基于Archard理論的滾珠絲杠磨損預測*

徐向紅，湯文成，俞　濤，殷　銘

(1.東南大學 機械工程學院，南京　211189；2.沙洲職業工學院 機械動力工程系，江蘇 張家港　215600)

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基于Archard理論的滾珠絲杠磨損預測*

徐向紅1,2，湯文成1，俞濤2，殷銘2

(1.東南大學 機械工程學院，南京211189；2.沙洲職業工學院 機械動力工程系，江蘇 張家港215600)

摘要：在數控機床等自動化設備中，滾珠絲杠副具有相對封閉結構特性。為了研究其磨損特性，基于Archard模型的增量形式建立了滾珠絲杠副的磨損模型，并通過分析滾珠絲杠副運轉過程中的接觸變形和接觸角的變化，求出接觸點的相對速度。考慮到軸向載荷、接觸面間的相對速度、離心力和陀螺力矩的影響，推導出滾珠絲杠副磨損后的軸向位移，用數值方法得到了滾珠絲杠副的磨損規律，同時在試驗臺上進行了實驗驗證。實驗結果表明，在滾珠絲杠副運行中的黏著磨損階段，磨損模型的理論值與實測值吻合較好, 所建立的滾珠絲杠副磨損模型能夠反映黏著磨損階段的實際磨損變化規律。

關鍵詞：滾珠絲桿副；磨損模型；黏著磨損；磨損預測；Archard

0引言

滾珠絲杠副在數控機床等自動化設備的系統中起著關鍵作用，由于滾珠與絲杠和螺母之間都是緊密接觸并有相對運動，運行中必然會導致磨損，使整個系統振動加大、精度降低。由于磨損現象復雜多樣，很難準確預測滾珠絲杠副的壽命，而試驗探索的代價較高，結果也不盡如人意。高速精密滾珠絲杠副的磨損問題已經成為國內急需解決的關鍵技術，嚴重制約了相關行業的發展，目前對于滾珠絲杠副的研究重點集中在運動學和動力學特征行為，而對摩擦磨損的研究還不深入，迫切需要加強這方面的研究，以提高國內精密數控機床的性能。

滾珠絲杠副中的磨損主要源自滾珠與絲杠和螺母滾道的滑動摩擦[1]。由于滾道表面不同位置的線速度與到絲杠軸線的距離成正比，且滾珠在繞絲杠軸線旋轉的同時還相對接觸面的法線自轉，因此滾珠與絲杠和螺母滾道表面的接觸點上的線速度不可能完全相等，滾珠與滾道必然會產生相對滑動。由于滾珠絲杠副是個相對封閉的裝置，在工作中很難直接觀測內部參數的變化，必須借助運動學分析獲得相關參數，進而建立滾珠絲杠副的磨損與載荷、接觸面相對速度之間的關系[2-3]。

滾珠絲杠裝置受力后產生的彈性變形會降低其動態傳動精度，陳勇將等人[1]分析了微型滾珠絲杠副的摩擦機理，建立了微型滾珠絲杠副的摩擦力矩模型；Amin Kamalzadeh等人[4]依據動力學模型分析了彈性變形引起的行程誤差并建立了相關仿真模型；吳保群等人[5]基于摩擦學理論建立了滾珠絲杠副摩擦系數與載荷、磨損率與載荷的簡化計算公式；Jui-Pin Hung等人[6]基于有限元分析法對滾珠與返向器之間的沖擊失效過程進行了分析與仿真；Chin ChungWei等人[7]分析了預載荷和潤滑條件對滾珠絲杠副摩擦力與機械效率的影響；Christian Brecher等人[8]研究了潤滑條件對滾珠絲杠副磨損過程和摩擦力的影響關系；A. Verl等人[9]研究了預緊力對滾珠絲杠副工作時的等效載荷與壽命的影響關系；Horng等人[10]建立了不同顆粒變形下的三體微接觸模型。

在磨損研究方面，Xiulin Sui等人[11]建立了球形端銑刀磨損數學模型以預測在銑削過程中刀具的磨損量；張詳坡等人[12]采用組合磨損計算方法分別建立了自潤滑推力關節軸承和向心關節軸承的磨損壽命模型；鐘洋等人[13]運用Archard磨損理論分析了滾珠直線導軌副的磨損過程并建立滑塊位移的計算模型，用來預測滾珠直線導軌副的磨損量；Weijun Tao等人[14]借助Archard磨損理論分析了滾柱直線導軌的磨損過程；Xuejin Shen等人[15]基于Archard磨損模型模擬了滑動軸承的非線性磨損過程；Mirbagheri，S.E等人[16]建立了光盤驅動步進電機的軸承磨損模型，并用試驗結果確定軸承磨損模型的常數；Chin-Chung Wei等人[17]研究了滾珠絲杠副的預載荷對滾道接觸面微凸體磨損率與接觸面相對速度、工作行程關系的影響。上述研究在高速精密滾珠絲杠副力學特性與磨損關系方面還不成熟，有關研究成果較少并不夠完整。本文基于Archard模型的增量形式，分析了滾珠絲杠副運轉過程中的接觸變形和接觸角的變化，同時考慮了軸向載荷、離心力和陀螺力矩的作用，建立了滾珠磨損模型，并用數值方法求出滾珠絲杠副的磨損規律。

