對人教版數學教科書一個問題設計的質疑

王偉民

摘 要 因為分子是構成物質的仍能保持其化學性質的最小微粒，所以，一定大小的物體是不可以無限制的分割下去的。以此為論據，論證教科書對容器中水無限分割的方法欠妥，并提出修改方案。

關鍵詞 容器 水 分子 原子 測量

義務教育教科書（人教版）八年級數學上冊第十六章《分式》，在其第二節“16.2分式的運算”結束部分有一個“閱讀與思考”板塊，標題為“容器中的水能倒完嗎”，以一個裝有給定體積水的容器為對象，并按一定的規則分次向外倒水為背景，設計了一個耐人尋味的問題（詳見教科書148頁）——

“一個容器裝有1升水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的……第n次倒出的水量是升的……按照這種倒水的方法，這1升水經多少次可以倒完？”[1]

應該說，這幾乎是所有學生都非常感興趣的一個問題（實際上，即便是作為成年人的教師，在首次看到該問題的時候，也會有一種不求出問題的結果，誓不罷休的欲望——該問題設計得有點“太”吸引人了），當然，看到該問題后，讀者（特別是學生）最先想到的解決方法也許是通過實驗來探尋問題的答案，但稍加分析便會發現“此路不通”，由問題中的“倒水規則”可知，隨著倒水次數的不斷增加，每次倒出水的體積將會逐次減小，測量難度將會逐漸增大，正如課本所言，“當倒出的水量很小時測量的難度非常大”，甚至成為不可能（因為測量工具的最小分度值是一定的，當被測量的某個物理量比測量工具的最小分度值小得過多時，測量工具就沒法再用了），這樣就自然而然地將問題的解決方法“轉移”到數學方法上來。我們仍然看教科書提供的方法——

接下來，課本進行如下“總結”——

“可以發現，按這種方法倒水，隨著倒水次數n的不斷增加，總倒出水量也不斷增加，然而，不論倒水次數n有多大，總倒水量總小于1。因此，容器中的1升水是倒不完的。這樣，我們就用數學方法分析解決了上面的問題”[1]。

乍看起來，這的確是一種非常“完美”的解決方法，而且是“純粹”的數學法——用數學方法解決了實驗探尋不可能解決的實際問題，但仔細推敲就會覺得不合適。

我們知道，水是由水分子組成的。對于1升水而言，盡管里面所含的分子個數非常多，是一個天文數字，但分子的個數再多也是有限的，如果按照問題設計中的倒水“規則”不斷向外倒水的話，倒n次之后，容器中所剩水的體積為，當n不斷增大時，剩余水的體積將不斷減小，當減小到與一個水分子的體積一樣大，或者雖大于一個水分子的體積但卻小于兩個水分子體積的時候，容器中將只剩下一個水分子（n充分大時，這種結果將成為必然！因為分子的個數只能是正整數——不論實際操作能否做到這一步），這時，若仍按問題設計中的倒水“規則”向外倒水的話，我們只能將一個水分子拆開，將其中的氫原子或氧原子或者某原子的一部份“倒出”，而水分子一旦拆開（一個水分子是由一個氧原子與兩個氫原子所組成），哪怕只少了其中的一個原子或一個原子的一部分，水分子都將“搖身一變”，變成了另外的一種新的物質，容器中的水將不復存在，到這一步，容器中的水將被“徹底”倒完！

應該說，教科書中該問題設計的初衷是好的，通過具體問題的解決，不但使學生學到一種巧用數學手段解決實際問題的方法，而且還可以激發學生學習數學的濃厚興趣。但問題設置中選擇的對象不太合適——將水選作了研究對象，而水這種實體物質不可以無限地“分割”下去。如果課本將研究對象適當調整，比如，調整為可以無限分割的一條確定長度的線段，而將問題改成下面的形式，就不會出現上面的“問題”了——

一條線段長1米，一動點從線段的一端按如下規則向另一端運動：第1秒走米，第2秒走米的，第3秒走米的，第4秒走米的……第n秒走米的……按照這種運動方法，這1米長的線段經多長時間可以走完？

按教科書的分析方法，其答案顯而易見，經歷再長的時間，動點也不可能走完這1米長的線段！

參考文獻

[1]人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心.義務教育教科書·數學（八年級上冊）[M].北京：人民教育出版社，2013.

【責任編輯 郭振玲】