基于改進粒子群算法的平行度誤差評定*

周東棟，樊　軍

(新疆大學 機械工程學院，烏魯木齊　830047)

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基于改進粒子群算法的平行度誤差評定*

周東棟1，樊軍2

(新疆大學 機械工程學院，烏魯木齊830047)

摘要：目前最小二乘法普遍應用于誤差評估，但其只適應于精度要求比較低的場合，且用最小二乘法只能是對形位誤差的近似計算，誤差值不是唯一的。為了精確的評估平行度誤差，根據新一代GPS標準，建立了符合最小區域條件的平行度誤差評定數學模型。針對平行度誤差評定特點，采用一種動態改變慣性權重的自適應粒子群算法，來實現誤差的優化評定。最后通過平行度的典型實例來驗證該方法的可行性和有效性。

關鍵詞：新一代GPS；最小區域；平行度；慣性權重；自適應粒子群優化算法

0引言

由于平行度誤差對機械零部件的綜合性能及質量有著重要的影響，對于零部件平行度的檢測也顯得尤為重要，因此，如何精確地評估平行度誤差就有著重要的現實意義。

由于傳統的測量誤差方法已經無法滿足現代制造業的發展要求，因此，以計量數學為基礎的新一代GPS標準體系的出現，在一定程度上解決了形位誤差的規范評定問題。

由于最小二乘法計算簡單便捷，因此到目前為止該方法是評定誤差時應用最廣泛的一種，但也只能得到近似結果。最精確評定誤差的方法是最小區域法，所求得的誤差值最小并且唯一，且其實際屬于最優化問題[1]。故文中以線對面的平行度為例，根據新一代GPS標準體系的規定，運用一種動態改變慣性權重的自適應粒子群優化算法，按最小條件評定原則對平行度測量數據進行評定。

在運用改進粒子群算法的過程中，慣性權重值隨粒子的目標函數性質及位置而改變，引入動態改性權重后的改進算法使收斂速度顯著加快，而且可以在一定程度避免陷入局部最優解。

1平行度誤差評定數學模型

1.1建立基準平面

根據新一代GPS標準體系的綜合模型，為了滿足產品的規范和測量評定方法的一致性需求，則需要由不同規范的操作以及算子來實現。其中操作由要素和評估操作組成，而要素操作又由分離、提取、濾波、擬合、集成、構建六類組成[2-3]。

在評定過程中，誤差基準要素的評定是關鍵，由于基準不是理想要素，故可采用分離、提取等操作對誤差基準進行分析研究，使基準理想化。由于最小區域法所得的包容區域平面是擬合基準平面方法里最接近實際平面的一種，因此一直以來有很多學者投身于此方面的研究。

由平面度的定義可知，平面度誤差就是被測的實際平面相對于基準平面的最小變動量。這里，我們首先將評定平面度誤差轉換為求理想平面的方位。設點pi(xi,yi,zi)(i=1,2,…,n)是空間基準實際平面上的測量點，計算點pi(xi,yi,zi)到理想平面的距離，如果滿足平面內包容所有點距離的最大與最小值的差值為最小，那么所求平面度的誤差值即等于此距離的差值，該平面即為所要求得的基準平面，如圖1所示。

圖1　被測與基準平面

設基準平面擬合方程為：

lx+my+nz+h=0

(1)

其中l,m,n,h為待定系數，被測輪廓上各點到此平面距離為di：

(2)

平面度誤差即為：

f(l,m,n)=dmax-dmin

(3)

將函數f進行優化使其最小，此時就將求最小條件的平面問題轉變成求l、m、n值的問題，進而可以得到基準平面擬合方程。

1.2線對面定向誤差的評定數學模型

取基準平面上任意點P0(X0,Y0,Z0)為原點，建立新坐標系(O,X,Y,Z)，并使ox∥OX，XOY坐標平面與xoy坐標平面的夾角為α，如圖2。

圖2　空間坐標轉換

對于原坐標系(o,x,y,z)與新坐標系(O,X,Y,Z)之間的坐標變換公式如下所示：

(4)

