從應用問題之中剖析特點，為數學題目解答提供啟示

江蘇省海門市第一中學　姜春蕾

從應用問題之中剖析特點，為數學題目解答提供啟示

江蘇省海門市第一中學姜春蕾

學生進入高中的學習以后，他們的興趣點發生了質的轉變，他們更趨向于學習內容內在價值的彰顯。因此，數學學科的價值在此需要更加突出。應用問題在近些年的高考中表現尤為突出，在考查和變通的過程中，它不僅能充分彰顯數學學科的魅力所在，還能引領學生的思維和習慣。因此，它的價值需要教師在實際教學中深入地實踐與研究。

應用問題；啟示；思維；建模

應用問題是數學學習過程中的“常客”。無論何種數學測試或是競賽，題目當中都少不了應用問題的影子。的確，應用問題不僅僅是一種問題出現的形式，更是數學知識學習的一個出口。一方面，對于數學理論進行探索，為的就是能夠用它來解決實際生活當中的問題，也就是我們所說的應用；另一方面，只有學生們能夠將理論知識應用起來，才是將數學內容真正掌握到位了。具體至高中數學當中，學生們對于應用問題的解答能力對于整個知識掌握效果的影響就更大了。

一、識別問題模式，匹配知識內容

應用問題往往是以某個現實化情境的形式出現的，其中所涉及的理論性內容總是被掩藏得比較深。這也讓許多學生不知道應當選擇何種方法來進行解答。之所以會出現這種現象，原因在于學生們在面對應用問題時略過了一個必要的環節，那就是“識別”。我們在這里所說的識別，就是透過文字敘述，從題目當中將知識理論剝離出來，進而找到與之相匹配的數學方法的過程。

例如，學習過解析幾何后，我請學生們試著解答這個問題：某監測中心的正北、正東、正西有三個觀測點，其中，正北與正西兩處同時聽到了一聲巨響，但正東觀測點晚4s聽到該響聲。若三個觀測點距離監測中心的距離均為1020m，聲音傳播速度是340m/s，各點處于同一平面，那么，該巨響出現在什么位置？學生們通過分析發現，這個問題最終轉化為了雙曲線的內容。由此，我帶領學生們對這類問題的特點進行總結，題目中的4s所表示的是一個固定的長度差，當出現這類條件時，以解析幾何方法予以解答的可能性就很大了。

對應用問題背后的理論性內容進行識別，是解答該類題目的一個必要的前置性程序。只有以此為前提，學生們才能夠撥云見日，從實際性的文字敘述當中看到數學知識之所在，然后匹配到處理這類問題應當采用的思維方法，從而使問題順利求解。也只有在這個步驟的鋪墊之下，學生們才能開始打一場有準備的仗。

二、適時數形結合，具化題目情境

在很多情況下，應用問題出現的方式是比較抽象的。如果單從字面上來看，雖然能夠分析出其所要考查的內容指向，卻很難順利地找到具體的解答方法。這就進入到了應用問題的具體操作階段，我們所需要思考的也就是相應的解題策略了。在這之中，數形結合是應用最為廣泛且效果最為顯著的解題方法之一。

例如，在學習過函數知識后，學生們遇到了這樣一道應用問題：某商店進了一批單價80元的商品，總量為400，且將售價確定為90元。經過市場調查發現，該商品的售價每增加1元，就會使得銷售量減少20。那么，為了讓商店所獲的利潤最大，應當將商品售價確定為多少？列方程求解的思路對于學生來講并不困難，但當大家設售價增加x元，總利潤y元，并列出y=-20x2+200x+4000的方程之后，結果便無法一目了然了。為了求得y的最大值，馬上將該一元二次方程的圖像畫出來，借助對稱軸對拋物線走勢進行分析，問題順利求解。

適時進行數形結合，可以將原本抽象的問題瞬間具化。以圖形的方式來闡釋文字的理論，更有利于學生們對之進行感知和分析。對問題理解了，解答的方法也就自然隨之出現了。數形結合的思想，不僅可以適用于應用問題的解答當中，在高中數學的各類問題中幾乎都是可以廣泛適用的。

三、善用建模思維，搭建解題橋梁

建模思維是高中數學解題中十分常用且必要的一個思維方式，它指的是通過建立相應的數學模型，來對現有問題進行呈現與分析。在這個過程當中，數學模型就像是一架橋，連通了數學問題與解答路徑，也為學生們提供了一個理論性的平臺，對解題思維進行分析與設計，進而找到最佳解題方式，準確快速解題。

例如，學生們曾經遇到過這樣一個問題：在房屋建筑當中，我們將窗戶面積與房間面積之比稱為房間的“采光率”。一個房間的采光率越高，說明房間內的亮度越高。那么，若是將窗戶的面積與房間的面積同時增大，該房間的亮度是增大了還是減小了呢？在這個問題當中，沒有一個數字或字母出現，應當如何與數學之間建立聯系呢？這就需要建模思維的介入了。我鼓勵學生們大膽運用字母來表示未知，于是，大家將窗戶的面積設為a，將房間的面積設為b，二者共同增加的面積為m。這樣一來，原來的采光率便可以表示為a/b，之后的采光率則為a+m/b+m。對于采光率進行比較，便轉化為了對兩個分式大小進行比較，數學模型就這樣建好了。

善于運用建模思維的前提是學生們對于既有知識理論的熟練掌握。教師們在進行基礎知識的教學時，應當有意識地將理論本身與相應的數學模型之間建立聯系，并經常性地對學生進行訓練，使得知識與模型之間的對應成為學生們的思維慣性。這樣一來，便可以大大簡化數學建模的思維過程，學生們在面對數學問題時也會更加從容了。

從之前的敘述當中不難發現，高中數學當中的應用問題，其存在的意義不僅僅只在對學生知識掌握效果的檢驗上。在很多時候，解答應用問題時所涉及的思維與方法，對于其他內容與類型的問題解答來講都是大有助益的。遇到問題時，先進行內容剖析與識別，匹配出適合的方法，并在解題過程中適時運用數形結合與建模思維，化抽象為具體。這一系列分析方式，在高中數學解題當中都是共通的。應用問題對于整個數學學習來講，就像是一盞明燈，為問題解答提供了普適性的路徑啟示。