數(shù)學(xué)解題的認識與實踐（下）

羅增儒

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數(shù)學(xué)解題的認識與實踐（下）

羅增儒

2-2思路探求

（1）思路探求的基本含義。思路探求就是尋找題目條件與題目結(jié)論之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系，它表現(xiàn)為溝通條件與結(jié)論的一系列演算或推理。尋找解題思路是探索解題結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程。數(shù)學(xué)教學(xué)（特別是考試中）的基本思路是，把待解決或未解決的問題化歸為一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題。

（2）思路探求探什么、怎么探。

可以分兩步走，如圖5，我們將思路探求“探什么、怎么探”設(shè)計為一個操作流程圖。

圖5

第一步，努力在已知與未知之間找出直接的聯(lián)系——化歸為已經(jīng)解決過的基本問題。對于大量的常規(guī)題來說，題意弄清楚了，題型就得以識別，記憶中關(guān)于這類題的解法就招之即來。（也就是模式識別，課本中的重要定理及相關(guān)概念自動組成一個基本問題）

第二步，如果找不出直接的聯(lián)系，就對原來的問題作出某些必要的變更或修改，恰當?shù)剡\用解題策略，比如差異分析、以退求進、區(qū)分情況、層次解決、正難則反，以及自始至終的數(shù)形結(jié)合等。

①差異分析：通過分析條件與結(jié)論之間的異同并不斷減少目標差來完成解題的思考方法叫做差異分析法。使用差異分析法有3個步驟：

一是通過分析題目中所出現(xiàn)的元素和特征去尋找異同點；

二是對目標差運用基礎(chǔ)理論與基本方法作出減少目標差的某種反應(yīng)；

三是把減少目標差的調(diào)節(jié)積累起來，直至消除。

②以退求進：可以先考慮問題的特殊情況，或先考慮問題的一部分，看清楚、想明白了再進。退是手段，進是目的，“難的不會則想簡單的”是個好主意。在具體實踐中，常常是進退互補。

③區(qū)分情況：或是分解為一個個小步驟（分步），或是分解為一個個小類型（分類），各個擊破、分別解決。在具體實踐中，常常是分合并用。

④層次解決：人們在創(chuàng)造性解決問題的過程中，思維是按層次展開的，先粗后細，先寬后窄，先對問題作一個粗略的思考，然后逐步深入到實質(zhì)與細節(jié)。或者說，先作大范圍的搜索，再逐步收縮包圍圈。數(shù)學(xué)解題也是一個創(chuàng)造性活動，也可以層層深入地解決，我們叫做“三層次解決”。

第一層次：一般性解決。即在策略水平上的解決，以明確解題的總體方向。這是對思考作定向調(diào)控。

第二層次：功能性解決。即在數(shù)學(xué)方法水平上的解決，以確定具有解決功能的解題手段，這是對解決作方法選擇。

第三層次：特殊性解決。即在數(shù)學(xué)技能水平上的解決，以進一步縮小功能性解決的途徑，明確運算程序或推理步驟，這是對技巧作實際完成。

在進行“三層次解決”時，每一層次又可能有“三層次解決”。

⑤正難則反：正面思考有困難時，可以調(diào)整思考的方向，轉(zhuǎn)而從結(jié)論入手（分析法、逆推法），或反面思考問題（反證法）。在具體實踐中，常常是正反相輔。

⑥數(shù)形結(jié)合：在探索的過程中，要始終不忘把數(shù)與形結(jié)合起來思考，既會把數(shù)式轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形，又會把圖形轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)式，注意發(fā)揮數(shù)與形的雙重優(yōu)勢。

值得注意的是，上述框圖恰好組成一個由簡單到復(fù)雜的解題思考程序：

第一步，如果能夠辨別題目屬于熟悉的類型，那我們就用該類型相應(yīng)的方法來解決——模式識別。對于表面上不熟悉的題目可以通過分解或補充、轉(zhuǎn)換化歸為熟悉的類型。

第二步，如果題目不屬于熟悉的類型，那我們就用差異分析并輔以數(shù)形結(jié)合等直接解決。

第三步，如果遇到不熟悉的或費解的習(xí)題，模式識別和差異分析都不能奏效，那我們需要運用更多的策略——以退求進、區(qū)分情況、層次解決等。

第四步，如果我們所有這些正面思考都不能奏效，那就正難則反，或者從肯定結(jié)論找充分條件（分析法），或者從否定結(jié)論找矛盾（反證法）。

請思考下面題目的解題思路。

例1（江蘇省中考題）在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對角線AC⊥BD，垂足為點F，過點F作EF∥AB，交AD于點E（如圖6）。求證：四邊形ABFE是等腰梯形。

