淺談函數教學中的對稱性問題

云南省鳳慶縣鳳慶第一中學(675900)

楊志榮 ●

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淺談函數教學中的對稱性問題

云南省鳳慶縣鳳慶第一中學(675900)

楊志榮 ●

函數的性質是高考和競賽的熱點與重點，函數的對稱性是函數的基本性質，對稱關系廣泛存在于數學問題當中，利用對稱性可以更簡單地使問題得到解決.本文就函數教學中的對稱性問題進行深入探究.

函數教學；對稱性；方法

對稱性問題通常會與其它知識雜揉在一起，如周期性、單調性等，這些都需要學生不斷地去探索.下面進行簡要介紹，不足之處，敬請斧正.

一、周期巧用，判斷奇偶

在函數學習中，與對稱相關的問題有很多，需要學生不斷地去積累經驗，只要經驗足夠，學生就能夠解決任何相關的問題.

在某些特殊函數中，可能會存在n個對稱軸，這就能夠體現出函數的周期性，因此與對稱相關的問題往往會夾雜著周期的相關知識，所以同學們要將函數的各個特性都掌握透徹，只有這樣才能夠解決一些復雜的綜合性問題.下面一一道題目為例，講解通過對稱的研究解決奇偶性問題的方法.

在定義域為R非常函數滿足：f(10+x)為偶函數，并且f(5-x)=f(5+x)，則f(x)一定( ).

A.是偶函數，也是周期函數

B.是偶函數，但不是周期函數

C.是奇函數，也是周期函數

D.是奇函數，但不是周期函數

這道題目就與對稱相關，我們可以逐步分析.由f(10+x)為偶函數，我們可以得出f(10+x)=f(10-x)，再加上已知條件f(5-x)=f(5+x)，就能夠得出f(x)有兩條對稱軸，即x=5和x=10，由此我們可以繼續推斷出該函數是以10為一個周期的周期函數，這樣選項B以及選項D就是錯誤的.然后我們再考慮奇偶性，該函數的周期為10，其中有一個對稱軸為x=10，所以x=0也是它的對稱軸，即f(x)是一個偶函數.通過上述分析，我們就可以得出正確答案為A.

在上面這道題我們就可以看出，函數的對稱性與周期性結合起來會十分完美，會將函數一些無法直接表現的特性展示在我們眼前.由此可見函數對稱性的重要性，所以學生一定要學會對稱軸的判定方法，為今后學習打下良好的基礎.

二、函數反轉，速求數值

在函數的很多問題中，有一類涉及到反函數，由于反函數太過抽象，很多學生對此都不是很了解，更不用談反函數與其他知識結合起來的問題了.為了改變這種現狀，老師要多做努力，幫助學生打好基礎，學好反函數.

眾所周知，原函數與反函數是一種對立的關系，其中某個函數存在反函數的條件就是原函數必須是一一對應的，但是也不一定要在整個數域內.其實，對于反函數大家最熟悉的就是三角函數，如sinx和arcsinx、cosx和arccosx等，實際上也有很多題目脫離三角函數考查反函數內容.例如，很多同學都會遇到這樣的題目：

設定義域為R的函數y=f(x)、y=g(x)都有反函數，并且f(x-1)和g-1(x-2)函數的圖象關于直線y=x對稱，若g(5)=1999，那么f(4)=( ).

A.1999 B.2000 C.2001 D.2002

反函數最重要的一個性質就是反函數圖象與原函數圖象關于直線y=x對稱，而根據題干我們可以看出，函數y=f(x-1)和函數y=g-1(x-2)的圖象關于直線y=x對稱，由此可以看出二者互為反函數，而根據數學知識，我們可以算出y=g-1(x-2)的反函數是y=2+g(x)，所以可以推斷出2+g(x)=f(x-1)，即f(4)=f(5-1)=2+g(4)=1999+2=2001.

因此本題的正確答案為選項C.

這道題目也是一個對稱問題，雖然是與反函數結合起來，但也并不是十分困難，只要學生用心思考，就一定能夠解決.只不過不同的是上個例題研究的是一個函數的自身對稱，而這道題目是兩個函數的對稱，二者存在本質的區別.

三、對稱討論，分析零值

函數的問題不僅僅存在于選擇題目中，在一些考試中，也會以大型計算題的形式出現，考查學生的計算能力以及邏輯推理能力.

對稱性的題目也是高考的重點目標，下面以一道高考真題為例，進行分析.

設函數f(x)在無窮區間上滿足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，并且在閉區間[0,7]上只有f(1)=f(3)=0，試求出f(x)=0在閉區間[-2005,2005]上根的個數并證明你的結論.

解題前我們一定要學會研究題干給出的已知條件，由f(2-x)=f(2+x)，可以推出f(x)=f(4-x)，同理由f(7-x)=f(7+x)，可以推出f(x)=f(14-x)，二者合并，就能夠分析出f(4-x)=f(14-x)，即f(x)=f(x+10).所以該函數是以10為周期的周期函數.又因為f(1)=f(3)=0，可以得出f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0，所以函數f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有兩個解.再結合問題中所給出的定義域，就會輕松地算出一共有802個解.

這道題目解題的關鍵還是在于對稱，只要將對稱分析出來，之后的解題過程也會自然而然地展示出來，更加體現了對稱分析的重要性.

[1] 牛拴銀. 淺談坐標轉移法在函數對稱性問題中的應用[J]. 數學教學研究，2002(07).

[2] 孟繁平. 函數的對稱性和周期性的關系[J].數學教學通訊，2007(05).

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