巧妙“變”化在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

廣東省韶關(guān)市湞江區(qū)曲仁中學(xué) 藺 勇

數(shù)學(xué)不同于其它學(xué)科，“靈活多變”是數(shù)學(xué)的最大特點(diǎn)，而變化最主要體現(xiàn)在變解法和變題目，這兩方面運(yùn)用得當(dāng)，對(duì)于老師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)都有積極的促進(jìn)作用，能達(dá)到舉一反三的效果。結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，本文從這兩方面入手，談?wù)勄擅钭兓跀?shù)學(xué)中的應(yīng)用。

一、巧變題目解法

常規(guī)教學(xué)乃至高考，都特別強(qiáng)調(diào)“通法通解”，不可否認(rèn)，這種方法是應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)的體現(xiàn)，比較實(shí)用，相對(duì)容易理解。然而，“通法通解”有其自身的局限性，尤其像高考這種大型考試，有些題目用此方法難以解決，就算能解決，也會(huì)耗費(fèi)大量的時(shí)間，運(yùn)算量之大超乎想象。如何找到捷徑，能省時(shí)省力，這就需要老師們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中注重變化。巧妙的變化可使問(wèn)題迎刃而解，達(dá)到事半功倍的效果，而這種方法的使用，必須注重對(duì)公式的變形應(yīng)用。

例1、（2011年山東高考題）已知?jiǎng)又本€(xiàn)l與橢圓C：交于P(x1,y1)Q(x2,y2)兩不同點(diǎn)，且ΔOPQ的面積其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（Ⅰ）證明：均為定值；（Ⅱ）設(shè)線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為M，求的最大值；（Ⅲ）橢圓C上是否存在三點(diǎn)D,E,G，使得？若存在，判斷ΔDEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

該題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔、通俗易懂、形式優(yōu)美、內(nèi)涵深刻，是一道十分優(yōu)美的高考解幾題。其標(biāo)準(zhǔn)答案給出的解法是通法，但運(yùn)算量極其大，而且沒(méi)有體現(xiàn)出該題的“內(nèi)在美”，相反的讓人望而生畏。下面來(lái)看該題的一種優(yōu)美解法：

解：（Ⅰ）因?yàn)镻(x1,y1)Q(x2,y2)，所以

又所以

又由柯西不等式得

所以

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立。

因?yàn)辄c(diǎn)P(x1,y1)Q(x2,y2)在橢圓C：上，所以從而由均值不等式得

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。

由①、②得即不等式②的等號(hào)成立，于是由不等式②的等號(hào)成立的條件得，故均為定值。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知所以

所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。故的最大值為。

（Ⅲ）假設(shè)橢圓C上是否存在三點(diǎn)，使得成立，則由（Ⅰ）知：所以又為不同的三點(diǎn)，所以在x3，x4，x5中，只能有兩個(gè)相等另一個(gè)為其相反數(shù)，不妨設(shè) x3=x4，x5=-x4，則由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知D，O，G或E，O，G三點(diǎn)共線(xiàn)，這與矛盾。故橢圓C上不存在滿(mǎn)足條件的三點(diǎn)D，E，G。

上述優(yōu)美解法的獲得正是從三角形面積公式的變形開(kāi)始，途中既沒(méi)有聯(lián)立方程組的繁瑣運(yùn)算，又避免了分類(lèi)討論。特別是這種解法不僅揭示了該題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)特征及其“內(nèi)在美”，而且也充分體現(xiàn)了用代數(shù)手段去研究幾何圖形性質(zhì)的方法的多樣性，令人拍手稱(chēng)絕。

變形是簡(jiǎn)解、巧解、妙解、美解的助推器，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)與能力的重要載體。一個(gè)適當(dāng)?shù)淖冃危涂缮L(zhǎng)出巧解、妙解，省時(shí)省力，何樂(lè)而不為呢！

