美式封頂看漲期權的定價分析

劉苑華

摘 要：期權是現代金融風險管理的重要工具之一，確定的執行價格以及特殊的損益是期權最大的特點。美式期權可以在期權到期日之前的任何時間行權，封頂確定了市場價格和執行價格之間的間距，看漲期權具有損失有限收益無限的特點。自1973年Fischer Black 和 Myron Scholes提出了著名的期權定價公式，Black-Scholes的研究框架成為期權定價研究的主流。標準的美式封頂看漲期權定價是自由邊界問題，本文從美式封頂看漲期權性質研究開始，繼而建立自由邊界模型和變分不等方程兩種模型對美式封頂看漲期權的定價進行分析。

關鍵詞：美式封頂看漲期權；自由邊界模型；變分不等方程模型

一、期權理論概述

1.期權概述

期權根據買方對標的價格不同方向的判斷分為看漲期權和看跌期權，看漲期權的買方有權利按照執行價格買入期權標的，買方認為期權標的的價格未來是會上漲的；看跌期權的買方有權利按照執行價格賣出期權標的，買方認為期權標的的價格未來會下跌。對于期權的買方來講，收益是不固定的，最大損失已經固定是全部的期權費用加上無風險利率收益，對于期權的賣方來講，最大收益固定是全部的期權費用，損失空間卻很大。

2.美式封頂看漲期權性質

看漲期權的損失有限，最大的損失就是購買期權支付的費用，盈利則是無限的，損益如圖所示。當市場價格等于行權價格加上期權費用之和，看漲期權損益正好平衡，市場價格越高，看漲期權盈利越大，并且沒有盈利上限，但是在現實生活中，期權標的是不可能無限上漲的，因此筆者認為期權中最重要的就是行權價格的選擇，也就是行權價格和市場價格之間的間距確定，封頂期權很好的解決了這個問題。封頂價格對看漲期權來說是定約價加上一個封頂間距，如果底層證券達到或高于看漲期權的封頂價格，封頂期權將自動履約。設定一個封頂價格就相當于設定一個期權獲利區域，根據美式封頂看漲期權的性質，期權標的的價格明顯有兩種損益，當市場價格大于零（現實中不存在標的價格小于零的情況），小于或等于行權價格時，看漲期權處于虧損狀態，損失為期權費用，這時持有人應當繼續持有期權，因此這個區域稱為持有區域，當市場價格大于行權價格時，期權損益出現轉折，市場價格小于行權價格和期權費用之和，期權仍舊處于虧損狀態，但是虧損在逐漸縮小，此時期權的損益等于市場價格減去行權價格減去期權費用，這時期權仍舊不應當被執行，當市場價格大于行權價格與期權費用之和，看漲期權開始盈利，這時應當執行期權，不再被持有，因此期權處于終止持有區域，持有到終止持有的盈利過程在兩個區域之間流轉，因此一定存在一條最佳實施邊界，并且這個邊界與封頂上限L有密切聯系。

二、永久美式封頂看漲期權定價--自由邊界模型

我們將永久美式封頂看漲期權作為自由邊界模型定價的研究對象，永久指的是沒有到期日的意思，也就是時間T=∞，因為沒有到期日的限制，永久美式封頂看漲期權是同類型美式封頂看漲期權中最貴的，擁有最多最大的獲利機會。

1.模型的推導

模型推導中的前提是風險中性市場的標準假設，即假設市場不存在任何套利機會，投資者的投資態度是中性的，所有證券的預期收益率都等于無風險利率，將期望值用無風險利率折現。假設期權標的的市場價格S符合隨機微分方程其中μ是期望回報率，永恒為常數正數，σ是波動率，同樣是正常數，表示達到市場平衡的波動幅度。dWt表示的是期權標的的價格遵循幾何分式布朗運動。設P是永久美式封頂看漲期權的價格；r是無風險利率，和基準利率密切相關；q是連續支付的紅利。然后以對沖原理為基礎，目標是整個投資不存在風險，可以構造的投資組合是：，△表示期權標的的份數穩定持有，在時間段t+dt內不會改變。根據以上假設持有期權，那么投資組合滿足以下公式：