1理論分析

1.1滾珠與滾道接觸的磨損模型

滾珠絲杠副的磨損是個動態過程，涉及諸多參數。基于黏著磨損機理，根據Archard提出的近似計算公式可以估算滾珠絲杠副的磨損量：

(1)

式中，dW為磨損體積增量，ds為滑動距離增量，FN為作用于單個黏結點接觸橢圓上的法向力，σs為滾珠與滾道中較軟材料的受壓屈服極限，ks為無量綱磨損常數，對于軸承鋼制造的精密滾珠絲杠副在潤滑良好的工況下可取10-9[18]。設Δt為磨損時間，在接觸面積ΔA上的磨損深度為δ，用ΔA和Δt去除方程(1)的兩邊可得

(2)

由于磨損深度Δh=dw/ΔA，滾珠與滾道接觸點的相對滑動速度V=ds/Δt，帶入上式得

(3)

滾珠與滾道接觸橢圓的面積可以描述為

ΔA=πab

(4)

式中，橢圓參數a和b分別為接觸區域投影橢圓的長半軸和短半軸。

設Fa為施加于滾珠絲桿副螺母上軸向力Fa，則根據幾何關系有

(5)

式中，N為有效滾珠數，α為滾珠與滾道的接觸角，φ為導程角。

將式(4)和(5)帶入式(3)整理后得

(6)

式(6)為滾珠與滾道接觸的磨損模型。下面結合Hertz彈性接觸特性和運動學分析求解滾珠與絲杠滾道、滾珠與螺母滾道接觸點的變形、接觸角和相對滑動速度。

1.2接觸面的變形

根據Hertz彈性接觸理論，兩物體接觸點在法向力FN作用下產生的接觸橢圓尺寸及接觸變形為[19]：

(7)

式中，Γ和Σ分別為第一類和第二類完全橢圓積分，ρ′為接觸點的曲率和，μ1和μ2分別為兩接觸物體的泊松比，E1和E2分別為兩接觸物體的彈性模量，κ為接觸區域投影橢圓的長半軸和短半軸之比。

圖1　滾珠與滾道接觸示意圖

如圖1所示，設Dw為滾珠直徑，Dpw為絲杠節圓直徑，αs和αn分別為滾珠與絲杠和螺母的接觸角，φ為滾珠絲杠副的導程角，rs和rn分別為絲杠和螺母的滾道溝半徑，Ow、Os、On分別為滾珠中心、絲杠滾道溝曲率中心、螺母滾道溝曲率中心，則滾珠表面各點的主曲率為：

(8)

絲杠滾道表面與滾珠接觸點的兩個主曲率分別為：

(9)

螺母滾道表面與滾珠接觸點的兩個主曲率分別為：

(10)

滾珠與絲杠及螺母滾道接觸點的曲率和分別為：

(11)

(12)

采用線性回歸方程可得到求解Γ、Σ和κ的近似計算式，在滾珠與絲桿接觸處：

(13)

(14)

(15)

在滾珠與螺母接觸處：

(16)

(17)

(18)

由以上各式可以求出滾珠與絲杠和螺母滾道在法向力FN作用下的接觸變形δ。上式中的下標s和n分別表示滾珠與絲杠、滾珠與螺母接觸。Γ、Σ和κ的計算誤差不超過3%。

1.3加載時接觸角的變化

滾珠高速旋轉時受到離心力和陀螺力矩作用，滾珠中心、絲杠和螺母滾道曲率中心的相對位置也會發生變化，使得滾珠與絲杠滾道、滾珠與螺母滾道的接觸角發生改變。

圖2　滾珠中心和滾道曲率中心的位置

(19)

根據幾何關系，可以得到：

(20)

(21)

(22)

(23)

式中

A1=(rn+δs-Dw)sinαo+θRs+δsa

(24)

A2=(rn+δs-Dw)cosαo+δsr

(25)

將前節求得的接觸變形初始值代入以上各式，由式(24)和(25)求出A1和A2，然后通過聯立式(20)、(21)求出x1和x2并代入式(22)和(23)，即可求得接觸角αs和αn。

