橢圓曲線回轉類零件NURBS插補算法研究*

翟靜濤，趙國勇，莊丙遠，岳　磊

(山東理工大學 機械工程學院，山東 淄博　255049)

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橢圓曲線回轉類零件NURBS插補算法研究*

翟靜濤，趙國勇，莊丙遠，岳磊

(山東理工大學 機械工程學院，山東 淄博255049)

摘要：針對激光熔覆加工中橢圓曲線回轉類零件，提出了利用NURBS曲線直接對橢圓曲線零件擬合、插補的算法。在NURBS曲線建模的理論基礎上，利用一階泰勒展開式對插補點進行迭代運算，結合可控弓高誤差插補理論，對刀軌曲線進給速度進行了規劃。插補加工實例說明，對于橢圓曲線回轉類零件，所提出方法滿足加工精度要求，達到了預期的加工目標。

關鍵詞：激光熔覆加工；橢圓曲線；NURBS；弓高誤差

0引言

激光熔覆技術是伴隨激光加工興起的一項新型工藝，因在材料表面改性中的突出優點而獲得了國內外大多學者的廣泛關注和研究[1-2]，在再制造和快速成型領域被迅速推廣應用。

對于激光熔覆加工中橢圓曲線回轉類零件，主要采用直線和圓弧逼近，理論和實驗證明采用直線段逼近復雜曲線并使用線性插補加工，對精度和速度的要求是一對矛盾[3-6]。鑒于以上兩方法的不足，以及NURBS插補在復雜幾何造型方面的獨特優勢，提出了用NURBS曲線直接擬合、插補橢圓曲線回轉類零件的算法。在X-Z坐標平面內進行NURBS曲線建模，通過弓高誤差控制進給速度，并對具體零件進行了插補加工驗證。

1NURBS曲線的簡述

1.1NURBS曲線的定義

對于任意一條k次NURBS(Non-Uniform Rational)曲線都可以表示為一分段矢值多項式函數[7-9]：

(1)

其中，ωi(i=0,1,...,n)稱為權值,與控制頂點di(i=0,1,...,n)相聯系，ω0,ωn>0,其余ωi≥0,Ni,k(u)是由節點矢量U=(u0,u1,...,un+k+1)根據Cox-de Boor遞推公式決定的B樣條基函數，表達形式如下：

(2)

其中，k表示次數，i表示序號。

1.2二次NURBS的矩陣表達形式

鑒于本文采用二次NURBS曲線對橢圓擬合、插補，本部分研究了二次NURBS曲線的矩陣表達算法。由式(1)得二次NURBS曲線的表達式，即當k=2時，

(3)

其中，Ni,2(u)為二次有理B樣條基函數，為了描述簡潔化，引入符號Δ，并且滿足：

同時，指定 U=[1uu2]，0≤u≤1；

Wi=[ωiωi+1ωi+2]T；

Di=[diωidi+1ωi+1di+2ωi+2]T

根據Cox-deBoor遞推公式得到二次NURBS曲線的矩陣表達式為：

(4)

1.3二次NURBS曲線對橢圓曲線的擬合

二次NURBS曲線跟同次B樣條曲線一樣，具有端點插值性，即在起點和終點分別與各自控制頂點重合，且在端點與特征多邊形邊相切[10]。

采用二次NURBS對橢圓曲線進行擬合，包括以下步驟：

步驟1：要根據具體的橢圓曲線方程來設置控制頂點di和權因子ωi；

步驟2：按照參數u從0～1循環，依次代入公式(4)進行運算，可以得到曲線上的各個對應點pi(u)；

步驟3：將生成的各個對應點依次相連，從而得到所要擬合的橢圓曲線。

2NURBS曲線實時插補

2.1NURBS曲線實時插補

NURBS曲線實時插補流程如圖1所示。

圖1　NURBS曲線實時插補流程

樣條插補中實時插補的核心是插補參數的計算，對于NURBS插補，只要根據已知參數值ui求得下一點的參數值ui+1，代入式(1)便能得到下一插補點p(ui+1)的坐標位置。由于通過二次NURBS曲線進行插補，本文采用一階泰勒展開式作為參數值之間的迭代公式。

將參數u對時間參數t求導并進行一階泰勒展開得：

(5)

其中,T=ti+1-ti，o(t2)為t2的高階無窮小量；

又因為

(6)

設p(u)為所要插補的二維NURBS曲線，其矢函數表達式為p(u)=(x(u),z(u))，則

(7)

綜合式(5)、(6)、(7)得一階泰勒展開式為：

(8)

