probabilities of analytic method and Monte Carlo shooting method

3.2掠飛末敏彈的掃描特性

圖4為掠飛末敏彈的掃描區域,其中彈丸初速為600 m/ s,射角為6°,圖4(a)為掠飛末敏彈的空間掃描區域,圖4(b)為平面掃描區域與橢圓方程曲線。由圖4(a)知彈道末端的彈道曲線近似為平直線,有利于實現掠飛末敏彈提供穩定的掃描平臺;探測線終點在彈丸飛行全過程的連線為螺旋線,包裹起所有可能的探測空間;掃描間隔近似為定值,約為3.1 m,小于裝甲目標的最小特征長度,可以有效實現掃描。

圖4　掠飛末敏彈的掃描區域Fig.4 Scanning area of hedgehopping terminal sensitive projectile

圖4(b)中橢圓曲線的長軸為掃描長度,短軸為探測線長,圓心為落點,掠飛末敏彈的掃描區域與理想橢圓曲線擬合很好,即在彈道平直的條件下,探測區域基本為左半橢圓,驗證了結論結論一的正確性。

表2為不同初速下的平面掃描區域長度,該值是解析公式計算捕獲概率的重要參數。由表2可知在相同初速下,隨著射程的增加,掃描長度下降,下降速度先快后慢;在相同射程下,隨著彈丸初速的上升,掃描長度快速增加。這是由于在初速大時,達到相同射程時彈丸的射角小,彈道更呈現平直特性,所以探測距離上升。為達到更好的探測效果,探測裝置精度滿足要求的情況下,盡量選取高初速,小射角有利于增加掃描區域面積。

表2　不同初速下的掃描區域長度Tab.2 The lengths of scanning area at different initial velocities　m

3.3捕獲概率分析

以裝甲目標位置為零點,附近選為瞄準點,依次發射彈丸捕獲目標,可捕獲概率最高的瞄準點。圖5為對靜止目標的捕獲概率隨瞄準位置的變化曲線,a為掃描區域的長度。由圖知:隨著瞄準位置沿χ方向正向延伸,捕獲概率先增加,再減小;零點位置和距離為a點位置處概率近似為0.5,距離零點0.5a位置時,捕獲概率最大;捕獲概率曲線以0.5a為對稱軸,近似對稱。這是由于選擇不同瞄準點位置,即以不同捕獲依賴區域對彈丸散布概率密度函數進行積分;瞄準點為零點或距離為a點時,理想條件時彈丸剛好落在目標處或者臨界探測到目標,此時對彈丸的散布積分區域占到彈丸散布的一半,所以捕獲概率為0.5;瞄準點為0.5a處,即以掃描依賴區圍繞彈丸散布中心進行積分,所以捕獲概率最大,即距離目標0.5a處,為最佳瞄準點。

圖5　瞄準點對捕獲概率的影響Fig.5 The impact of aiming point on acquisition probability

圖6為彈丸不同初速下捕獲概率隨射程的變化曲線。由圖知在射程較小的時,捕獲概率幾乎為1;隨著射程的增大,捕獲概率降低,且下降速率逐漸增大;在同一射程時,彈丸初速越高,捕獲概率越大。這是由于掠飛末敏彈的掃描特性決定的,掃描區域長度隨著射程的增大而降低,隨初速的增加而增加,則捕獲依賴區具有相同的規律,隨著在近距離上捕獲依賴區遠大于彈丸的散布,則積分結果接近為1,隨著射程的增加,初速的降低,則捕獲依賴區面積越來越小,而彈丸的散布越來越大,則捕獲概率則降低。

圖6　捕獲概率隨射程的變化曲線Fig.6 Acquisition probability vs.firing range

圖7為初速為700 m/ s不同射程下捕獲概率隨裝甲目標χ方向速度方差的變化曲線。由圖知在同一射程下,捕獲概率隨著目標的χ方向隨機運動增大而降低;隨著射程的增大,捕獲概率降低的速率先增加再減小;在相同隨機運動條件下,捕獲概率隨著射程的增加而降低。這是由于彈丸小射程時掃描面積比較大,裝甲目標的隨機運動仍在掃描面積之內,所以隨機運動對捕獲概率影響不大;隨著射程的增加,彈丸的掃描面積較小,則隨機運動對捕獲概率的影響很大;射程繼續增加,彈丸散布已是影響捕獲的主要因素,由于彈丸散布很大,則目標的隨機運動不是影響捕獲概率的主要因素,所以捕獲概率降低速度減小。

圖7　捕獲概率隨目標運動的變化曲線Fig.7 Acquisition probability vs.target movement

4　結論

通過對掠飛末敏的穩態掃描及捕獲概率的建模求解,主要得到以下結論:

1)通過建立掃描線運動軌跡方程,得到掠飛末敏彈的空間掃描線端點的軌跡為螺旋線,包裹的區域為圓柱體,掃描線接觸地面后圓柱體被切割;平面上掃描區域的形狀為左半橢圓,與以彈丸落點為圓心,掃描區域的長度為長軸,短軸為掃描線長度的橢圓吻合較好。

2)通過分析掃描區域特性,如果要捕獲到該點目標,得到彈丸必須落在掃描依賴區內,在求解類似帶有掃描特性彈丸的捕獲概率可以直接應用,簡化求解過程。

3)掠飛末敏彈捕獲概率的影響因素有彈丸的瞄準點、初速、目標的距離及目標的隨機運動。提升彈丸的初速、縮短與目標的距離、準確判斷目標的速度均能有效提升對裝甲目標的捕獲概率,對裝甲目標前瞄掃描長度一半時捕獲概率大,這對掠飛末敏彈的效能分析具有重要意義。

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Research on Acquisition Probability of a Novel Hedgehopping Terminal Sensitive Projectile

ZHAO Bo-bo1,2, LIU Rong-zhong1, GUO Rui1, CHEN Liang1, LIU Lei1, YANG Yong-liang1
(1.School of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, Jiangsu, China; 2.Unit 73917 of PLA, Nanjing 210000, Jiangsu, China)

Abstract:The operational effectiveness of a novel scanning mechanism of the hedgehopping terminal sensitive projectile is evaluated, and the acquisition performance of the terminal sensitive projectile on terminal trajectory is studied.The coordinate transformation is used to obtain the scanning linear equation of hedgehopping terminal sensitive projectile, and the coupled solution of its 6-DOF trajectory equation set is solved so that the steady scanning area could be determined.The acquisition probability expression is derived by proving the scanning dependent area theory.The results indicate that the space scanning track of the hedgehopping terminal sensitive projectile is helical, the space scanning area is cylindrical, and the scanning area on the plane is semi-elliptical.The acquisition probability can be significantly improved by decreasing the firing angle, estimating the target movement exactly, and increasing the initial velocity of projectile.The acquisition probability calculated using the analytical expression agrees with the results predicted based on the Monte Carlo shooting method, which verifies the correctness of the analytical expression.

Key words:ordnance science and technology; terminal sensitive projectile; hedgehopping; steady scanning;acquisition probability; scanning dependent area

作者簡介:趙博博(1989—),男,博士研究生。E-mail: zhao-bo-bo@163.com;劉榮忠(1955—),男,教授,博士生導師。E-mail: liurongz116@163.com

基金項目:國家自然科學基金項目(11372136)

收稿日期:2015-05-22

DOI:10.3969/ j.issn.1000-1093.2016.02.006

中圖分類號:TP391.9

文獻標志碼:A

文章編號:1000-1093(2016)02-0232-07