非負矩陣譜半徑的估計

魏國祥

（四川職業技術學院應用數學與經濟系,四川 遂寧 629000）

非負矩陣譜半徑的估計

魏國祥

（四川職業技術學院應用數學與經濟系,四川 遂寧 629000）

討論了非負矩陣譜半徑（或Perron根）的相關性質，得到其譜半徑的一個上下界.

非負矩陣，譜半徑，Perron根，上下界估計

1 預備知識

非負矩陣理論在數值分析、信號圖像分析、組合分析、概率統計、動態規劃等領域都有著極為廣泛的應用[1-2]，對非負矩陣譜半徑（或Per ron根）的估計更是非負矩陣理論的核心問題之一[3-7].設A為非負矩陣，則A必有一模最大非負特征值ρ，且ρ對應的特征向量X亦非負，該特征值ρ即矩陣A的譜半徑（或Per ron根），本文均記為ρ(A).關于非負矩陣Per ron根的上下界，以下結論是熟知的[2]：

2 主要結果

定理仍然成立.

②若A可約，可能y1,y2都大于零，或y1=0或y2=0，但兩者不可能同時為零.都大于零的情況同上.若y1=0，則x1= =xk，由（7）有ρ≤r22，若y2=0，則xk+1= =xn，由（6）有ρ≤r11，定理成立.

類似的，我們可得到非負不可約矩陣Per ron根的一個下界.

定理3設A為非負矩陣，對任意正整數k(1＜k＜n)，令

證明設Per ron根ρ（A）=ρ對應的非負特征向量為X，對給定的任意某個正整數k(1＜k＜n)，將AX=ρX的前k個方程相加，后n-k個方程相加可得

從而（10）成立.

②若A可約，可能兩者都大于零，或Y1=0或Y2=0，但兩者不可能同時為零.都大于零的情況同上.若Y1=0，則X1= =Xk=0，由（11）有s12=0.若y2=0,則Xk+1= =Xn=0，同樣由（11）有S21=0，此時

定理成立，證畢.

[1]黃廷祝，鐘守銘，李正良.矩陣理論[M].北京:高等教育出版社,2004.

[2]詹興致.矩陣論[M].北京:高等教育出版社,2008.

[3]H.Minc.Nonnegativemat rices[M],Wiley,NewYork,1988:11-19,24-36.

[4]A.Ost rowski,Bounds for the Greatest latent root of a Posit ive Mat rix[J],J.LondonMath.Soc.,1952,(27):253-256.

[5]A.Brauer,I.C.Gent ry.Bounds for theGreatest Character ist ic Root of an Inreducible Nonnegative Matrix[J],Linear Algebra Appl.,1974,(8):105-107.

NewBounds for the Spect ral Radiusof Nonnegative Matrices

WEI Guoxiang
(Sichuan Vocat ional and Technical Col lege,Suining Sichuan629000)

The purpose of this paper is to discuss the bound for the spectral radius (or Perron root) of nonnegative matrices. A new bound is obtained for the spectral radius of nonnegative matrices.

Nonnegative Matrices; Spectral Radius;Perron Root;Bound Estimation

O151.2

A

1672-2094(2016)06-0149-03

責任編輯：張隆輝

2016-08-25

魏國祥（1971-），男，四川遂寧人，四川職業技術學院講師。研究方向：基礎數學，數學教育。