基于五次多項(xiàng)式插值的大慣量弱剛性回轉(zhuǎn)系統(tǒng)的啟動速度控制

陳愛波，陳五一

(北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動化學(xué)院,北京　100191)

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基于五次多項(xiàng)式插值的大慣量弱剛性回轉(zhuǎn)系統(tǒng)的啟動速度控制

陳愛波，陳五一

(北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動化學(xué)院,北京100191)

摘要：用于支撐大型目標(biāo)進(jìn)行360°方位電磁測試的回轉(zhuǎn)支撐系統(tǒng)具有大慣量弱剛性的特點(diǎn)，為滿足系統(tǒng)在較短時(shí)間內(nèi)由靜止加速到測試轉(zhuǎn)速0.1°/s所引起的待測目標(biāo)的轉(zhuǎn)速超調(diào)量不大于0.001°/s，提出利用單段五次多項(xiàng)式對整個(gè)加速過程進(jìn)行速度插值的控制算法，不僅保證速度和加速度全過程連續(xù)可導(dǎo)，而且加加速度始終連續(xù)變化。與S形加減速控制算法相比，該算法更加簡便且使系統(tǒng)具有更高的柔性，通過利用ADAMS對回轉(zhuǎn)支撐系統(tǒng)進(jìn)行剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)仿真驗(yàn)證了該算法的優(yōu)越性。

關(guān)鍵詞：五次多項(xiàng)式; 大慣量弱剛性;速度控制

0引言

在微波暗室中對大型目標(biāo)進(jìn)行360°方位電磁性能測試需要專門設(shè)計(jì)的回轉(zhuǎn)支撐系統(tǒng)，但為減小支撐構(gòu)件的外形尺寸對電磁測試的影響，數(shù)控回轉(zhuǎn)臺面與待測目標(biāo)之間只能采用長徑比很大的柱形鋼作為聯(lián)接支撐桿，使得該支撐系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動過程中具有大慣量弱剛性的特點(diǎn)。雖然預(yù)定的目標(biāo)測試轉(zhuǎn)速只有0.1°/s，但要求回轉(zhuǎn)系統(tǒng)由靜止加速到測試轉(zhuǎn)速所引起的目標(biāo)轉(zhuǎn)速超調(diào)量不大于0.001°/s，即要求系統(tǒng)啟動過程足夠平穩(wěn)無沖擊。

在數(shù)控領(lǐng)域，加減速控制方法一直是研究熱點(diǎn)。直線加減速和指數(shù)加減速控制方法[1-2]在傳統(tǒng)數(shù)控系統(tǒng)中應(yīng)用較多，算法簡單，但在加減速過程中存在加速度突變，速度過度不平滑。以七段S曲線為典型的S形加減速控制方法[3-4]雖然能實(shí)現(xiàn)連續(xù)的加速度，有效減小柔性沖擊，但其加加速度存在階躍變化的不連續(xù)點(diǎn)，仍會導(dǎo)致系統(tǒng)加減速過程中存在沖擊和振動，雖然很多研究[5-7]對傳統(tǒng)S形加減速控制算法進(jìn)行改進(jìn)使其加加速度沒有突變，但該類算法本身分段復(fù)雜，或涉及參數(shù)較多，程序?qū)崿F(xiàn)繁瑣。三次多項(xiàng)式加減速控制方法[8]采用單段三次多項(xiàng)式分別插值加減速段，算法簡單易實(shí)現(xiàn)，保證了加加速度在變速運(yùn)動階段的連續(xù)，但在加減速段與勻速段的銜接點(diǎn)處仍是階躍變化的。三角函數(shù)法[9]的思想與三次多項(xiàng)式法相似，且可以實(shí)現(xiàn)加加速度的連續(xù)變化，但計(jì)算復(fù)雜。

為盡量減小回轉(zhuǎn)支撐系統(tǒng)啟動時(shí)的沖擊和振動，本文提出基于五次多項(xiàng)式插值的速度控制算法，保證系統(tǒng)啟動過程中加加速度始終連續(xù)變化，有效提高系統(tǒng)的柔性。

1五次多項(xiàng)式速度插值算法

1.1基于五次多項(xiàng)式插值的啟動速度控制算法

圖1　回轉(zhuǎn)系統(tǒng)啟動過程角速度變化曲線

系統(tǒng)正常啟動的過程一般是由靜止?fàn)顟B(tài)逐漸加速到工作速度后保持勻速運(yùn)動，而由靜止到工作速度的速度變化過程即是對啟動速度的控制過程。傳統(tǒng)啟動過程多采用勻加速運(yùn)動，即速度為斜坡變化，而基于五次多項(xiàng)式插值的啟動速度控制算法即是以單段五次多項(xiàng)式代替斜坡輸入，以加速啟動過程的初始點(diǎn)和終止點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)作為插值的邊界條件，對整個(gè)加速過程進(jìn)行速度插值，如圖1所示。