對被測點pk(xk,yk,zk)(k=1,2,…,n)，通過上式進行變換得到相應點Pk(Xk,Yk,Zk)(k=1,2,…,n)。被測直線測點集算術平均中心點的坐標為P0(X0,Y0,Z0)，其中，

(5)

在此引入文獻[4]中的誤差理論和最小區域原理，可以得知其理想直線就是以被測直線的測點集算術平均中心點為基點的最小區域的擬合直線。設該直線的方向向量為S={p,q,r}，則以P0(X0,Y0,Z0)為基點的最小區域擬合直線L方程為：

(6)

任意測量點Pk(Xk,Yk,Zk)到直線L的距離D為：

D=

(7)

依據直線度定義可知，直線度的誤差為：

f1(p,q,r)=Dmax

(8)

對式(7)進行優化分析，獲得最大值，帶入式(8)進行收斂優化得到最小條件，便可求得滿足最小區域條件擬合直線的p、q、r值。

由于在任意方向上線對面傾斜度的誤差包容區域實際上是以其擬合直線為軸線的并且包容了所有誤差測量點的一個理想的圓柱面，則此理想包容圓柱面的直徑就是傾斜度的誤差值，即：

(9)

平行度以及垂直度誤差則可被看作是當理想正確角度分別為0°和90°時線對面傾斜度誤差的兩種特殊的情況。因此，適當改變理論正確角度就可以進行平行度和垂直度的評定計算。

2改進粒子群優化算法

2.1粒子群優化算法

PSO是從鳥的種群行為的特性受到啟發，并對鳥群捕食的過程進行仿真研究，通過群體中個體之間的協調和信息共享，進而取得最優解[5]。

假定目標搜索空間為D維，由n個粒子組成初始種群，粒子i(i=1,2,…,n)的位置表示為xi，粒子i(i=1,2,…,n)的速度表示為vi。n個粒子都可以找到與之相對應的適應值，在找到兩個最優解后的粒子i可以按照如下公式進行更新各自的速度與位置[6]：

(10)

(11)

隨著粒子群優化算法的出現，國內外的學者給予了極大的關注，并提出了許多改進優化算法，對于參數慣性權重的改進就是一種重要的改進。后來國外學者Shi和Eberhart在標準化公式中引進了慣性權重因子w(w≥0)進行了改進，修改后的為的公式如下[7]：

(12)

2.2一種動態改變慣性權重的自適應粒子群算法

根據文獻[8]中平均聚集距離和最大聚焦距離的定義內容可知：

(13)

(14)

其中m為粒子群的粒子數；d為每個粒子的維數；pid為群體當前搜索到的最佳位置；xid為個體粒子當前觀測到的最佳位置。

定義粒子當前的聚焦距離的變化率為：

(15)

在每一次的迭代過程中，首先通過計算得到本次迭代得到的平均聚焦距離和最大聚焦距離，根據上式所得到的聚焦距離的變化率值的大小就可以相應地調整慣性因子w。

基本的PSO算法可被看作是在w=1的情況下，w取適當的數值，較大的w可以加強全局搜索能力，而較小的w則可以加強局部搜索能力，w執行了平衡兩者之間的關系的作用，進而使之達到最優的平衡狀態，同時也可根據每一次迭代計算過程的不同時期的搜索情況適當地調整w的數值。在此列出一種自適應的非線性慣性權值遞減函數，表達式如下所示[9]：

(16)

其中α1=0.3，α2=0.2，r為一個隨機數并且其取值范圍在[0,1]之間。該方法是隨機地選取w值并且使w隨著聚焦距離變化率的變化適當地自我調整，使其更好地適應實際情況，從而更加機動地調整全局和局部搜索能力。從式(15)中分析可知當其聚焦距離的變化率值比較大時，最大和平均的聚焦距離差異也比較大，則此時粒子的全局搜索能力較差，因此要進行調整使粒子可以快速地進入全局搜索，反之，則應當提高粒子的局部搜索能力。

