一類具有時滯Leslie-Gower捕食模型的Hopf分支

樂　成

（蘭州交通大學數理學院，甘肅　蘭州　730070）

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一類具有時滯Leslie-Gower捕食模型的Hopf分支

樂成

（蘭州交通大學數理學院，甘肅蘭州730070）

摘要：為了能夠真實地反映自然界的規律，研究關于帶時滯的Leslie-Gower捕食-食餌模型動態規律，首先給原模型加入了時滯建立要研究的模型，進而討論了關于帶有時滯的捕食-食餌模型穩定性規律，通過模型平衡點的雅克比矩陣求得對應的特征方程，并根據特征方程根的分布情況討論其在平衡點的漸進穩定性和不穩定性，進一步得到了Hopf分支的存在條件，最終通過利用規范化的中心流行定理計算得到正平衡點的Hopf分支的方向和周期解。

關鍵詞：捕食模型；時滯；穩定性；中心流行定理；Hopf分支

DOI10.3969/j.issn.1672-6375.2016.02.021

0　引言

考慮自然界種群之間的相互競爭也需要經過一段時間，在文獻[3]中模型的基礎上，給種群之間競爭加入時間τ，模型變為

1　模型的平衡態

令系統（1）各式等于零，直接計算可得平衡點如下

2　平衡點的穩定性分析

可將系統（1）線性轉化為

（1）將E0（0,0）和代入（2.1）可知無論τ為何值時系統的平衡點E0（0,0）和都是不穩定的。

當τ＝0，特征方程為

（3）將E3（x0，y0）代入（2.1）可得到雅克比矩陣相對應的特征方程

當τ＝0時有，特征方程為

當滿足條件H3時系統的正平衡點是穩定的，否則系統的正平衡點是不穩定的。

當τ＞0給特征方程是（2.2）式的兩邊同程以eλτ，可以得到

如果iω是方程（2.3）的根代入，分離實部與虛部得到

由（2.4）式可以得到

整理上式可得到

其中

令ω2＝ν

當滿足h70＜0時方程（2.5有正實根，可得到條件H4

如果條件H4滿足條件，根據方程得

下面驗證橫切條件

其中

如果H5：MP+NQ≠0則滿足橫切條件，存在著hopf分支。

3　正平衡點分岔方向與分岔周期解的計算

下面給出系統（1）的Hopf分支方向，并且討論分支周期解的穩定性。

系統（1）可以寫成下面的泛函方程形式

別表示如下

由Riesz定理知，θ∈[－1,0]時，原系統存在一個有界變差函數ρ[θ，V]滿足

故系統方程（1）可與（3.7）等價

且定義雙線性內積為

因為中心流行定理我們得到

根據（3.12）這個方程可以寫成

可以得如下形式

根據（3.10）、（3.13）、（3.15）、（3.16）有

下面是W20（θ）和W11（θ）的計算過程，由（3.6）、（3.15）得到

其中

比較系數有

通過比較（3.19）、（3.20）系數得到

根據（3.20）、（3.21）及矩陣A定義有

根據（3.18）進一步可得到

由（3.23）、（3.25）、（3.27）得到

我們知道

由（3.31）可得到

同理得到

到這里已經求得W20（θ）、W11（θ），從而可求得g21及下列各值

參考文獻：

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［4］Prabir Panja,Shyamal Kumar Mondal,Stability analysis of coexistence of three species prey-predator model［J］.Nonlinear Dyn,2015（81）:373-382.

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作者簡介：樂成（1988-），男，漢族，陜西西安人，在讀研究生，主要研究方向：生物數學。

收稿日期：2015-12-18

中圖分類號：O175

文獻標識碼：A