類比思想對大學數學知識遷移的影響

冀東江（天津職業技術師范大學理學院，天津300222）

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類比思想對大學數學知識遷移的影響

冀東江
（天津職業技術師范大學理學院，天津300222）

摘要：本文通過對類比思想的含義及其思維結構的介紹，結合波利亞怎樣解題著作中的建議，指出類比思想在學習大學數學知識的作用。以大學數學具體知識的學習過程為例，探討了類比思想在學習數學知識過程中引起的正遷移和負遷移現象，同時就如何避免類比思想導致的知識負遷移給出相關建議。

關鍵詞：類比；遷移；大學數學

Abstract:Combined with suggestions in George Polya's book How to Solve It，this article introduces the idea and structure of analogy thought, and points out the important role of analogy thought in the learning of college mathematics. Taking the learning of college mathematics knowledge as our example, this article discusses the positive transfer and negative transfer caused by analogy thought, and provides some advices to avoid the negative transfer.

Keywords:analogy; transfer; college mathematics

在數學學習過程中，你所學習獲得的數學知識并不取決于你記得多少，而在于這些數學知識能否在你需要的時候順利地從你已有數學認知結構中提取出來。我們學習數學知識的目的就是用我們所學的知識在要用的時候能夠想的起來去使用。大學數學對于本科生學習是一門相對較難科目，一個原因是學生學習過程中并沒有將新知識與原有的數學認知結構中適當的知識相聯系，將新知識納入到原有的認知結構當中。因此將新知識納入到原有的知識結構當中就顯得非常重要了。類比思想為新知識遷移到已有知識結構中提供了一種可行的方法。

一、類比思想

類比思想是指事物A與事物B具有許多相同的性質，然后根據A的有關性質與事物B進行比較，推測出B可能具有的有關性質。

類比思想包含兩個階段：比較（A和B）；推測（由A猜B或由B猜A）。類比思維方式的過程和實質就點明了類比是學習過程中知識結構遷移的有效手段。

（一）數學中的類比涵義

（1）簡單共有類比，即直接運用形式邏輯中的類比公式。

（2）數學中拋開事物的具體表達形式，而就實質進行比較。

（3）就事物發展的不同階段進行比較，并來推測不同階段上的性質。數學中的許多知識從初級發展到高級，從具體到抽象，層次低到層次高，形成一個發展鏈式圖形，每一環是一個階段，是數學發現重要方法。

（4）從有限到無限的可能類比，這種類比是數學中的獨特方式。

（二）類比的思維結構

類比的思維結構從事物出發，首先應該增加可類比自由度，減少類比約束條件，極大開闊可類比范圍、發散過程，在大范圍內搜索可類比物體。

（三）波利亞類比思想對數學學習的啟示

在波利亞的怎樣解題表中第二步擬定方案部分內容是[2]：

（1）你以前見過它嗎？或者你見過同樣的題目以一種稍有不同形式出現嗎？

（2）你知道一道與它有關的題目嗎？你知道一條可能有用的定理嗎？

（3）觀察未知量，并盡量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的題目。

（4）這里有一道題目和你的題目有關而且以前解過，你能利用它嗎？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？為了有可能應用它，你是否應該引入某個輔助元素？

將上述四點我們可以歸納到一點，那就是類比，常見的類比有：由條件相似，類比推測結論相似；由命題條件相似，類比推測推理方法相似；由概念相似推測解題思路相似等等。雖然上述是針對怎么解題的，但我們可以把類比思想作為大學數學學習過程中知識遷移的一個有效手段。

二、類比對大學數學知識遷移的影響

遷移是一種學習對另一種學習的影響，凡是一種學習對另一種學習的影響是積極的，起促進作用的，稱為正遷移，否則稱為負遷移。下面我們以學習大學數學部分內容為例，解釋類比在數學知識遷移的作用。