對于回轉(zhuǎn)系統(tǒng)，角速度曲線的五次多項(xiàng)式構(gòu)造函數(shù)可寫為如下形式：

ω(t)=a5t5+a4t4+a3t3+a2t2+a1t+a0,t∈[0,tm]

(1)

其中，tm為加速過程所需時(shí)間。對式(1)依次求導(dǎo)可分別得到角加速度ε、角加加速度j的曲線函數(shù)分別為：

(2)

為保證啟動過程中角速度、角加速度的平滑過渡及角加加速度的連續(xù)變化，插值函數(shù)需要滿足以下邊界條件：

(3)

式中，ωm為加速過程結(jié)束時(shí)的角速度，即回轉(zhuǎn)系統(tǒng)正常工作轉(zhuǎn)速。

將上述邊界條件代入式(1)、(2)中，可得到用于求解插值多項(xiàng)式系數(shù)的線性方程組如下：

(4)

易求得多項(xiàng)式系數(shù)為：

(5)

將式(5)代入式(1)、(2)便可得到回轉(zhuǎn)系統(tǒng)基于五次多項(xiàng)式插值的啟動速度控制算法的角速度、角加速度、角加加速度曲線函數(shù)分別為：

(6)

1.2五次多項(xiàng)式加減速控制模型

五次多項(xiàng)式插值應(yīng)用于回轉(zhuǎn)系統(tǒng)啟動速度控制是為保證系統(tǒng)平穩(wěn)無沖擊啟動，基于相同原理，五次多項(xiàng)式速度插值算法同樣適用于一般數(shù)控系統(tǒng)實(shí)時(shí)加減速控制，以更加簡便的控制算法滿足柔性控制的需求。

基于五次多項(xiàng)式插值的加減速控制過程即是以兩個(gè)單段五次多項(xiàng)式分別作為加速段和減速段的速度插值函數(shù)，如此，整個(gè)加減速過程只分為三段：五次多項(xiàng)式加速段、勻速段、五次多項(xiàng)式減速段。對于加減速段，由于速度曲線函數(shù)可以沿時(shí)間軸平移，因此在求解加減速段曲線函數(shù)時(shí)，均可將該段起始時(shí)間看作t0=0，加速或減速過程所需時(shí)間為tm，則該段的速度曲線函數(shù)即可表示為如下一般形式：

V(t)=a5t5+a4t4+a3t3+a2t2+a1t+a0,t∈[0,tm]

(7)

相應(yīng)地，加速度A、加加速度J曲線函數(shù)分別為：

(8)

對式(7)積分可得位移曲線函數(shù)為：

S(t)=a5t6/6+a4t5/5+a3t4/4+a2t3/3+a1t2/2+a0t

(9)

五次多項(xiàng)式加減速控制模型中位移、速度、加速度及加加速度曲線如圖2所示。

圖2　五次多項(xiàng)式加減速控制模型

對于加速段或減速段的插值函數(shù)，為保證全過程加加速度連續(xù)變化，需滿足的邊界條件為：

(10)

式中，v0、vm分別為加速或減速過程的始、末速度。

將上述邊界條件代入式(7)、(8)中，可得到用于求解插值多項(xiàng)式系數(shù)的線性方程組如下：

(11)

易求得多項(xiàng)式系數(shù)為：

(12)

將以上求得的多項(xiàng)式系數(shù)代入式(7)、(8)便可得到加減速段以t0=0作為初始時(shí)刻的插值函數(shù)，對于全過程的絕對插值函數(shù)只需要對自變量t進(jìn)行平移即可得到，不在此詳述。

2ADAMS動力學(xué)仿真驗(yàn)證

隨著ADAMS版本的改進(jìn)，在ADAMS中直接建立柔性體或?qū)傮w創(chuàng)建為柔性體的方法變得更加簡便和完善，對于含柔性體的一般動力學(xué)分析基本無需借助于外部有限元軟件[10-12]。

如圖3所示，在ADAMS中首先建立約束完整的回轉(zhuǎn)支撐系統(tǒng)剛體模型，并將待測目標(biāo)的質(zhì)量、質(zhì)心位置及轉(zhuǎn)動慣量按照實(shí)際目標(biāo)的參數(shù)進(jìn)行設(shè)置，同時(shí)保證兩個(gè)支撐桿的尺寸及材料屬性與實(shí)際設(shè)計(jì)相同，以保證仿真結(jié)果的有效性，然后直接利用ADAMS的剛體柔性化功能將兩支桿創(chuàng)建為柔性體，可采用默認(rèn)的線性四面體單元等設(shè)置，最后，對數(shù)控轉(zhuǎn)臺施加轉(zhuǎn)動并設(shè)置為轉(zhuǎn)速控制。

