轉矩作用下汽車驅動軸彎曲模態頻率的計算方法*

吳昱東，李人憲，向 偉，楊明亮，丁渭平

(1.西南交通大學機械工程學院，成都 610031; 2.荷語魯汶大學機械工程系，比利時 3001)

2016077

轉矩作用下汽車驅動軸彎曲模態頻率的計算方法*

吳昱東1,2，李人憲1，向 偉1，楊明亮1，丁渭平1

(1.西南交通大學機械工程學院，成都 610031; 2.荷語魯汶大學機械工程系，比利時 3001)

為定量研究在轉矩作用下，驅動軸彎曲模態頻率的變化規律，基于軸向拉力作用下彈性桿的彎曲模態頻率計算方法，引入等效拉力的概念，推導出轉矩作用下驅動軸彎曲模態頻率計算公式，并針對具體車型驅動軸進行計算。結果表明，隨著作用轉矩的增大，驅動軸1階彎曲模態頻率上升；同時進行了模態測試，計算結果與測試數據基本吻合，說明所提出的計算方法有較好的準確性。

驅動軸；彎曲模態頻率；轉矩；計算方法；等效拉力

前言

驅動軸是汽車傳動系的組成部件之一，不僅承擔著將動力傳遞至車輪驅動車輛前進的作用，而且對車輛的NVH性能有著極其重要的影響。軸向長度較大、直徑較小的結構特點導致驅動軸具有較低的彎曲振動模態頻率，尤其是其1階彎曲模態，乘用車驅動軸的1階彎曲模態頻率通常在150～400Hz之間，易被發動機振動激勵或驅動軸自身動不平衡激勵激發共振，從而加劇傳動系齒輪的嚙合沖擊與驅動軸軸承的振動，嚴重時會引起車內振動與噪聲的顯著增大，降低車輛舒適性[1]，因此對汽車驅動軸彎曲模態進行準確的設計有著重要的工程意義。

早期進行驅動軸設計時，并不考慮轉矩作用對其彎曲振動模態的影響，然而隨著汽車零部件的輕量化發展和材料韌性的提升，承受著巨大轉矩(可達2kN·m以上)的驅動軸在工作中會發生較大的扭轉變形，這種變形對驅動軸的彎曲模態產生的影響已不容忽視。目前許多汽車整車生產企業已意識到該問題，并明確要求驅動軸生產企業提供汽車驅動軸在零轉矩載荷和額定轉矩載荷下的1階彎曲模態頻率，以此判斷驅動軸的振動特性匹配是否合理。汽車驅動軸生產企業通常利用靜扭試驗臺對驅動軸進行轉矩加載，通過試驗模態分析方法分別獲取驅動軸在零轉矩載荷和額定轉矩載荷下的1階彎曲模態頻率。然而這種方法需要依賴實物樣件作為支撐，且當樣件測試結果不滿足要求時，由于沒有適當的設計計算理論支持，需要根據經驗反復進行試制，費時、費力，給汽車驅動軸的開發和生產帶來了巨大的阻礙。因此，迫切需要尋求一種考慮轉矩作用的驅動軸彎曲模態頻率計算方法。

目前，考慮轉矩對汽車驅動軸彎曲振動特性影響的研究還較少。但在相鄰領域的研究工作中，國內外學者研究了軸向拉力對彈性桿彎曲模態的影響，提出了軸向拉力作用下彈性桿彎曲振動的計算方法[2-5]，并將該計算方法運用于工程中，通過測定彈性桿的彎曲模態頻率來預測軸所受的張力[6-8]。彈性桿在軸向力作用下所表現的非線性現象與驅動軸在轉矩作用下的非線性振動現象有著較強的相似性，都是由于外力作用改變了軸向張力，引起彎曲平面內恢復力大小的改變，從而對彈性桿或軸的彎曲振動特性產生影響，改變了軸的彎曲模態頻率。故本文中基于彈性桿在軸向拉力作用下的彎曲振動力學模型及模態頻率計算方法，建立軸在轉矩作用下等效力學分析模型，推導轉矩作用下驅動軸彎曲模態頻率的計算方法，研究轉矩對其彎曲振動特性的影響，并以此指導工程中汽車驅動軸的設計工作，提升驅動軸的開發效率與質量。

