一類中立型泛函微分方程的測(cè)度偽概自守解

馮天維

（蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅　蘭州　730070）

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一類中立型泛函微分方程的測(cè)度偽概自守解

馮天維

（蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅蘭州730070）

摘要：討論了Banach空間中的一類抽象中立型泛函微分方程的測(cè)度偽概自守解。在利普希茨條件下，建立了μ測(cè)度偽概自守函數(shù)對(duì)時(shí)間變?cè)胕（t）擾動(dòng)不變性的一個(gè)充分性條件,并且對(duì)一些復(fù)合定理進(jìn)行了推廣和改進(jìn)，同時(shí)，借助于測(cè)度偽概自守函數(shù)合適的組合定理結(jié)合算子半群理論和不動(dòng)點(diǎn)定理,建立了此方程測(cè)度偽概自守解的存在性和唯一性。

關(guān)鍵詞：測(cè)度偽概自守函數(shù)；抽象中立型泛函微分方程；不動(dòng)點(diǎn)定理

DOI10.3969/j.issn.1672-6375.2016.01.022

0　引言

在20世紀(jì)中期，Bochner首次提出了概自守函數(shù)概念,它是概周期函數(shù)的一個(gè)自然推廣[1]。其后,許多數(shù)學(xué)工作者對(duì)Banach空間上發(fā)展方程的概自守性質(zhì)進(jìn)行了廣泛而深入研究。N'Guerekata提出了漸近概自守函數(shù)的概念[7]。Liang等人[9]介紹了關(guān)于偽概自守函數(shù)的概念。N'Guerekata和Pankov引入了Stepanov概自守函數(shù)的概念并詳細(xì)論證了函數(shù)空間的完備性和組合定理[8]。Blot等人[2]給出了Banach空間中的加權(quán)偽概自守函數(shù)的定義。Chang等人[10]建立了Stepanov加權(quán)偽概自守函數(shù)的性質(zhì)和新組合定理,并對(duì)帶有加權(quán)偽概自守系數(shù)的一類非線性方程,研究了它們的加權(quán)偽概自守解的存在性。最近,Blot等人[3]應(yīng)用測(cè)度理論定義了遍歷函數(shù),并且給出了測(cè)度偽概自守函數(shù)的概念和相關(guān)定理。Luo在文獻(xiàn)[4,5]中分別討論了一類中立型微分方程和一類半線性積分方程測(cè)度偽概自守解的存在性。

本論述主要在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上，討論了如下抽象中立型泛函偏微分方程測(cè)度偽概自守解的存在性和唯一性：

1　預(yù)備知識(shí)

定義1.1[3]設(shè)連續(xù)函數(shù)稱為是概自守的,如果對(duì)任意的實(shí)數(shù)序列都存在一個(gè)子序列使得

對(duì)任意的t∈R是可以明確定義的,并且有

記這類函數(shù)構(gòu)成的集合為AA（R，X）。

定義1.2[3]設(shè)B?X是任意一個(gè)有界集合,連續(xù)函數(shù)稱為是概自守的,如果對(duì)于任意的t∈R有f（t，x）是概自守的,對(duì)所有x∈B是一致成立的,記這類函數(shù)組成的集合為AA（R×X，X）。

定義1.3[3]設(shè)μ∈M,有界連續(xù)函數(shù)稱為μ-遍歷,如果f滿足下式

將這類函數(shù)空間記為ε（R，X，μ）。

注1.1[4]設(shè)μ∈M,則具有一致收斂拓?fù)湫缘目臻gε（R，X，μ）和ε（R×X，X，μ）是Banach空間。

定義1.4[4]設(shè)μ∈M,連續(xù)函數(shù)稱為是μ-偽概自守的,如果f可以分解為其中，將這類函數(shù)記為,因此，可得。

引理1.1[3]設(shè)μ∈M，τ∈R對(duì)于上的正測(cè)度μτ定義為

對(duì)μ∈M,本論述總是假定以下條件成立:

（H0）對(duì)任意τ∈R，存在α＞0和一個(gè)有界區(qū)間I使得

注1.2[3]設(shè)μ∈M且滿足（H0）,則ε（R，X，μ）是平移不變的,同時(shí)PAA（R，X，μ）也具有平移不變性,且是Banach空間。

1.3[10]設(shè)μ∈M且滿足（H0），f∈PAA（R，X，μ），則函數(shù)分解為是唯一的，其中。

下面給出本論述所需要的基本假設(shè)條件：

2　主要結(jié)果

定義2.1對(duì)于任意t∈R,連續(xù)函數(shù)u∈BC（R，X）稱為中立型系統(tǒng)（1）適度解,若在（-∞，t）上是可積的且

定理2.1設(shè)μ∈R，γ1和γ2滿足條件（H3）。若

證明令μ＝μ1＋μ2∈PAA（R，X，μ），其中μ1∈AA （X）,μ2∈ε（R，X，μ），由（H3）的假設(shè),γi可逆且。另一方面對(duì)于r＞0,有