第一、理解題意

（1）弄清題目的條件是什么，一共有幾個，其數(shù)學(xué)含義如何。條件說得很長，其實獨立的有4個：

條件1：ABCD是直角梯形。直角梯形的數(shù)學(xué)含義有三個意思：AB∥DC；直線AD，BC不平行（相交）；∠ABC=∠DCB=90°。

圖6

條件2：兩底邊滿足AB=2DC。

條件3：對角線AC⊥BD（垂足為點F），對角線的數(shù)學(xué)含義是梯形相對頂點的連線。

條件4：EF∥AB。

（2）弄清題目的結(jié)論是什么，一共有幾個，其數(shù)學(xué)含義如何。從字面上看，結(jié)論為：求證四邊形ABFE是等腰梯形，而文字語言等腰梯形無法運算、不能推理，其數(shù)學(xué)含義有三個意思：EF∥AB（條件4，已知）；直線AE，BF不平行（條件3，對角線BD與一腰AD相交于D）；EA=FB（或∠EAB=∠FBA）。由于前兩條是已知的，所以本題的結(jié)論是證EA=FB（或∠EAB= ∠FBA）。

（3）弄清題目的條件和結(jié)論有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系，是一種什么樣的結(jié)構(gòu)。（我們通過此例來體現(xiàn)分析法，也就是由結(jié)論到條件的溝通）

第二、分析法——多余條件的發(fā)現(xiàn)

如圖7，由于EF∥AB，而AE，BF相交于D，所以，要證ABFE是等腰梯形，只需證∠EAB=∠FBA（或EA =FB）。

要證∠EAB=∠FBA，只需證△DAB是等腰三角形。

圖7

可見，△DAB中，DG既是AB邊上的高，又是AB邊上的中線，所以△DAB是等腰三角形。

這個思路沒有用到對角線AC⊥BD，說明這是一個多余的條件。

2-3書寫表達

（1）書寫表達的基本含義。就是把打通了的解題思路（即自己看清楚、想明白的事情），用文字具體表達出來，說服自己，說服別人（包括同意或不同意你看法的人）。考試中就是要說服閱卷老師。這當中可能會有某一步驟因忽視了關(guān)鍵細節(jié)而反復(fù)，也可能會因認真整理思想而深化理解或觸發(fā)新的靈感，書寫有整理與深化思維的功能。

（2）書寫表達寫什么、怎么寫。應(yīng)該看到，怎樣表達對學(xué)生來說仍然是一個需要系統(tǒng)指導(dǎo)和嚴格訓(xùn)練的問題。事實上，數(shù)學(xué)語言的運用與表達是中學(xué)教學(xué)的一個薄弱環(huán)節(jié)，語言表述不規(guī)范，推理過程不完整，邏輯關(guān)系“能意會不能言傳”等很普遍。我們對“寫什么、怎么寫”的建議是：

①平時抓“15字口訣”和“24字要領(lǐng)”。

“寫什么”的15字口訣：定方法、找起點、分層次、選定理、用文字。總結(jié)出計算題格式，證明題格式，應(yīng)用題格式，……

“怎么寫”的24字要領(lǐng)：方法簡單、起點明確、層次清楚、定理準確、論證嚴密、書寫規(guī)范。

②臨場抓“書寫要快”和“分段得分”。如速度意識，寫得分點，缺步解答，跳步解答，退步解答，倒步解答，輔助解答等，進可全題解決，退可分段得分。

請思考下面題目如何書寫表達。

（Ⅰ）過程結(jié)束時繩子的總數(shù)。（你認為這是什么題型？或可以化為什么題型？）

（Ⅱ）過程結(jié)束時每個同學(xué)所拉繩子條數(shù)一樣多的概率是多少？存在兩個同學(xué)所拉繩子條數(shù)不同的概率是多少？

（Ⅰ）分四步講解如下。

（1）探索：“難的不會則想簡單的”，特殊化分組，發(fā)現(xiàn)結(jié)果。

對99個同學(xué)作1+98分組，用98條繩子。（第1個同學(xué)拉了98條繩子）

對98個同學(xué)作1+97分組，用97條繩子。（第2個同學(xué)拉了1+97=98條繩子）

依此類推，最后對2個同學(xué)作1+1分組，用1條繩子。（第98、99個同學(xué)拉了1+1+…+1=98條繩子）

對這個特殊的分組，繩子的總數(shù)為

（2）類比。類比數(shù)線段的求解，將人對應(yīng)為點，將拉繩子對應(yīng)為連線，則每個人都與另外98個人拉繩子就對應(yīng)每一個點都與另外98個點連線，……這樣一來，思路應(yīng)該是通的。但是，怎么書寫呢？

（4）感悟。本例中的同學(xué)拉繩子就是數(shù)線段中的點連線段，兩兩拉一條繩子的過程（兩兩連一條線段）會有多種方式，上例給出了其中一種方式。如果先計算每一次分組拉繩子的條數(shù)再求和，則有

圖9

例2-1（變式）將平面上的n（n≥2）個點任意分成兩堆，記下這兩堆點數(shù)的乘積。繼續(xù)這一過程，只要某堆的點數(shù)大于1，就把這堆點再隨意分成兩小堆，并記下兩小堆點數(shù)的乘積，直至每堆只有1個點。求上述所有乘積之和。