二、巧變題目（變式訓(xùn)練）

變式訓(xùn)練對(duì)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維有極大的幫助，是學(xué)生創(chuàng)新思維的必備前提，也是一種良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。變式訓(xùn)練重點(diǎn)在于對(duì)某個(gè)問(wèn)題進(jìn)行多層次、多角度、多方位的探索，恰當(dāng)與否的變式訓(xùn)練，在教學(xué)中起著至關(guān)重要的作用。

變式訓(xùn)練中應(yīng)該體現(xiàn)以下特征：

1、設(shè)計(jì)變式訓(xùn)練首先應(yīng)該能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)的層遞性

例1、如圖∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=100°求X的度數(shù)。

變式：已知三角形ABC的∠B和∠C的平分線(xiàn)B E、C M相交于點(diǎn)M。求證：（1）∠B M C=1 8 0°-（∠ABC+∠ACB）

（2）∠BMC=90°+ ∠A

改變?yōu)樽兪接?xùn)練的題目，改變∠BAC的度數(shù)，求∠BMC和∠BAC的關(guān)系。

對(duì)已知題目進(jìn)行了大膽的組合和拓廣，由易到難，由數(shù)字到字母。其已知條件和結(jié)論體現(xiàn)數(shù)學(xué)有數(shù)向代數(shù)的轉(zhuǎn)變，而這恰恰是學(xué)生應(yīng)掌握的重點(diǎn)和難點(diǎn)。此題不僅鍛煉了學(xué)生用類(lèi)比的方法去思考和學(xué)習(xí)，而且促進(jìn)學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題的思路理解得更為透徹。每問(wèn)每一變都體現(xiàn)層層遞進(jìn)，步步深入，環(huán)環(huán)相扣的密切聯(lián)系。

2、變式訓(xùn)練設(shè)計(jì)應(yīng)能夠體現(xiàn)知識(shí)的規(guī)律性和關(guān)聯(lián)性，便于學(xué)生思考問(wèn)題時(shí)思路的發(fā)展

例2、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域。

分析：（1）關(guān)于形如的單調(diào)性與函數(shù)u=f(x)(f(x)〉0)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)a〉1時(shí)相同，當(dāng)0〈a〈1時(shí)相反，即同增異減。

（2）關(guān)于復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的研究，既是高考的熱點(diǎn)，又是學(xué)生的弱點(diǎn)，因而是我們學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。處理這類(lèi)問(wèn)題應(yīng)把握好以下三點(diǎn)：①抓住中間變量的變化狀態(tài)；②掌握復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律；③注意復(fù)合函數(shù)的定義域。

3、變式訓(xùn)練應(yīng)該能夠體現(xiàn)命題的前瞻性，盡量貼近高考

例3、（2012遼寧理）已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a2=0，a6+a8=-10。

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和。

解析：（Ⅰ）an=2-n，解法從略；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn。由（Ⅰ）知，an=2-n，所以

令，則整理，得即，比較兩邊的系數(shù)，得，解得A=-2，B=0，從而所以

一般結(jié)論：若{an｝是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn｝是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，則數(shù)列的前n項(xiàng)的和：

變式訓(xùn)練：已知求數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)的和Sn。

解析：令則整理，得，比較兩邊的系數(shù)，得

解 得從 而所 以

通過(guò)對(duì)這個(gè)題目的解答，可以讓學(xué)生充分體會(huì)靈活多變，嘗試通過(guò)題目，總結(jié)題目和思路，真正學(xué)會(huì)解決問(wèn)題。所以在平時(shí)的教學(xué)中設(shè)計(jì)一題多變應(yīng)貼近高考題型，及早著手培養(yǎng)學(xué)生有良好的思考習(xí)慣和思維品質(zhì)。

變中有不變，變中求同，相信通過(guò)巧妙變化的教學(xué)設(shè)計(jì)，既能促進(jìn)學(xué)生的提高，更能促進(jìn)教師的提高。