1 軸向拉力作用下的彈性桿彎曲模態 頻率的計算方法

計算彈性桿在兩端鉸支且受軸向拉力作用下的彎曲模態頻率時，首先需要對該彈性桿作如下假設：

(1) 彈性桿在面內振動和面外擺振不具有耦合性，可以看成平面問題來研究；

(2) 振動引起的撓度遠小于彈性桿的橫向靜載撓度，始終處于小變形范圍內。

在此基礎上，考慮彎曲剛度影響，兩端鉸支的彈性桿的受力簡圖如圖1所示。

圖1 彈性桿受軸向拉力作用時的力學簡化模型

由結構動力學原理可建立彈性桿在平面內的微分振動方程為

(1)

式中：E為軸或彈性桿的材料彈性模量，GPa；I為軸或彈性桿的慣性矩，m4；x為沿彈性桿軸向的坐標，m；y為彈性桿的徑向振幅，m；F為彈性桿的軸向拉力，kN；m為軸或彈性桿的線密度，kg/m。

在兩端鉸支的邊界條件下，由式(1)可求得彈性桿彎曲模態頻率的計算公式[9]為

(2)

2 轉矩作用下軸的等效拉力計算

由于轉矩作用下軸的非線性振動現象與軸向拉力下的彈性桿相似，都是由于軸向張力改變，導致彎曲平面內恢復力變化而引起的。因此，首先要對轉矩作用下的軸進行準確的受力分析，求取引起其軸向張力改變的等效拉力，再根據軸向拉力作用下彈性桿的彎曲模態頻率計算方法，推導轉矩作用下軸彎曲模態頻率的計算方法。

圖2為一等直徑實心圓軸在轉矩作用下的力學模型示意圖，圖2(a)為該圓軸原始狀態，同樣須對其進行假設：

(1) 圓軸材料各向同性且分布均勻；

(2) 圓軸在彎曲平面內振動和面外擺振不具有耦合性，可以看成平面問題來研究；

(3) 振動引起的撓度遠小于圓軸的橫向靜載撓度，始終處于小變形范圍內；

(4) 圓軸在轉矩作用下處于線性形變區間。

如圖2(a)和圖2(b)所示，沿圓軸的軸線方向，取長度為l，橫截面積為dr×ds的微桿單元，此處，dr和ds分別為沿徑向和周向的增量。當該等直圓軸受到轉矩M作用時，該桿單元長度被拉伸至l′，如圖2(c)所示，則可得該桿單元所受等效拉力為

(3)

圖2 力學模型示意圖

式中：r為微桿單元所在位置與軸心線的距離，m；l為軸的長度，m；φ為軸的扭轉角位移，rad。

設處在與軸心線距離為r的所有桿單元(它們構成半徑為r的薄壁圓管單元)受到的拉力和為dTr，則

(4)

根據式(4)，在[0，R]區間內進行積分(R為軸截面半徑，m)，可求得該圓軸所受的等效總拉力為

(5)

(6)

式中：M為軸所受到的轉矩，N·m；G為軸材料的切變模量，GPa；Ip為軸的極慣性矩，m4。

將式(6)代入式(5)中，可得到等效總拉力T與軸受到轉矩M的關系為

(7)

當轉矩M≠0時，式(7)積分結果，即圓軸在轉矩作用下的等效拉力為

(8)

同理可推得當轉矩M≠0時，空心軸管在轉矩作用下的等效拉力為

(9)

式中：R0為軸管外圓半徑，Ri為軸管內圓半徑。

3 轉矩作用下驅動軸的彎曲模態頻率 計算方法

將轉矩作用下軸所受的等效拉力T代入式(2)，則可獲得圓桿在轉矩作用下的彎曲模態頻率：

(10)

其對應的彎曲模態頻率為

(11)

將式(8)代入可得M≠0時實心圓軸的1階彎曲模態頻率計算公式為

(12)

同理，將式(9)代入式(11)即可得到轉矩作用下空心軸管彎曲模態頻率的計算公式，這里就不再贅述。

4 計算方法驗證

為驗證上面推導的轉矩作用下軸彎曲模態頻率計算公式的有效性，針對某前置前驅轎車驅動軸，進行彎曲模態的測試。將驅動半軸安裝于驅動軸靜扭試驗臺上，如圖3所示，運用“游動錘擊法”進行模態測試，通過靜扭試驗臺改變驅動半軸兩端所受轉矩，分別測取驅動半軸在不同轉矩下的1階彎曲模態頻率。

圖3 驅動半軸靜扭試驗臺

該轎車驅動軸額定轉矩約為2kN·m，通過“游動錘擊法”測試獲取0～2kN·m轉矩范圍內驅動半軸的1階彎曲模態頻率；利用式(12)計算得到驅動半軸在0～2kN·m轉矩作用下，1階彎曲模態隨轉矩增大的變化曲線，并將計算分析結果與測試結果進行對比，如圖4所示。