在期權標的的市場價格S非常小的情況下，標的價格會小于行權價格，S-K小于零，期權不應當執行，期權價格滿足方程1，當期權標的市場價格足夠高時，S-K大于零，表示執行期權有盈利，期權持有者用約定的執行價格買入標的，獲得的是市場很高的價值，低價買入高價賣出獲取中間的差價利潤，這時應當立即執行期權，否則就會產生支付紅利和貼現的損失。是否應當執行期權的分界線，用C表示，當標的市場價格S小于C時，不應當執行期權，S在持有區域中，此時期權價格P符合方程1，當S大于C時，應當執行期權獲取盈利，S處于執行區域，此時期權的價格P=S-K。在整個價格分析中，固定的一個時間點，分界線C是未知的，也是我們所研究的自由邊界，但是顯然C應當大等于期權執行價格K，如果C小于K，那么C-K小于零，應當持有期權，處在持有區域，這和基本前提是互相矛盾的。

假設當S=0時，市場是一只無形手，有自動調節平衡的功能，期權價格不可能無限高而沒有邊界，因此P（0）是有邊界的。當S=L（L大于K）時，發行人按價格L-K回購，從而P（L）=L-K。

美式期權的執行時間由持有者決定，持有者會根據自己對市場的判斷，綜合考慮多種因素，繼而選取一個利益最大化的約定執行期權價格K（即自由邊界C），這時期權的價格達到最大值，可以得到（P；C）符合等式2：

將計算結果和分析歸納為金融解釋，可以得到如下結論：（1）期權標的價格上漲，市場對標的的盈利能力的期望也隨之增加，期權的價格就會上升。（2）對于美式看漲期權來講，執行價格K越大，購買期權的持有者獲利越困難，獲利空間越小，期權的價格越低。（3）波動率是指價格的波幅，波動率大表示價格會有大幅變動的可能，將會增加盈利的可能，因此期權的價格和波動率的大小成正比。（4）期望回報率和無風險利率之間聯系緊密，期望回報率隨著無風險利率的增加而增加。（5）封頂價格指的是獲利的固定空間，封頂價格變小，獲利空間變窄，期權的最終收益隨之減少，期權的價格降低。

三、變分不等方程模型

除了永久美式封頂看漲期權之外，其余類型的美式封頂看漲期權的價格都不能夠用一個表達式表示，只能根據收益函數：收益=（min（St，L）-K）+，基于變分不等方程的離散化，用數值的方法，對一般美式封頂看漲期權的定價進行建模研究。

建模需要有一系列的假設，在此假設期權標的的價格遵循幾何布朗運動，存在固定常數的無風險利率r，期權標的支付紅利為常數q，交易過程中沒有稅費和交易費用產生，市場中不存在無風險套利機會。

4.顯式差分格式

在區域對收益函數的變分不等方程作變換，從而期權價格P的求解問題就是在帶狀區域上構成區域解網格，每一個網格點都是固定的二維函數，將期權價格和波動率進行定義，代入變分不等式方程得到格點上的方程組合解析式，利用反向歸納的方法，對變分方程進行代入數值求解，這個模型是顯式差分格式，不需要具體解析代數方程的，區域內的解也無法用線性邏輯描述。最終可以得到的變分方程是：

在這一部分中主要研究的參數對期權價格的影響如下：美式封頂看漲期權隨著到期日時間t的臨近，波動率逐漸變小，因此期權價格和到期日反向運動；期權價格臨近到期日越高，就證明看漲期權獲益更大，因此期權價格與期權標的的價格同向運動。

四、期權定價總結

執行價格越低，市場價格變化幅度越大并且是上漲趨勢的期權合約價格越高。假設將期權標的的價格確定下來，t時刻期權標的的價格是S，期權價格為P，則可以在期權價格區域內確定點Pt=P（S，t），這個點是確定的二維坐標區域中的一個，期權定價就是建立常微分方程和變分不等方程的離散將這個函數的等式表示出來。期權定價工作的理論基礎是布萊克和肖爾斯在1973年做出的歐式期權定價的推導公式，關于偏微分方程的顯示解。

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