圖3　基于ADAMS的回轉(zhuǎn)支撐系統(tǒng)剛?cè)狁詈夏Ｐ?/p>

分別采用分段S形曲線插值和五次多項(xiàng)式插值對數(shù)控轉(zhuǎn)臺加速啟動過程進(jìn)行速度控制，均使系統(tǒng)在13s內(nèi)由靜止加速到測試轉(zhuǎn)速0.1°/s，同時(shí)檢測待測目標(biāo)的轉(zhuǎn)速變化。在ADAMS中，分段S形曲線插值算法的控制語句為：

IF(time-6.5:0.2d*time**2/169,0.05d,

IF(time-13:0.1d-0.2d*(time-13)**2/169,

0.1d,0.1d))

五次多項(xiàng)式插值算法的控制語句為:

IF(time-13:0.6d*time**5/13**5-

1.5d*time**4/13**4+

1d*time**3/13**3,0.1d,0.1d)

設(shè)置仿真時(shí)長50s、步長0.01s，采用動力學(xué)仿真模型，得到基于兩種控制算法的轉(zhuǎn)臺角速度、角加速度控制曲線及待測目標(biāo)角速度變化曲線分別如圖4、圖6所示，其中，系統(tǒng)加速過程結(jié)束前后的一段時(shí)間內(nèi)目標(biāo)角速度變化曲線分別如圖5、圖7所示。

分析仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)經(jīng)過相同時(shí)間加速到相同的轉(zhuǎn)速，采用分段S形曲線速度控制算法引起的目標(biāo)轉(zhuǎn)速超調(diào)量為0.0015°/s，而五次多項(xiàng)式速度控制算法引起的超調(diào)量為0.001°/s，驗(yàn)證了基于五次多項(xiàng)式插值的速度控制算法在提高系統(tǒng)柔性減小加減速沖擊方面的優(yōu)越性。

圖4　分段S形曲線速度控制的系統(tǒng)啟動過程

圖5　分段S形曲線速度控制的目標(biāo)角速度曲線特寫

圖6　五次多項(xiàng)式速度控制的系統(tǒng)啟動過程

圖7　五次多項(xiàng)式速度控制的目標(biāo)角速度曲線特寫

3結(jié)束語

為滿足大慣量弱剛性回轉(zhuǎn)系統(tǒng)平穩(wěn)啟動的要求，本文提出基于五次多項(xiàng)式插值的啟動速度控制算法，并推導(dǎo)出基于該算法的數(shù)控系統(tǒng)加減速控制模型。通過ADAMS剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)仿真，驗(yàn)證了該算法對于提高系統(tǒng)柔性的有效性。與傳統(tǒng)S形曲線等速度控制算法相比，五次多項(xiàng)式速度控制算法不僅分段簡單易于程序?qū)崿F(xiàn)，而且保證了系統(tǒng)在整個(gè)加減速過程中加加速度的連續(xù)變化，可有效減小系統(tǒng)加減速過程的沖擊和振動，特別適用于傳動鏈剛性較差而對末端執(zhí)行件速度平穩(wěn)性要求較高的系統(tǒng)。

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(編輯趙蓉)

Starting Velocity Control of a Rotary System with Large Inertia and Low Stiffness Based on Quintic Polynomial Interpolation

CHEN Ai-bo, CHEN Wu-yi

(School of Mechanical Engineering and Automation, Beihang University, Beijing 100191, China)

Abstract：A rotary support system to support large targets for electromagnetic test, has the characteristics of large inertia and low stiffness. To ensure the speed overshoot of the tested target not greater than 0.001°/s caused by the start acceleration from static state to rated speed of 0.1°/s, a speed control algorithm based on single quintic polynomial interpolation along the entire acceleration process is put forward, which not only keeps the speed and acceleration continuous as well as differentiable during the whole process but also guarantees the jerk always changes continuously. Compared with S-shaped acceleration and deceleration control algorithm, the proposed algorithm is much simpler and makes the system more flexible.Rigid-flexible coupling dynamics simulation on the rotary support system processed in ADAMS demonstrates the advantage of the proposed method.

Key words：quintic polynomial; large inertia & low stiffness; speed control

中圖分類號：TH166;TG506

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

作者簡介：陳愛波(1990—)，男，山東泰安人，北京航空航天大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)械結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)及CAD/CAE技術(shù)， (E-mail) sdchenaibo@163.com。

收稿日期：2015-03-15；修回日期：2015-04-15

文章編號：1001-2265(2016)02-0105-03

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.02.030