注意到條件（H3）中的假設(shè)

引理2.1[4]設(shè)μ∈M，f=g+h∈PAA（R×X，X，μ）若條件（Ⅰ）和（Ⅱ）成立：

（Ⅰ）對(duì)于任意的x∈X和t∈R，f（t，x）在有界子集Q?X上是一致連續(xù)的；

（Ⅱ）對(duì)于任意的x∈X和t∈R，g（t，x）在有界子集Q?X上是一致連續(xù)的。

定理2.2設(shè)μ∈M,μ∈PAA（R，X，μ）,假設(shè)條件（H1）成立,若函數(shù)ν滿足,那么對(duì)于任意的t∈R,有ν∈PAA（R，X，μ）。

證明因μ∈PAA（R，X，μ）有μ＝μ1＋μ2∈PAA（R，X，μ）,且μ1∈AA（R，X），μ2∈ε（R，X，μ）,使得

上式由μ2∈ε（R，X，μ）和勒貝格控制收斂定理亦可得。

定理2.3設(shè)μ∈M，μ∈PAA（R，X，μ）,若函數(shù)ω滿足，那么對(duì)于任意的t∈R,有 ω∈PAA（R，X，μ）。

定理2.4設(shè)μ∈M，條件（H1）-（H3）成立。若

那么方程（1）有唯一的μ測(cè)度偽概自守適度解。

證明設(shè)Γ：PAA（R，X，μ）→PAA（R，X，μ）是非線性算子滿足

又

進(jìn)而從定理2.2和定理2.3可得

其次證明Γ有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。

由θ＜0知Γ在PAA（R，X，μ）有唯一不動(dòng)點(diǎn),即方程（1）有μ測(cè)度偽概自守適度解。

參考文獻(xiàn)：

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［2］J.Blot,G.M.Mophou,G.M.N’Guerekata,D.Pennequin. Weighted pseudo almost automorphic functions and applications to abstract dierential equations［J］.Nonlinear Anal，71 （2009）：903-909.

［3］J.Blot,P.Cleutat,K.Ezzinbi.Measure theory and pseudo almost automorphic functions:New developments and aplications［J］.Nonlinear Anal，75（2012）：2426-2447.

［4］Yong-Kui Chang,Xiao-Xia Luo.Existence of μ-pseudo almost automorphic solutions to a neutral dierential equation by interpolation theory［J］.Filomat，28（3）（2014）：603-614.

［5］Yong-Kui Chang,Xiao-Xia Luo,G.M.N’Guerekata. Asymptotically typed solutions to a semilinear integral equation［J］.Integral Equations Appl，26（3）（2014）：323-343.

［6］T.Diagana,E.M.Hernandez.Existence and uniqueness of pseudo almost periodic solutions to some abstract partial neutral functional-dierential equations and applications［J］. Math.Anal.Appl.327（2007）：776-791.

［7］G.M.N’Guerekata.Sue les solutions presqu’automorphes dequations dierentielles abstraites［J］,annales des scinence Mathematqiues du Qu ebec,51（1981）：69-79.

［8］G.M.N’Guerekata,A.Pankov.Stepanov-like almost automorphic functions and monotone evolution equations,Nonlinear Anal，68（2008）：2658-2667.

［9］J.Liang,J.Zhang,T.J.Xiao.Composition of pseudo almost automorphic and asymptotically almost automorphic functions ［J］.Math.Anal.Appl.340（2008）：1493-1499.

［10］R.Zhang,Y.K.Chang,G.M.N’Guerekata.Weighted pseudo almost automorphic mild solutions to semi-linear integral equations with Sp-weighted pseudo almost automorphic coecients［J］.Discrete contin.Dyn.Syst-A 33 （2013）：5525-5537.

作者簡(jiǎn)介：馮天維（1989-），男,甘肅武威人,研究生在讀,主要研究方向：中立型泛函微分方程的測(cè)度偽概自守解。

收稿日期：2015-12-10

中圖分類號(hào)：O175

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A