初中“代數運算”教學的困境與對策
——“因式分解”的錯因分析與教學思考

（福州第十中學，福建福州350000）

初中“代數運算”教學的困境與對策
——“因式分解”的錯因分析與教學思考

伍仕森

（福州第十中學，福建福州350000）

代數運算貫穿于整個初中代數的學習，而代數運算的能力是運算技能的升華，也是運算技能與邏輯思維能力的有機結合。因式分解是整式乘法的逆運算，是后續代數運算的工具，具有承上啟下的地位和特殊的作用，相關教學具備課堂實證研究的價值。本文通過因式分解的錯例分析，反觀課堂教學的得失并展開教學思考，分別從概念教學、公式教學和解題教學三個方面提出了應對措施與教學主張。

代數運算；因式分解；錯例分析；教學思考

一、問題提出

初中代數運算主要包括整式、分式、根式這三大類的代數式的加、減、乘、除以及乘方、開方運算，其本質是恒等變形。從式的存在形式演變為與之相等的另一種存在形式，這種恒等變形的運算能力并非是一種外在的字母游戲，而是數學學習的素養和研究數學的有力工具，對于數感與符號意識的形成具有重要的作用，是初中代數知識主干內容和教學關鍵點。

基于此，我們以參加2014年市級教育課題為契機，選擇“代數運算”教學模式的探索作為子課題，展開相關的理論與實踐相結合的教學研究與案例分析，并以“因式分解”的錯因分析為著力點，以點帶面地展開“代數運算”教與學的理性思考與教學反思，以期幫助學生突破代數運算的諸多困境，為學生的幸福成長發揮數學學習的育人價值。

二、案例呈現與教學思考

因式分解是整式的一種恒等變形，是把多項式變換成為整式乘積的形式，是學習分式運算的直接基礎，對后續研究整式方程是一種重要的理論依據和求解的有效方法。但是這并不意味著這樣的訓練越多越好，越難越好，甚至搞題海戰術讓教與學都背上沉重的負擔，而是要明確目的，適度訓練，在解題過程的反思中，在析錯、糾錯的領悟中，完善因式分解的認知結構，提升因式分解的運算能力。

1.對因式分解的概念認識不足導致的錯誤

【案例1】循環計算，如（x+4）2+(x+4)×(-8)=(x+4) (x+4-8)=(x+4)(x-4)=x2-16。究其原因：對因式分解的意義認識不清，受整式乘法思維定勢的影響，部分學生在因式分解后很自然的回彈到整式乘法，出現了這種循環計算。

【案例2】部分分解，如x2-9+8x=(x+3)(x-3)+8x。究其原因：造成這種錯誤的原因是對因式分解的概念沒有理解到位，如“(x+3)(x-3)+8x”雖然對局部進行了分解，但結果仍然是和的形式。

【案例3】漏項，如x2y-2xy2+xy=(x-2y)。究其原因：提公因式后漏掉了“xy÷xy=1”這一項，其根源還是對整式乘法與因式分解互為逆運算認識不足，當多項式的某一項恰好是多項式的公因式時，提取公因式后，往往漏掉了“1”這一項。

縱觀以上3個案例，發生錯解的原因是學生對因式分解的意義以及與整式乘法的區別與聯系認識不清，概念的模糊才導致的錯誤。由于因式分解的概念比較抽象，加上受整式乘法的習慣思維的影響，初學時普遍存在這些現象，這就要求我們要加強概念教學。引入概念的教學設計應從學生的思維訓練角度考慮，也就是要理解學生的認知基礎，關注學生對概念的形成過程，并且這一概念的形成需要貫穿在因式分解的整個教學過程中。不僅如此，還應該在后續的相關知識的學習過程中進一步的深化。讓學生對因式分解概念有一個逐步理解，不斷再認識的過程。基于此，我們在教學實踐中對因式分解的概念的形成與深化分為了四個階段來進行。

第一階段為概念引入和初步認識階段。我們可用小學的分解質因數的知識，如30=5×2×3來進行類比，引出多項式的因式分解。但應注意到這種引出只是強調因式分解與因數分解的聯系，并沒有揭示因式分解的本質，所以這一階段的學習應著重強調因式分解與多項式乘法之間的互逆關系。從逆向思維的角度來完成對因式分解的初步認識，促使學生明確因式分解的結果必須是整式的積的形式。

第二階段為概念的應用于鞏固階段。無論是提取公因式法還是公式法，在講解時，都要與相對應整式乘法做比較，深化因式分解是多項式的乘法逆過程的意識，提升思維能力，形成良好的思維品質。在此基礎上重點強調因式分解后每一個因式都不能再分解，要把重因式寫成乘方的形式，并及時糾正可能出現的錯誤，鞏固第一階段的教學成果。