（一）積分對稱性知識的正負遷移

1.知識正遷移

二重積分中在計算中經常用到對稱性，對稱性又包括了普通對稱性和輪換對稱性[3]。

二重積分普通對稱性：設積分區域D關于x軸對稱，D1是D中對應于y≥0的部分，于是：

如果這部分知識有過較好掌握，通過類比，我們不難得到三重積分普通對稱性：

三重積分普通對稱性：設積分區域Ω關于yoz面對稱，Ω1是Ω在yoz面前邊的部分，于是：

剛才是從二重積分的對稱性我們通過類比很容易將三重積分的對稱性遷移到我們已經有的知識結構當中。

2.知識負遷移

第二型曲線積分中的對稱性是這樣規定的：

（二）距離空間知識正負遷移

設距離空間為(X,d)，d為X上的距離函數，有了距離，就可以定義距離空間的收斂性定義和相關性質。

1.知識正遷移

在抽象的函數空間中，借助R1、R2、R3中的幾何術語和幾何直觀、幾何方法去建立和理解有關理論。比如微積分中收斂點列定義：設{xn}為一數列，如果存在常數a，對于任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得當n＞N時，不等式|xn-a|＜ε都成立，那么就稱數列{xn}收斂于a。收斂數列具有的性質[3]：

定理1：如果數列{xn}收斂，那么它的極限唯一；

定理2：如果數列{xn}收斂，那么它一定有界。

一般距離空間的收斂點列可以類比微積分中的收斂點列定義和性質得到如下結果[4，5]：

定理1：距離空間內的點列至多收斂于一個點。

定理2：距離空間的收斂點列是有界集。

2.知識負遷移

以上通過類比使知識得到正遷移，但同時我們也要注意在類比過程中產生的知識負遷移，比如在R1、R2、R3中的某些性質，在一般的距離空間中不一定成立，其本質原因是一般的距離空間不一定是有限維的，例如微積分學中的一個基本原理——聚點原理：任意有界的無限集必有極限點，在一般距離空間中就不成立，如果是簡單類比，就會得到錯誤的結論。

（三）消除知識負遷移的方法

從以上分析可以看出，如果能夠將新舊知識進行恰當的類比，就能使新知識很好地融合到已經建立的知識結構當中，使知識得到正遷移。但如果是簡單形式上的類比，而沒有把握住類比對象存在本質不同，就會導致知識的負遷移。為了消除類比過程中出現知識負遷移，我們需要注意[1，6]：

（1）作為教師在教學中針對容易產生知識負遷移內容恰當運用反例和特例，引起學生的注意，從而消除知識負遷移。

（2）作為學生要深刻理解概念、公式、定理的實質，分清楚新、舊知識之間的聯系和區別，防止出現簡單類比導致錯誤發生。

（3）在類比過程中，如果由于負遷移對新知識學習有影響，可能會使思維活動受到束縛，甚至鉆進死胡同而不能回頭。如果學生具有良好的思維靈活性，抓住新舊知識本質區別，消除類比過程中產生負遷移。

三、結束語

創新思維需要有理智的猜想，理智猜想和類比是密不可分的，類比是數學創新必備的一種素質。因此在教學中，必須重視類比思想的滲透，了解類比思維方式的具體過程，從這些過程中挖掘類比的思維過程結構，便于培養學生運用類比思想的能力。

參考文獻

[1]鄭君文，張恩華.數學學習論[M].廣西：廣西教育出版社，2003：38-50.

[2]喬治·波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2007：29-39.

[3]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007：79-125.

[4]張恭慶，林源渠.泛函分析講義[M].北京：北京大學出版社，2014：1-6.

[5]錢佩玲，邵光華.數學思想方法與中學數學[M].北京：北京師范大學出版社，1999：232-238.

[6]郭思東，喻偉著.數學思維教育論[M].上海：上海教育出版社，1997：98-102.

作者簡介：冀東江（1979-），男，漢族，碩士，天津職業技術師范大學理學院講師，研究方向為數學教育，CT理論及應用。

中圖分類號：G642

文獻標志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）06-0102-02

數學學習過程可以分為四個階段：輸入階段、相互作用階段、操作階段和輸出階段[1]。