齒輪誤差評定仿真模型的建立*

黃騰蛟，朱曉春，丁文政，張兆祥，顧　艷

(1.南京工程學院 a.機械工程系;b.先進數控技術重點建設實驗室， 南京　211167;2.山能精密機床有限公司，南京　211167)

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齒輪誤差評定仿真模型的建立*

黃騰蛟1a，1b，朱曉春1a，1b，丁文政1a，張兆祥2，顧艷1a

(1.南京工程學院 a.機械工程系;b.先進數控技術重點建設實驗室， 南京211167;2.山能精密機床有限公司，南京211167)

摘要：隨著制造業的飛速發展，仿真加工以其效率高、直觀、精度高等特點，越來越體現出它的優勢及其重要性，由此建立了齒輪誤差評定的仿真模型，將仿真加工靈活地運用到了齒輪加工中。通過分析齒輪的過渡曲線及漸開線的數學模型，建立了齒輪的三維理論模型。同時通過比較傳統的齒廓采點方法的優缺點，提出了齒廓采點新方法。在此基礎上以VC++為工具，開發了基于OpenGL的齒輪誤差評定仿真模型，大大提高了加工效率，使齒輪的加工過程更為直觀，為數字化制造奠定了基礎。

關鍵詞：仿真加工；誤差評定；仿真模型；數字化制造

0引言

隨著制造技術與計算機技術的交叉、融合、發展與應用，數字化制造是制造企業與制造系統不斷實現數字化的必然趨勢。而傳統漸開線齒輪的設計方法相對比較復雜，設計周期長，工作量大，效率低，已無法滿足當前數字化制造的需求。由此，建立了齒輪誤差評定的仿真模型，為仿真加工提供了理論指導，為實現齒輪數字化奠定了基礎。

高雪強[1]等建立了非圓節曲線的齒輪仿真加工模型，推導出加工非圓齒輪時，刀具齒廓上任意點的運動軌跡方程，實現了多參數可變情況下非圓齒輪加工過程的動態仿真。丁憾[2]等建立了弧齒錐齒輪仿真加工模型，通過仿真加工獲取弧齒錐齒輪的實體模型，避免了以往通過齒面方程求導的大量計算和繪圖的繁瑣操作。近些年，雖然我國在齒輪的仿真加工領域取得了一定的成績，但在齒輪誤差評定仿真模型的建立方面研究的還不是很多，有待進一步優化、發展，這也是該文研究的一個重點。

本文利用Visual C++實現了基于OpenGL的齒輪三維模型的建立。并在此基礎上進行了齒廓采點，傳統的采點方式主要有三種[4]，其中等轉角間隔采樣，其計算量較小，控制較簡單，但采樣點分布不均勻，越靠近齒頂采樣點越稀疏；齒面等間距采樣，其采樣點選取均勻且合理，不會因為采樣點選取方式不合理而遺留掉誤差，但其缺點是計算量太大，控制復雜；等徑向長度采樣，其采樣點分布不均勻，但控制和數據處理都比較簡單。通過比較它們的優缺點，提出了新的齒廓采點方法，進一步提高了采點精度與效率。最后根據齒廓誤差的定義與相應的誤差評定算法，對測量結果進行了快速的評定。為后期的誤差補償仿真模型的建立奠定了基礎。

1理論模型建立

齒輪的理論模型建立，關鍵是對正反向漸開線及過渡曲線數學模型的精確計算，然后對數學模型進行離散化處理，最終進行曲線擬合，完成齒輪理論模型的建立。

1.1正反向漸開線模型建立

圓O是以rb為半徑的基圓，M為漸開線上任意一點，KM為漸開線上的發生線。由齒輪的基本特性可推出展開角θm:

θm=tanαk-αk

(1)

根據幾何關系可推導出正向漸開線的數學模型為：

(2)

圖1　正向漸開線原理圖

其中j=0,1,2，…，z-1。z為齒輪齒數,βο為基圓齒槽半角,θm為漸開線展開角，rm為M點處的半徑,pi為圓周率π。

繪制反向漸開線的原理與正向漸開線類似，只需求取第一段漸開線關于x軸對稱的曲線即為反向漸開線。

1.2齒根過渡曲線模型建立

齒輪工作時，齒接觸面處受強烈的沖擊作用，特別是齒根部分，根據判斷齒根部位的應力可直接判斷整個齒的強度，由此，漸開線齒輪齒根過渡曲線的設計尤為重要。齒根過渡曲線是由成形刀具尖角形成的軌跡線，從強度方面考慮，此處采用圓角形式的過渡曲線，該種過渡曲線經驗證具有較高的強度。

圖2　XK1

齒根過渡曲線存在兩種極限情況，需先計算出這兩種情況下最大過渡圓角半徑的理論值。

圖3　XK2>YK2

(1)由幾何關系可知，當XK1

得最大過渡圓角半徑為：

(4)

(2)當XK2>YK2時：

(5)

得最大過渡圓角半徑為：

(6)

圖4　實際過渡曲線

計算出理論最大圓角半徑后，用戶可根據需要給出實際齒根過渡曲線圓角半徑大小，由實際的過渡圓角半徑來建立齒根過渡曲線模型。其示意圖如圖4所示。

(7)

(8)

圓弧CC′為齒根圓的一部分，其中Δx為微小偏移量：

(9)

2齒廓誤差評定原理與方法

進行齒廓誤差評定[5-7]時，需在齒面上選取若干點，測出這些點的坐標值并通過計算求出齒廓偏差。傳統的采樣方式主要有三種：等轉角間隔采樣，齒面等間隔采樣，等徑向長度采樣。這三種傳統的采樣方式都存在著不足，針對這些不足，本文提出了一種新的采樣方式。

