一類多種群趨化性模型解的形態研究

陳學勇， 李雪臣

(許昌學院 數學與統計學院，河南 許昌 461000)

一類多種群趨化性模型解的形態研究

陳學勇， 李雪臣

(許昌學院 數學與統計學院，河南 許昌 461000)

研究了一類修正了的多種群Othmer-Stevens趨化性模，利用比較原理、函數變換技巧構造出相應系統的上下解，進而得到了多種群趨化性系統在不同條件下的全局存在、爆破及坍塌現象.

趨化性系統；全局存在；解的爆破；坍塌

趨化性現象是生命系統中普遍存在的重要現象，研究人員不斷利用數學建模和試驗方法對這一問題進行深入的探討.自Keller-segel[1]建立了首個經典趨化性數學模型后，由于數學理論上分析的困難及其強大的實際背景使得人們不斷對該模型進行修正研究.經典拋物-拋物型趨化性模型得到了充分的研究和發展.當刺激物擴散速度慢時，例如刺激物具有較強黏性的情形，Othmer和Stevens構建了一類Othmer-Steven模型[2].它與經典Keller-Segel模型主要區別在于忽略了化學刺激物的自擴散因素，數學上來看系統變成了拋物-常微組合形式，刺激物擴散項的缺失使得原來處理趨化性模型已有的方式不再適用，特別是高微情形下，非線性和強耦合特性使得系統解的存在和性態結果難以獲得.

Sleeman和Levine考慮了一維情形下的模型[3]，他們找到了這一模型的精確解，并且發現在適當條件下解可以全局存在或者在有限時刻爆破.陳學勇，楊茵得到了一類趨化性模型行波解的存在性條件[4].楊茵等討論了S-L模型在高維下的情形, 并且得到解的全局存在性和爆破的條件[5].

本文中我們討論如下兩個種群并且帶有反應項的趨化性模型:

(1)

其中u0(x)>0,v0(x),w0(x)>0∈Cε(Ω)；u表示生物體的濃度或數量；生物體可以是細胞、細菌、昆蟲等等；v代表噬菌體的數量、w表示與兩種物種有關的化學物質；D1和D2分別代表兩個生物種群u,v的擴散系數；Ω是Rn中具有光滑邊界?Ω的有界區域；n表示邊界?Ω的外法向量；Di,ai,bi(i=1,2),μ為非負參量，α,β為正常數；δ>0是化學引誘物的退化率．

趨化性模型是一類強耦合非線性交叉擴散模型，對其研究具有重要的理論和實際意義，本文中利用函數變換技巧、迭代技巧和比較原理得到了關于模型(1)的解的各種性態，巧妙地避開了強耦合交叉擴散帶來的分析困難，其結論也印證了生態系統中一些趨化性系統生態變化過程．

方便起見，首先給出一些相關定義．

定義1[5]假設(u(x,t),v(x,t),w(x,t))是模型(1)定義區間[0,T)上的正解， 如果T→+∞, 則稱(u(x,t),v(x,t),w(x,t))是模型(1)全局解，否者為局部解.

定義2[5]模型(1)的局部解u(x,t)稱為爆破或者坍塌， 如果存在一個有限時刻T>0使得

模型(1)的全局解u(x,t)稱為最終爆破或者最終坍塌， 如果

1 函數變換

本節利用函數變換技巧得到系統(1)的等價模型．

(2)

本文中取D1=D2=1，否則可以利用伸縮變換化成擴散系數為1的情形.

對任意給定的QT上的光滑函數w(x,t)，

(3)

是半線性反映擴散方程的初邊值問題，對此問題比較原理是有效的.由拋物型方程理論可知，系統(3)存在唯一的局部解(p(x,t),q(x,t))，它的正則性依賴于初值. 如果p0(x)∈Cε(Ω), 則p(x,t)∈C2+ε,∞(Ω×(0,T)).

為方便起見本文中系統的解指的是滿足系統(1)且屬于空間C2+ε,∞(Ω×(0,T))的函數，

引理1[1]p(x,t),q(x,t)∈C2+ε,∞(Ω×(0,T))是系統(3)的有界解當且僅當(u(x,t),v(x,t),w(x,t))是系統(1)的有界解，且滿足：

我們令

2 解的漸近性態

(4)

(5)

利用比較原理可得如下結論：

由比較原理，存在

使得

定理1證畢．

注記1 為考察模型的生物意義,u、v、w非負；δ>0表示化學吸引物質w的自我揮發率或損耗率；μ>0表示生物種群u有利于化學物w的增長，例如,生物種群自身分泌的粘液等.

定理2 若參數滿足a1>c0(a2+δ),c0≥1,a1≥a2-δ>δ，則系統(1)存在唯一的全局解(u(x,t),v(x,t),w(x,t))，且系統解(u(x,t),v(x,t),w(x,t))最終爆破．

證明 由a1>c0(a2+δ),a1≥a2-δ>δ，可知

再由a1>δ和w(x,t)的表達式,可以推得

定理2證畢．

定理3 若參數滿足a1+δ

(i) 當c0a2-δ

(ii) 當a1+δ-c0a2≤0時，u(x,t),w(x,t)最終坍塌，v(x,t)一致有界．

證明 由a1+δ

又因為c0<1，可知

這意味著w(x,t)一致有界, 進而可知u(x,t),v(x,t)也一致有界.

定理3證畢．

利用定理3中類似的方法可以推得如下結論成立，

定理4 若a1+δ

[1] Keller E F, Segel L A. Initiation of slime mould aggregation viewed as an instability[J]. J Theoret Biol, 1970, 26: 399-415.

[2] Othmer H G, Stevens A. Aggregation, blow-up, and collapse: The ABC’s oftaxis and reinforced random walks[J]. SIAM J Appl Math, 1997, 57: 1044-1081.

[3] Levine H A, Sleeman B D M.Nilsen-Hamilton, Mathematical modeling of the onset of capillary formation initiating angiogenesis[J]. J Math Biol, 2001, 42: 195-238.

[4] 陳學勇，楊 茵.一類趨化性模型行波解的存在性[J].數學學報,2012,55(5):817-828．

[5] Yang Y, Chen H, Liu W A. On existence of global solutions and blow-up to a system of Reaction-Diffusion equations modelling chemotaxis[J]. SIAM J Math Anal, 2001,33:763-785.

[6] Murray J D. Mathematical Biology[M]. Berlin： Springer, 1993.

責任編輯：周 倫

The Behavior of the Solutions to a Multi-group Chemotaxis Model

CHEN Xue-yong, LI Xue-chen

(SchoolofMathematicsandstatistics,XuchangUniversity,Xuchang461000,China)

In this paper, we study a modified multi-group Othmer-Stevens chemotaxis model. By using the methods of comparison principle and function transformation, the sub-supersolution of corresponding system is obtained. Furthermore, we prove the global existence, blow-up and collapse phenomenon of chemotaxis system under different conditions.

chemotaxis system; global existence; blowing up of solution; collapse

2015-12-01

河南省基礎與前沿項目(142300410103)； 河南省教育廳基礎研究重點項目(15A110042); 許昌市科技局項目(1404003); 許昌學院優秀青年骨干教師資助項目; 許昌學院自然科學重點項目(2015109, 2016078)

陳學勇(1983—)，男，山東泰安人，講師，博士，研究方向：偏微分方程理論及應用.

1671-9824(2016)02-0009-06

O175.29

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