該方法(算法DCWPSO)的具體實現步驟為[7]：

Step1：初始化一群粒子(群體規模為n)包括隨機位置和速度。

Step2：設置粒子的當前位置是pi，初始粒子群中最優粒子的位置是pg。

Step3：根據收斂準則判斷算法能否滿足，如果滿足條件，則轉Step5；否則，接著執行Step4。

Step4：針對粒子群中的所有粒子，進行如下操作步驟：

①通過式(10)、(11)、(12)更新粒子的速度以及位置；

②通過式(13)、(14)、(15)計算出聚集距離的變化率，進而確定慣性權重w的值。

Step5:輸出pg，算法運行結束。

3實例驗證與結果討論

線對面平行度誤差的傳統測量方法如圖3所示，在軸線對面的平行度評定中，在被測孔內插入適當的心軸，將心軸用來模擬被測軸線(當允許排除形狀誤差時)，將基準平面放置在平板上，在被測心軸上的兩測點距離為L2的位置上分別測得讀數為M1、M2，由于線對面的平行度誤差為：

(16)

據此可以測得平行度：Δ=0.046mm。

但是傳統的測量方法操作繁瑣，測量精度低，人為影響因素比較大，存在原理誤差—心軸自身的形狀誤差影響最終的測量結果。

圖3　傳統測量方法

故本試驗采用三坐標測量機進行測量，將被測箱體零件放在工作臺的任意位置，然后建立測量坐標系，手動測點，在數據處理系統中提取被測點坐標。表1為文獻[10]中給出的如圖4所示的被測箱體零件上直徑為φ24的孔的軸線對基準面A的平行度誤差的測量數據。

表1　被測箱體零件平行度數據(單位：mm)

圖4　三維圖和平面尺寸圖

根據之前分析所得到的優化算法進行分析計算。將三種誤差的評定方法的計算結果做如表2所示比較。

表2　評定結果比較

圖5為計算數據時DCWPSO算法的粒子適應度收斂曲線，由圖分析可知，其收斂速度非?？欤沂諗窟^程也比較穩定。

圖5　粒子適應度收斂曲線

4結束語

本文在新一代GPS操作的基礎上，為了可以有效地解決誤差評定中非線性的優化問題。通過建立基于了滿足最小條件的平行度誤差評定的數學模型以及優化目標函數，應用了一種如公式12所示的動態地改變慣性權重的自適應粒子群算法，進一步實現了線對面的平行度誤差的評定。通過表2結果比較可知該理論方法比最小二乘法和傳統方法計算的結果評定精度更高，在理論上更加接近真實值。

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(編輯趙蓉)

Parallelism Error Evaluation Based on an Improved Particle Swarm Optimization

ZHOU Dong-dong1，FAN Jun2

(College of Mechanical Engineering, Xinjiang University, Urumqi 830047,China)

Abstract：Currently Least Square Method (LSM) is commonly applied in the error evaluation, but it is adaptive to the condition of low accuracy requirement. Besides, the error value obtained by LSM is not the minimum. In order to accurately evaluate parallelism error, a minimum zone mathematical model for the parallelism error evaluation was given based on the new generation GPS standards．According to the characteristics of parallelism error evaluation，a new adaptive Particle Swarm Optimization algorithm with dynamically changing inertia weight (DCWPSO) is proposed to implement optimization in the error evaluation．Finally，an example was given to illustrate the proposed method.

Key words：the new generation GPS；the minimum zone method；parallelism；inertia weight；adaptability particle swarm optimization

中圖分類號：TH16；TG506

文獻標識碼：A

作者簡介：周東棟(1991—)，男，河南鄧州人，新疆大學碩士研究生，研究方向為人體外骨骼的設計與研究，(E-mail)13134462601@163.com;通訊作者：樊軍(1965—)，男，山東青島人，新疆大學副教授，研究方向為人體外骨骼的設計與研究，機械零件誤差分析，(E-mail)xj_fanjun@163.com。

*基金項目：國家自然科學基金項目(11462021)

收稿日期：2015-08-06

文章編號：1001-2265(2016)02-0108-04

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.02.031