圖4 驅動軸試驗模態分析及計算模態分析結果

圖4(a)為“游動錘擊法”測試獲得的驅動軸1階彎曲模態振型；圖4(b)為不同轉矩下1階彎曲模態頻率計算值與測試值的對比。可以看出，計算結果與測試結果較好地吻合，相對誤差不超過3%，測試值總體要比計算值略大。誤差產生的原因主要有兩個：(1)實際中軸的材料、約束與數值計算時所使用的參數存在差異；(2)數值計算結果本身存在誤差，這從轉矩為零時計算值與測試結果的差異可以看出。在實際使用時，可以通過精確核實軸系材料參數、結構尺寸和約束關系，進一步提高計算結果的精度。另外，從圖4(b)還可看出，隨著兩端所受轉矩載荷的增大，驅動軸1階彎曲模態頻率逐漸升高，載荷從0增至額定值2kN·m，1階彎曲模態頻率增幅達10Hz左右，驅動軸1階彎曲模態頻率改變對車輛傳動系甚至整車的中低頻NVH性能都將造成不可忽視的影響。

5 結論

(1) 推導了轉矩作用下軸的彎曲模態計算方法，并設計針對性實驗對該計算方法進行了驗證，結果表明，該計算方法較為準確，計算結果與實際驅動軸振動特性吻合，可以有效用于轉矩作用下汽車驅動軸的彎曲模態頻率的計算與分析。

(2) 汽車驅動軸所承受的外部轉矩會對其彎曲振動特性產生影響，在線性形變區間內，隨著外部轉矩的增大，驅動軸的1階彎曲模態頻率升高。

[1] BIERMANN, J W. Impact of Side Shaft on the Interior Noise of Cars[C]. International Conference on Noise and Vibration Engineering, Vols 1-8,2005:3343-3352.

[2] NAGULESWARAN S. Vibration and Stability of an Euler-Bernoulli Beam with up to Three-step Changes in Cross-section and in Axial Force[J]. International Journal of Mechanical Sciences,2003,45(9):1563-1579.

[3] REDDY J N. Nonlocal Theories for Bending, Buckling and Vibration of Beams[J]. International Journal of Engineering Science,2007,45(2):288-307.

[4] 孟浩,劉耀宗,王寧,等.軸向力對軸系彎扭耦合振動特性的影響[J].振動與沖擊,2008(10):103-105.

[5] 邢靜忠,柳春圖.剛性土壤上含有軸向力的懸跨管道的靜彎曲和固有頻率[J].工程力學,2011(12):87-91.

[6] 任偉新,陳剛.由基頻計算拉索拉力的實用公式[J].土木工程學報,2005(11):26-31.

[7] 方志,汪建群,顏江平.基于頻率法的拉索及吊桿張力測試[J].振動與沖擊,2007(9):78-82.

[8] 何偉,陳淮,王博,等.復雜邊界條件下基于頻率法的吊桿張力測定研究[J].土木工程學報,2012(3):93-98.

[9] ROY R, CRAIG Jr.結構動力學[M].常嶺,李振邦,譯.北京:人民交通出版社,1996.

Calculation Method for the Bending Modal Frequency ofVehicle Drive Shaft Under the Action of Torque

Wu Yudong1,2, Li Renxian1, Xiang Wei1, Yang Mingliang1& Ding Weiping1

1.SchoolofMechanicalEngineering,SouthwestJiaotongUniversity,Chengdu610031；2.DepartmentofMechanicalEngineering,KULeuven,Belgium3001

The changing law of the bending modal frequency of drive shaft under the action of torque is studied in this paper. Based on the calculation method for the bending modal frequency of elastic bar under the action of axial tension force with a concept of equivalent tension force introduced, the formula for the bending modal frequency of drive shaft under the action of torque is derived, and the calculation for the drive shaft of a specific vehicle is conducted. The results show that with the increase of the torque applied, the first order bending modal frequency of drive shaft rises. Meanwhile a corresponding modal test is also performed, and the above simulation results well agree with test data, demonstrating the correctness of the calculation method proposed.

drive shaft; bending modal frequency; torque; calculation method; equivalent tension force

*高等學校博士學科點專項科研基金項目(20100184110002)和中央高校基本科研業務費專項資金(SWITU12CX036)資助。

原稿收到日期為2014年11月24日，修改稿收到日期為2015年2月4日。