1.4滾珠的力平衡方程

滾珠旋轉時受到的接觸點法向力、摩擦力以及離心力等近似在一個平面內，如果忽略其它方向很小的摩擦力，則如圖3所示。其中鋼制滾珠旋轉時產生的離心力[10]

(26)

式中，nm為滾珠中心繞絲杠軸線公轉的轉速。

鋼制滾珠高速旋轉時產生的陀螺力矩[8]

(27)

式中nR為滾珠自旋轉速，β為滾珠節圓角

(28)

圖3　滾珠受力示意圖

(29)

(30)

式中n為絲杠旋轉角速度。由圖3可以建立y′和z′方向的力平衡關系式為：

(31)

(32)

由式(7)變換可得：

(33)

式中，K為滾珠與絲杠和螺母之間的接觸剛度系數，可由結構參數計算求出

(34)

則法向力FNs和FNn與接觸變形δ的關系可以表示為

(35)

將式(35)代入式(31)和(32)得

(36)

(37)

將前節求得的接觸角αs和αn代入以上各式，聯立式(36)和(37)可求出新的接觸變形值δs和δn。然后依據新的δs和δn代入式(20)～(23)重復計算得到新的αs和αn，直到滿足規定精度為止。

1.5接觸點的相對滑動速度

滾珠旋轉角速度、滾珠與絲杠和螺母接觸點之間的相對滑動速度如圖4所示。以滾珠中心為原點建立了描述滾珠中心運動軌跡的Frenet坐標系(x′,y′,z′)，其x′軸為滾珠中心運動軌跡的切線方向， y′沿絲杠的徑向并指向絲杠軸線，z′垂直于x′軸和y′軸。為了描述滾珠與絲杠滾道間的接觸狀態，在接觸點s建立了接觸坐標系(Xs,Ys,Zs)，Xs-Ys平面位于接觸面，Zs軸為接觸面的法線方向；在接觸點n建立了接觸坐標系(Xn,Yn,Zn)，Xn-Yn平面位于接觸面，Zn軸為接觸面的法線方向。ωx′、ωy′和ωz′分別為滾珠自旋角速度ωR在坐標系(x′,y′,z′)的上的分量。滾珠與絲杠滾道接觸點s 的相對滑動速度Vs在垂直于法向力FNs的接觸面內，包含VXs和VYs兩個分量；滾珠與螺母滾道接觸點n 的相對滑動速度Vn在垂直于法向力FNn的接觸面內，包含VXn和VYn兩個分量[17]。

H1cosαs]-ωmH1sinφcosαs

(38)

(39)

VXn=ωH1sinφcosαn

(40)

(41)

(42)

圖4　滾珠與絲杠和螺母接觸點的相對滑動速度

1.6磨損的理論計算

通過以上各式可以求出滾珠絲杠副的軸向位移：首先根據給定的結構參數及運行條件由式(7)求出滾珠與絲杠和螺母接觸的初始變形δs和δn，然后代入式(20)和(21)求出x1和x2，并通過式(22)和(23)計算得接觸角αs和αn，再由聯立式(36)、(37)求出新的接觸變形值δs和δn。再將新的參數代入式(22)和(23)以修正接觸角αs和αn，如此循環直到前后步求出的接觸角值達到預定的誤差精度為止。將最終得到的接觸角αs、αn和相對速度Vs、Vn分別代入式(6)可得滾珠與絲杠、螺母接觸處在運行Δt時間后的磨損深度Δhs、Δhn。根據滾珠自旋轉速nR方向[7]，可以確定滾珠與絲杠、螺母接觸點處的自旋回轉直徑分別為Dwsin(90-αs+βN)、Dwsin(90+αn-βN)。則有

(43)

(44)

因此，滾珠絲杠副在載荷作用下運行Δt時間后，其滾珠與絲杠和螺母接觸處產生的變形δst和δnt應包括彈性變形和磨損深度兩部分，即

δst=δs+Δhs，δnt=δn+Δhn

(45)

將最終計算得到的δs和δn值代入上式即可求得滾珠與絲杠和螺母接觸處產生的總變形。

用zs表示絲杠滾道溝曲率中心Os和滾珠中心Ow之間距離在z′方向的投影，用zn表示螺母滾道溝曲率中心On和滾珠中心Ow之間距離在z′方向的投影，從圖1的幾何關系可知：

(46)

(47)

式中，αo表示未加載時滾珠與絲杠、滾珠與螺母間的接觸角，δs0和δn0分別表示未加載時滾珠與絲杠、滾珠與螺母接觸處的初始彈性變形。滾珠絲桿副加載運行Δt時間后，滾珠與絲杠和螺母接觸點產生的磨損使zs和zn分別變化為zst和znt。