將n個點記為A1，A2，…，An，當全體點被分成M1，N1兩堆作乘法時，我們將M1中每一個點都與N1中的每一個點作連線，M1內(nèi)部不連線，N1內(nèi)部不連線，則連線的條數(shù)就是M1，N1兩堆點數(shù)的乘積。可見，每次分堆點數(shù)的乘積就是每次分堆連線段的條數(shù)，所有乘積之和，就是n個點兩兩連線的總和。思路是通的，怎么書寫呢？

對第（Ⅱ）問，由第（Ⅰ）問知過程結(jié)束時每個同學(xué)所拉繩子條數(shù)一樣多，其概率為1，存在兩個同學(xué)所拉繩子條數(shù)不同的概率是0。

2-4回顧反思

（1）回顧反思的基本含義。反思就是從自身的認識活動中脫身出來，作為一個旁觀者來看待自己剛才做了些什么事情，使自己的活動成為思考的對象。有兩個層面的回顧反思，一個是解題層面的回顧反思，另一個是學(xué)會解題層面的回顧反思。

（2）回顧反思“思什么”。

①解題層面的回顧反思。主要是復(fù)查檢驗，看計算是否準確、推理是否合理、思維是否周密、解法是否還有更多、更簡單的。

有的檢驗是解題的必要步驟，檢驗之后，解題才算完成；

有的檢驗是避免過失的技術(shù)性措施，像足球守門員把住最后一關(guān)。

②學(xué)會解題層面的回顧反思。表現(xiàn)為解題后對數(shù)學(xué)題目本身及解題方法的重新認識，如思什么。

解題中用到了哪些知識？用到了哪些方法？這些知識和方法是怎樣聯(lián)系起來的？

自己是怎么想到它們的？困難在哪里？關(guān)鍵是什么？遇到過什么障礙？后來是怎么解決的？

還有別的解決方法嗎？更一般的方法？更特殊的方法？溝通其他學(xué)科的方法？更簡單的方法？同樣的方法能用來處理更一般性的命題嗎？

命題能夠推廣嗎？條件能減弱嗎？結(jié)論能加強嗎？

這些知識和方法體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想？調(diào)動這些知識和方法體現(xiàn)了什么樣的解題策略？

洞察問題的深層結(jié)構(gòu)了嗎？

題目有無科學(xué)性缺陷解法？有無邏輯性漏洞？

如此等等的思考不僅能改進和完善眼前的解題，還能提煉出對未來解題有指導(dǎo)作用的信息，它的長期積累會升華為數(shù)學(xué)才華。

（3）回顧反思“怎么思”。通常要經(jīng)歷整體分解與信息交合兩個步驟。

①整體分解。就是把原解法的全過程分拆為一些信息單元，看用到了哪些知識、哪些方法，它們是怎樣組合在一起的，從中概括出知識基礎(chǔ)、邏輯結(jié)構(gòu)、信息流程、心理過程等。有兩個基本的思考方向。

方向1：正面思考

看解題過程是否浪費了更重要的信息，以開辟新的解題通道。這需要我們重新審視每一個知識點的發(fā)散度，特別是要從知識鏈上對知識內(nèi)容作多角度的理解。

看解題過程多走了哪些思維回路，通過刪除、合并來體現(xiàn)簡潔美。

看是否可以用更一般的原理去代替現(xiàn)存的許多步驟，提高整個解題的觀點和思維的層次。

看是否可以用一個更特殊的技巧去代替現(xiàn)存的常規(guī)步驟，以體現(xiàn)解題的奇異美。

看解題過程中哪一個是最實質(zhì)性的步驟，抓住這一步既可簡化過程又可迅速推廣。

綜合、全面地看條件與條件、條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，洞察問題的深層結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性與統(tǒng)一美。

還要看到，分析解題過程時，結(jié)論也是已知信息，這會使我們對題目的認識更加深刻和全面。

具體進行時，可以畫邏輯結(jié)構(gòu)圖、信息過程圖來幫助思考。

方向2：反面思考

可以使用否定假設(shè)法來提出問題。使用否定假設(shè)法的步驟是：

確定出發(fā)點（已知命題、問題或概念）；

對所確定的對象進行分析，列舉出它的各個屬性；

就所列舉的屬性進行思考。如果這一屬性不是這樣的話，那它可能是什么？

依據(jù)上述對各種可能性的分析提出新問題。

②信息交合：就是抓住整體分解中提煉出來的新認識或本質(zhì)步驟，將信息單元轉(zhuǎn)換或重組成新的信息塊。這些新信息塊的有序化，使認識更接近問題的深層結(jié)構(gòu)。于是，一個新的解法就誕生了，所儲存的數(shù)學(xué)知識之間的非人為的、實質(zhì)性的聯(lián)系就加強了，怎樣學(xué)會解題的體驗就生成了，提煉解題理論的基礎(chǔ)也奠定了。

這4個步驟需要不斷地反饋調(diào)節(jié)，即使4步完成了也存在反思改進的空間：有時候思路還比較麻煩，通過反饋調(diào)節(jié)而精簡；有時候思路還存在錯誤，通過反饋調(diào)節(jié)而糾正。

（作者單位：陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系）