圖5　采點示意圖

在實際測量中，齒輪分度圓附近的采集點應密集分布，靠近齒頂和齒根部的采集點應稀疏分布，且盡量不在靠近齒頂與正常工作齒面以下部分采點。根據以上原則，本文采用齒面等間距采樣與等徑向長度采樣相結合的采樣方式，在分度圓附近使用等間距采樣，保證其采樣點均勻密集分布，不遺漏掉誤差；在靠近齒頂與齒根部位采用等徑向長度采樣方式，從而提高了效率，使控制更加簡單。該方法使得采點更高效，精度更高。其采點示意圖如圖5所示，其中:

N2-N1=N3-N2=,…,=Nn-Nn-1=ΔN,

M2-M1=M3-M2=,…,=Mn-Mn-1=ΔM

2.1等間距采樣建模

由于漸開線曲線是一條變參數函數曲線，所以進行幾何建模較為復雜，基于這個原因，提出了通過離散點進行建模的方法,實現了高精度的擬合。

步驟1：見圖5，先選定兩端點處的坐標A(x1,y1)，B(x2,y2)。漸開線原理圖如圖1所示。

(10)

可求出θm展開角，將A,B坐標代入公式得對應的展開角為θa與θb。由此可得到由B到A轉過的角度為Δθ=θa-θb。

步驟2：對Δθ進行細分。由用戶確定需采集的點數，設需采樣點數為q(q為偶數)，則將Δθ細分為7q/2個點，θ1,θ2,θ3,…,θm,θm+1,…,θ7q/2。

(11)

通過此種算法求出q個采樣點。

2.2等徑向長度采樣建模

(12)

2.3計算齒面齒廓誤差

獲取精確的采點數據后，則可計算齒面的齒廓誤差了。如圖6所示，K′K即為理論值與實際測量值的偏差，根據齒廓誤差的定義，可得被測齒面的齒廓誤差Δff為：

Δff=K′Kmax-K′Kmin

(13)

圖6　齒廓誤差示意圖

3仿真模型的實現

圖7　齒輪三維模型

根據上述建立的齒輪理論模型，在VC++的環境下，使用OpenGL[8-10]模塊實現了齒輪三維模型的構建。驗證了數學模型的正確性，為下面的模擬采點，計算齒廓誤差奠定了基礎。如圖7所示,構建了參數為：模數m=8,齒數z=10,分度圓壓力角α=20°，齒頂高系數hf=1，頂隙系數c=0.25的三維齒輪模型。

圖8　模擬采點圖

根據提出的采點新方法，在三維模型上進行了模擬采點仿真，比較清晰的反應了采點軌跡。如圖8所示，下圖為局部放大圖，其中共采了15個樣點，第一條虛線表示分度圓分界線，第二條虛線表示基圓分界線，由圖可以看出在分度圓周圍采用齒面等間距采樣方法均勻地采了10個采樣點，且分布較為密集；在靠近齒頂與基圓以下非工作齒面未進行采點；其余部分采用等徑向長度采樣方法進行采樣，采樣點較為稀疏。經過模擬采點，驗證了該方法的可行性。

過實際采集到的K′點作法線與理論漸開線交于K點，經過計算可獲得K′K的法向距離。測量數據如表1所示。

表1　測量數據

由測量數據可知:

K′Kmax=0.8924mm,K′Kmin=0.8467mm

得齒廓誤差為：

Δff=K′Kmax-K′Kmin=45.7μm

4結論

本文首先建立了齒輪的理論模型，并根據該模型利用OpenGL實現了齒輪三維仿真模型的構建。同時，在此基礎上提出了采點新方法，經過模擬仿真與實驗表明，該方法與傳統方法相比，效率與精度都有所提高。該誤差評定仿真模型大大減少了人工的干預，使加工能夠在可視化環境下進行，更為的直觀，大大提高了加工效率。但該仿真模型仍需進一步完善、開發，最終能夠實現動態仿真，滿足當前數字化制造的需求。

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(編輯趙蓉)

Gear Error Evaluation Simulation Model

HUANG Teng-iao1a,1b, ZHU Xiao-chun1a,1b, DING Wen-zheng1a, ZHANG Zhao-xiang2, GU Yan1a

(1a.Department of Mechanical Engineering;b. Key Laboratory Of Advanced Numerical Control Technology, Nanjing Institute of Technology, Nanjing 211167, China ;2.Nanjing Sunny Precision Machine Tool Co.,Ltd., Nanjing 211167, China)

Abstract：With the rapid development of manufacturing, simulation of machining more and more reflect the advantage and importance for its high efficiency, intuitive, precisionhigher characteristic. So establish the simulation model to evaluate the gear error. And the simulation processing is flexibly applied to the gear machining. Through the analysis of transition curve and equation of involute gear, establish the three dimensional theory model of gear. At the same time, through the comparison of advantages and disadvantages of the method of the tooth profile mining point, put forward the new method of tooth profile mining point. On the basis of this, develop the gear error evaluation simulation system based on OpenGL by the VC++. It greatly improves the processing efficiency, and makes the gear maching more intuitive. It lays the foundation for the digital manufacturing.

Key words：machining simulation; error evaluation; simulation model; digital manufacturing

中圖分類號：TH132;TG659

文獻標識碼：A

作者簡介：黃騰蛟(1991—)，男，江蘇無錫人，南京工程學院碩士研究生，研究方向為先進數控技術，(E-mail)htjiao2011@163.com。

*基金項目：江蘇省產學研前瞻性聯合研究項目(BY2014009-01)；江蘇省高校自然科學研究項目(13KJB460008，14KJA460003)

收稿日期：2015-04-16；修回日期：2015-05-26

文章編號：1001-2265(2016)02-0084-04

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.02.024