第三階段為總結提高階段。在學完了因式分解的基本方法后，應總結因式分解的基本步驟，其中也包括對概念的總結提高，對解題經驗教訓的總結與反思。在本章講完時，對因式分解的概念已經達到理解的程度。

第四階段為深化階段。這一階段一直貫穿于后續知識的學習過程中，在學習分式時，通分、約分以及分式的運算都離不開因式分解。讓學生在后續的學習中體會到因式分解的意義與作用，明確“逆過程”的真實含義，而在分式的相應變形中，還應該強調因式分解的意義，提醒學生因式分解是對多項式而言的。

2.公式應用不當導致的錯誤

【案例4】沒有弄清楚運用公式的條件，如9x2-4y2=(9x+4y)(9x-4y)。究其原因：只注意到字母的平方，沒有考慮到系數的開方，對公式的結構特征，公式中字母所表示的含義不明確。

【案例5】錯用公式，如-x2-y2=(-x+y)(-x-y)。究其原因：在套平方差公式時，沒有弄清楚只有當兩平方項的符號相反時，才可以使用平方差公式，而“-x2”與“-y2”符號相同，不能硬套公式。透過案例4、案例5的觀察，引發我們對公式教學的再思考，學習公式的目的在于運用，并逐步形成技能或能力，如何幫助學生達到熟練應用公式的程度，是突破代數運算困境的關鍵。為此我們加強了公式的引入和記憶兩方面的教學。一般地，公式的引入可以分為三個階段：公式的形成階段、公式的理解記憶階段、公式的運用階段。前兩個階段是為后一個階段服務的，尤其是公式的形成階段，它直接影響到公式的記憶與運用。首先，我們加強乘法公式的幾何意義的教學，并自編口訣，力求通過公式的多元表征和結構分析來完善學生的認知結構，從根基處入手為記憶和運用公式打下牢固的基礎。如：(a+b)(a-b)=a2-b2“兩數和兩數差，乘積就是平方差”；(a±b)2=a2±2ab+b2“完全平方公式好，展開整理得三項，首平方尾平方，2倍首尾放中央，積前符號同前號”。其次，針對因式分解的兩個公式實際上是相應乘法公式的反寫，每個公式都有雙向的功能，從左到右是順用公式，從右到左是逆用公式。因為公式的推導一般是從左往右，這種思維定勢使得學生習慣于公式的順用，當解題過程要順用公式時比較順利，當解題需要逆用公式時，學生常常感到困難。在此，如果我們強調因式分解的本質是“化積”的話，就可以從本質上區別因式分解與整式乘法的不同，無疑對記憶和使用公式都具有重要的作用。再次，通過反例糾正達到強化記憶的目的。將學生可能發生的錯誤或作業與練習當中的錯解一一羅列出來，呈現給學生以引起必要的重視，防止再犯類似錯誤。

3.會而不對，對而不全導致的錯誤

【案例6】分解不徹底，如x4-16=(x2+4)(x2-4)。究其原因：這樣的錯誤原因是分解不徹底。正如把30分解質因數為30=5×6其中6還可以分解成2×3。

【案例7】不先提公因式而先用公式法，如16x2-4=(4x+2)(4x-2)。究其原因：沒有根據因式分解的步驟直接使用公式進行分解，導致兩個乘積式沒有分解徹底。

案例6、案例7中的會而不對，對而不全，看似解題粗心或概念不清晰，或忘記因式分解的解題步驟“一提二套三檢查”，而更深層次的原因是解題習慣不良，解題觀念缺失。學生在解題的過程中往往急于求成，急功近利，缺乏對解題過程的反思，自我監控的元認知能力低下。這跟一線教師在解題教學中只重視“怎么做”，很少挖掘或忽視“為什么這樣做”的解題分析，有一定的關系，甚至是題海戰術帶來的“熟能生笨”“熟能生厭”的負面作用。這些不利因素加重了代數運算乃至代數學習的困難。所以，我們主張代數運算的教學要在算理、算法的選擇上下足功夫。

章建躍教授曾指出，造成代數學習的困難的原因有以下幾個方面：（1）學生思維發展水平的原因；（2）自然語言、數學語言的理解能力及轉換能力方面的原因；（3）數字運算不過關的原因；（4）數學記憶廣度的原因。為了幫助學生克服代數學習的困難，他認為可以采取以下的措施：（1）加強中小學數學的銜接；（2）重視不同語言的相互轉換的訓練；（3）養成代數學習的良好習慣。

［1］義務教育數學課標修訂組.義務教育數學課程標準（2011版）的解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］鮑建生，周超.數學學習的心里基礎與過程［M］.上海：上海教育出版社，2009.

［3］李求來，昌國良.中學數學教學論［M］.長沙：湖南大學出版社，2006.

（責任編輯：王欽敏）