完整系統Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性與守恒量

鄭世旺

(商丘師范學院　物理與電氣信息學院，河南　商丘 476000)

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完整系統Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性與守恒量

鄭世旺

(商丘師范學院物理與電氣信息學院，河南商丘 476000)

摘要：研究了完整力學系統Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性及其守恒量，首先建立了完整系統的Tzénoff方程，給出了完整系統Tzénoff方程的Mei 對稱性及其共形不變性的確定方程，得到了這種共形不變性產生守恒量的條件和導出守恒量的函數式，最后給出一個應用實例.

關鍵詞：完整力學系統；Tzénoff方程；Mei對稱性；共形不變性

0引言

對稱性原理是物理學中的一種高層次法則，動力學系統中的守恒量能揭示深刻的物理現象,如動量守恒律、動量矩守恒律、能量守恒律及其它物理量的守恒規律.1918年德國女科學家A.E.Noether首次發現，對稱性與守恒量之間有對應關系[1]，這就為尋找實際力學系統的守恒律提供了方法和途徑.本世紀初以來,我國學者在Noether對稱性、Lie 對稱性、Mei對稱性及其守恒量方面進行了大量研究,取得了一系列重要成果[2-12].1997年,俄羅斯學者Galiullin等在研究Birkhoff 系統動力學時首次提出了Birkhoff方程的共形不變性和共形因子的概念, 并討論了Pfaff 作用量在無限小變換下的不變性與共形不變性及Lie 對稱性與共形不變性之間的關系[13].共形不變性及其守恒量的研究較為復雜，我國學者關于約束系統共形不變性的研究起步較晚，蔡建樂和梅鳳翔教授在2008年研究了Lagrange 系統Lie點變換下的共形不變性與守恒量[14]，從此推動了共形不變性及其守恒量的研究, 現在共形不變性的研究已擴展到Hamilton系統、相對運動系統、機電力學系統、變質量力學系統等動力學系統[15-20].1953年保加利亞科學院院士Tzénoff構造了經典力學系統的一種新型動力學函數稱為Tzénoff函數，他建立了一類新型運動微分方程被稱為Tzénoff方程，與其它動力學方程如Lagrange方程、Nielsen方程、Appell方程相比較，Tzénoff方程至今仍為最簡捷的動力學微分方程．在1985到1987年期間，我國學者梅鳳翔、程丁龍等把Tzénoff方程推廣到了可控力學系統[21]、變質量系統[22].近年來Tzénoff方程的對稱性與守恒量的研究也取得了一些成果[23-29],但關于Tzénoff方程的共形不變性與守恒量的研究才剛剛起步,目前已成功研究了完整系統Tzénoff方程Lie對稱性的共形不變性與守恒量[30].

本文研究了完整系統Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性與其守恒量.首先建立完整系統的Tzé-noff方程,定義了完整系統Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性, 給出了直接用Tzénoff函數來表達的Mei對稱性共形不變性的確定方程和其導出的相應守恒量, 最后,通過一個簡例說明本文結果的應用.

1完整系統的Tzénoff方程

設力學系統的位形由n個廣義坐標qs(s=1,…,n)來確定，質點的矢徑ri=ri(t,qs),系統的Tzé-noff函數為

(1)

由于

(2)

(3)

展開(3)式可得到廣義加速度

(4)

有

對(4)式求導可得廣義加加速度

(5)

2完整系統Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性

取時間和坐標的群的無限小變換

(6)

或其展開式

(7)

其中ε是一無限小參數，ξ0,ξs為無限小生成元.于是有

(8)

(8)式中

因為用變換后的動力學函數代替變換前的動力學函數，運動微分方程的形式仍保持不變的一種對稱性稱為Mei對稱性[3]，故可得到完整系統Tzénoff方程Mei對稱性的定義和判據分別為

定義1如果用變換后的Tzénoff函數K*代替變換前的函數K時，方程(3)的形式保持不變，那么這種不變性稱為Tzénoff方程的Mei對稱性.

把(8)式代入Tzénoff方程(3)可得到

判據若完整力學系統的Tzénoff函數K，在無限小生成元ξ0,ξs變換下滿足方程

(9)

則Tzénoff方程具有Mei對稱性.

(10)

(11)

(12)

反之, 若Tzénoff方程(3)具有共形不變性,(10)式和(11)式相減得

(13)

3Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性所導出的守恒量

完整系統Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性在一定條件下也可導出相應的守恒量.

定理2對于完整力學系統Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性的生成元ξ0,ξs，如果能找到規范函數G滿足如下結構方程

(14)

則Tzénoff方程的Mei對稱性的共形不變性將直接導出守恒量

(15)

(14)式中

證明 對(14)式求導并考慮到完整系統Tzénoff方程(3)及其Mei對稱性的共形不變性的判據方程(10)成立，有

證畢.

4應用例子

已知完整力學系統的Tzénoff函數為

(16)

試研究該力學系統Mei對稱性的共形不變性和其導出的守恒量.

解把Tzénoff函數(16)代入完整力學系統的Tzénoff方程(3),得

(17)

即

(18)

所以有

(19)

取ξ0=0,ξ1=q1,ξ2=q2, 則

(20)

有

(21)

所以,Mei對稱性共形不變性的判據方程(10)成立, 系統具有Mei對稱性的共形不變性,其共形因子

(22)

由 (17)式的關系,有

(23)

故Mei對稱性判據方程(9)成立,系統同時也具有Mei對稱性.由(18)式的關系，(20)式可變為

(24)

把(24)式代入結構方程(14)并考慮(19)式的關系,可得

(25)

將(25)代入(15)式可得守恒量

5結語

本文研究了完整系統Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性及其守恒量.通過建立完整系統的Tzé-noff方程,定義了完整系統Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性的概念, 給出了直接用Tzénoff函數來表達的Mei對稱性共形不變性的判據方程和導出守恒量的必要條件及相應守恒量的表達式.該研究結果對進一步探究非完整系統Tzénoff方程和高階Tzénoff方程的共形不變性及其守恒量奠定了理論基礎．

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[責任編輯：徐明忠]

Conformal invariance and conserved quantity of Mei symmetry for Tzénoff equations in holonomic systems

ZHENG Shiwang

(School of Physics and Electrical Information, Shangqiu Normal University, Shangqiu 476000, China)

Abstract:The aim of the paper is to research the conformal invariance and conserved quantity of Mei symmetry for Tzénoff equations in holonomic systems.Firstly, the Tzénoff equations of holonomic systems is established.Then, the determining equations of conformal invariance of Mei symmetry for Tzénoff equations in holonomic systems are given.The conditions and the functions of the conserved quantity which is deduced by conformal invariance are obtained.Finally, application of this new result is presented by a practical example.

Key words:holonomic systems; Tzénoff equations; Mei symmetry; conformal invariance

中圖分類號：O320

文獻標識碼：A

文章編號：1672-3600(2016)03-0024-05

作者簡介:鄭世旺(1963-)，男，河南蘭考人，商丘師范學院教授，主要從事分析力學的研究.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(No.11372169)

收稿日期：2015-07-08；修回日期：2015-07-18