2.2控制弓高誤差自動調節速度算法

在NURBS的實時插補中，為保證弓高誤差限制在一定范圍內，必須隨著曲線曲率的變化來調節進給速度。通常采用圓弧近似的方法求出弓高誤差、進給速度以及曲率之間的關系，如圖2。

圖2　圓弧近似求解弓高誤差示例圖

由圖2可以得到以下幾何關系：

(9)

(10)

Li=v(ui)Ts

(11)

(12)

由公式(9)～(11)，得到:

(13)

設定編程速度為F，允許最大輪廓誤差為Ermax，則進給速度的調節算法為：

v(ui)=

(14)

3橢圓曲線回轉類零件插補實例

激光熔覆加工中某橢圓曲線回轉類零件，如圖3所示。通過分析所要插補的橢圓曲線部分，用NURBS曲線擬合，如圖4所示。設控制頂點數共6個，依次分別為點A、B、D、F、H、I，其中，通過設置曲線的結點C、E、G, 將所要擬合的橢圓曲線總共分為4段。

具體參數包括控制頂點，節點矢量，權因子依次分別設置如下：

di:[(-12,12)(0, 18.75)(20, 7.231)(20,-7.231)

(0,-18.75)(-12,-12)]；

U:[0,0,0,0.2871,0.5000,0.7129,1,1,1]；

ωi: [1,0.8,1,1,0.8,1]。

設進給速度F=12m/min,允許最大輪廓誤差Ermax=1μm,插補周期Ts=1ms。插補結果如圖5～圖7所示。

通過對照圖4、圖5，擬合曲線跟插補曲線整體趨近于重合，驗證了NURBS曲線對非圓曲線插補的可行性。

如圖6，通過分析輪廓誤差曲線圖可以看出在整個插補過程中，輪廓誤差曲線整體以參數值u=0.5為對稱軸呈現左右兩邊對稱，完全符合了被插補橢圓曲線本身軸對稱的特性，且在節點參數u=0.45附近對稱出現最大誤差數值。

通過對仿真結果的分析可以得到在整個插補過程中，輪廓誤差始終被限制在最大弓高誤差Ermax=1μm的約束條件內，完全滿足加工要求，達到了預期的目標。

圖3　激光熔覆加工中某橢圓曲線回轉類零件

圖4　用NURBS擬合橢圓曲線零件過程

圖5　NURBS曲線描述擬合橢圓曲線結果

圖6　橢圓曲線輪廓NURBS插補結果

圖7　NURBS插補輪廓誤差曲線圖

4結束語

針對激光熔覆加工中橢圓曲線回轉類零件的插補研究，提出了利用NURBS曲線對橢圓曲線擬合、插補算法，利用控制弓高誤差自動調節進給速度，對進給速度進行控制和規劃，滿足了輪廓誤差要求，擬合、插補實例驗證了該方法的合理性。預計可以進一步提高該類零件激光熔覆加工的效率和精度。

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(編輯趙蓉)

Research on NURBS Interpolation Algorithm for Rotational Parts with Elliptic Curve

ZHAI Jing-tao, ZHAO Guo-yong, ZHUANG Bing-yuan, YUE Lei

(School of Mechanical Engineering, Shandong University of Technology, Zibo Shandong 255049,China)

Abstract：For the rotational parts with elliptic curves in laser cladding process, an interpolation algorithm based on NURBS is proposed to make use of the curve itself to approximate and interpolator the parts with elliptic curve directly. On the basis of the theory about the curve modeling, an iterative calculation which is composed by the first order Taylor’s expansion is developed for interpolation. Based on the algorithm of the controlled chord error interpolator, the feederate can be under control. As the result of an example in interpolation process, the algorithm is proved effective to meet the need of machining accuracy for the rotational parts with elliptic curves, and achieve the processing target expected.

Key words：laser cladding process; elliptic curve; NURBS; chord error

中圖分類號：TH161;TG659

文獻標識碼：A

作者簡介：翟靜濤(1989—)，男，山東淄博人，山東理工大學碩士研究生，研究方向為數控技術與裝備；通訊作者：趙國勇(1976—)，男，山東淄博人，山東理工大學教授，碩導，博士，研究方向為機械制造自動化技術，(E-mail)zgy709@126.com。

*基金項目：國家自然科學基金項目"五軸聯動數控機床輪廓誤差耦合控制理論與方法研究"(51105236)

收稿日期：2015-04-25;修回日期：2015-05-19

文章編號：1001-2265(2016)02-0112-03

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.02.032