(48)

(49)

則滾珠絲桿副運行后螺母相對于絲杠的軸向位移為

(50)

2實驗驗證

下面根據上述模型以某一型號滾珠絲桿副為例進行理論計算與試驗對比，其結構參數和運行工況條件如表1所示。為了得到理想的載荷狀態，本試驗在自上而下的立式結構試驗臺上進行，借助施加在試驗臺下方的配重塊模擬軸向載荷的施加[20]。

表1　滾珠絲杠副結構參數和運行工況

在磨損試驗的前期，新的樣件處于磨合期，試驗測量值起伏變化較大。在試驗時，先將用于測試的滾珠絲杠副磨合50h，使其進入穩定運行狀態；然后，選取磨合后的穩定運行階段的磨損量進行模型計算與試驗對比分析，并在50～300h的時間段內每隔50h測量一次有效行程變動量，用有效行程變動量表示滾珠絲桿副磨損量導致的軸向位移。為了盡可能消除人為操作誤差和測量偏差的干擾，試驗采用三根滾珠絲杠副按同一工況條件運行后取平均值。我們將試驗運行到第50h的有效行程變動量測量值作為初始磨損量基準值，則此后各階段的有效行程變動量測量值與基準值之差就是相對磨損量的測量值，得到磨損量隨時間的變化規律如表2所示結果。圖5為滾珠絲杠副磨損量的實測值與理論計算值對比圖，從中可以看出，在本次試驗的50～300h階段內，滾珠絲杠副磨損量的實測值與理論計算值的變化趨勢基本一致，當試驗時間大于300h后磨損量的實測值明顯增大。

表2　滾珠絲杠副磨損量的實測值與理論計算值

圖5　滾珠絲杠副磨損量的實測值與理論計算值對比

由于本文的理論模型是根據黏著磨損機理建立的，試驗證明，計算的磨損理論值與實測值在黏著磨損階段吻合較好，表明磨損模型準確可靠。試驗也表明，在滾珠絲杠副工作初期，發生黏著磨損的可能性較大；隨著磨損發展，磨損過程中剝落的磨屑與表面的相對運動又會加劇滾珠絲杠副的磨損，使滾珠絲杠副磨損量明顯增大。

3結論

本文在滾珠與絲杠和螺母接觸點的變形分析的基礎上，考慮了加載時接觸角的變化和接觸點的相對滑動速度的影響，基于黏著磨損機理建立了滾珠絲杠副的磨損模型，推導出磨損后螺母相對絲杠的軸向位移。對比試驗的實測值較好地驗證了理論模型的計算結果，所建立的滾珠絲杠副磨損模型能夠反映黏著磨損階段的實際磨損變化規律。在滾珠絲杠副工作初期主要發生黏著磨損，隨著磨損發展，剝落的磨屑會誘發磨料磨損，加劇滾珠絲杠的磨損。

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(編輯趙蓉)

Wear Prediction of Ball Screw Using Archard′s Model

XU Xiang-hong1,2，TANG Wen-cheng1，YU Tao2，YIN Ming2

(1.School of Mechanical Engineering, Southeast University, Nanjing 211189, China;2.Department of Mechanical Engineering, Shazhou Professional Institute of Technology, Zhangjiagang Jiangsu 215600, China)

Abstract：The structure of ball screws is relatively closed in the CNC machine tools and other automation equipment. Based on the incremental format of Archard model, the wear model of ball screws is established to study the wear characteristics, and the relative speeds of the contact point can be obtained through variable contact deformation and contact angle of a ball screw. Take into account the influence of the axial load, the relative velocity between two contact surfaces, centrifugal force and gyroscopic moment, the axial displacement of a ball screw after wear can be calculated. The wearing rules of ball screw are achieved using numerical analysis and they are verified by experiment. The results show that the predictions of the wear model are in good agreement with the test results in adhesive wear of the ball screw.

Key words：ball screws ; wear model ; adhesive wear ; wear prediction ; Archard

中圖分類號：TH132.1；TG506

文獻標識碼：A

作者簡介：徐向紅(1963—)，男，浙江臺州人，沙洲職業工學院副教授，碩士，研究方向為機械優化設計，(E-mail)xxh602@126.com。

*基金項目：“高檔數控機床與基礎制造裝備”科技重大專項(2013ZX04008-011-01)；2015年江蘇高校品牌專業建設工程資助項目(PPZY2015B184)

收稿日期：2015-04-04

文章編號：1001-2265(2016)02-0054-06

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.02.016