不確定系統靜態輸出反饋可靠控制

葛迪 姚波 王福忠

摘要：針對含有狀態不確定項的線性系統，提出具有執行器故障的靜態輸出反饋控制問題。首先給出在不考慮故障時設計控制器使系統保持漸近穩定的充分條件；然后討論對于同一系統同一控制器在考慮執行器故障時系統出現不穩定；接下來，針對同一故障模型重新設計靜態輸出反饋控制器使系統在發生故障后仍保持漸近穩定。最后，數值仿真驗證了本文結果的有效性。

關鍵詞：執行器故障；靜態輸出反饋；不確定系統；線性矩陣不等式（LMI）

中圖分類號：TP13文獻標識碼：A

1引言

在工業上，對于機器來講，經常會出現不同程度上的執行器通道故障，就會造成損失。所以，設計一個控制器使系統即使在發生故障時仍可以保持穩定以確保系統可以正常運行時具有實際意義的。可靠控制描述的是對于一個系統，無論是否發生執行器或傳感器故障都可以通過設計控制器，使其仍可以保持穩定并滿足一定的性能指標。可靠控制是由Siljak在20世紀70年代第一次提出，之后引起了很多研究者的廣泛關注[1-3]。文獻[4]討論了具有雙故障的動態輸出反饋控制器基于LMI設計方法。文獻[5]針對不確定線性定常系統，提出了具有執行器故障的可靠跟蹤控制器問題。不確定性是非常常見的物理現象，它會導致系統出現不穩定現象或者導致一些性能指標下降。文獻[6]討論了不確定系統的狀態反饋和動態輸出反饋控制器設計問題。文獻[7]研究不確定系統狀態反饋極點配置。靜態輸出反饋是控制理論和應用中最基本的問題之一，近年來研究者對系統的靜態輸出反饋控制提出了許多方法。文獻[8]針對隨機混合系統利用線性矩陣不等式方法設計了無脈沖和隨機穩定的靜態輸出反饋控制器。文獻[9]利用靜態輸出反饋特征多項式的特征值方法設計控制器。文獻[10]運用消除引理給出了一個穩定的靜態輸出反饋線性凸多面體系統的設計。文獻[11]通過構造一個二次Lyapunov函數，保證閉環擴散偏微分方程和常微分方程葉柵系統全局指數穩定，提出了線性矩陣不等式的約束條件，基于LMI方法設計控制器。文獻[12]運用錐補線性算法求解靜態輸出反饋控制器。以上的文章中，有的涉及可靠控制，有的涉及靜態輸出反饋，也已經達到了比較完善的程度。但是都為涉及到具有執行器故障的靜態輸出反饋可靠控制。

本文研究了不確定系統具有執行器故障的靜態輸出反饋控制系統，利用LMI給出了控制器的存在條件以及設計方法。所給出的控制器保證了系統在無故障時和發生執行器故障時閉環系統均仍保持穩定。數值仿真驗證了本文結果的有效性。

2問題描述

考慮線性不確定系統：

（t）=[A+ΔA]x（t）+Bu（t）y（t）=Cx（t）（1）

其中，x（t）∈Rn是狀態標量，u（t）∈Rm是控制變量，y（t）∈Rp是輸出變量，A，B是適維矩陣，C是適維行滿秩矩陣，ΔA為不確定且滿足如下條件：

ΔA=DH（t）E

式中，D，E為適維維數的常數矩陣；H（t）為未知的時變實值連續矩陣函數，其元素Lebegue可測，且：

HT（t）H（t）≤I

執行器連續增益故障矩陣模型為：

uF=Fau

故障處理：

Fa=diag（fa1，fa2，…，fan）f-ai≤fai≤ai0≤f-ai≤1，ai≥1，f-ai≠ai（i=1，2，…，m）jai=ai-f-aiai+f-ai，fai0=12（f-ai+ai），lai=fai-fai0fai0

對于執行器故障矩陣可以得到如下關系：

Fa=Fa0（I+Ls），|La|≤Ja≤I

引理1[13]：設E，F為適維定常矩陣，∑=diag（σ1，σ2，…，σr）為時變適維對角矩陣，且σTiσ≤I，i=1，2，…，r。那么對于任意的實矩陣Λ=diag（λ1I，λ2I，…，λrI）>0有

E∑F+FT∑TET≤EΛET+FTΛ-1F

引理1[14]：設X和Y為適維定常矩陣，H為適維時變矩陣，且滿足HTH≤I，那么對任意常數ε>0有

XHY+YTHTXT≤εXXT+ε-1YTY

計算技術與自動化2016年3月

第35卷第1期葛迪等：不確定系統靜態輸出反饋可靠控制

3主要結論

定理1：已知S是n×n正定對稱矩陣（m≤n），則矩陣CSC′可逆。

證明：若要證明矩陣CSC′可逆，只需證明方程

CSC′X=0

只有零解。

則有

X′CSC′X=0

即

（C′X）′S（C′X）=0

由已知可得：

C′X=0

有

CC′X=0

故方程只有零解。定理得證。

首先討論在不考慮執行器故障模型情況下，給出了正常不確定系統靜態輸出反饋可靠控制器設計：

對不確定系統（1）引入靜態輸出反饋控制器：

u（t）=Ky（t）（2）

由此得到閉環系統：

（t）=（A+BKC+DH（t）E）x（t）（3）

定理2：對于不確定系統（1），如果存在標量ε>0及對稱正定矩陣S和矩陣K，U，V使得：

Π+ΠT+εDDTSETES-εI<0（4）

VC=CV（5）

其中，Π=AS+BUC

那么存在靜態輸出反饋控制

K=UV-1（6）

使閉環系統（3）漸近穩定。

證明：運用李雅普諾夫定理，引入V（t）=xT（t）Px（t）則有：

（t）=T（t）Px（t）+xT（t）P（t）=