一類二次微分系統(tǒng)的分段光滑擾動(dòng)

李志鵬

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院, 浙江 金華 321004)

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一類二次微分系統(tǒng)的分段光滑擾動(dòng)

李志鵬

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院, 浙江 金華 321004)

摘要：考慮了一類平面二次微分系統(tǒng)在分段二次多項(xiàng)式擾動(dòng)下的極限環(huán)個(gè)數(shù)問(wèn)題.利用一階Melnikov函數(shù), 證明了從該系統(tǒng)的周期環(huán)域可以分支出 5 個(gè)極限環(huán)的結(jié)論.該結(jié)果表明分段二次多項(xiàng)式擾動(dòng)此類二次微分系統(tǒng)比其相應(yīng)的二次多項(xiàng)式擾動(dòng)可多產(chǎn)生 3 個(gè)極限環(huán)

關(guān)鍵詞：極限環(huán); 不變曲線; 一階Melnikov函數(shù); 分段光滑系統(tǒng).

0引言及主要結(jié)果

考慮平面系統(tǒng)

(1)

P(x,y),Q(x,y)是n次多項(xiàng)式, C(x,y)是m次多項(xiàng)式,且C(0,0)≠0. 當(dāng)ε=0時(shí),C(x,y)=0是(1)的不變代數(shù)曲線.在區(qū)域Ω={(x,y)|C(x,y)≠0}內(nèi),系統(tǒng) (1) 等價(jià)系統(tǒng)為近Hamilton系統(tǒng)

(2)

當(dāng)ε=0時(shí), 系統(tǒng)(2)有一族閉軌Lh={(x,y)|H(x,y)=x2+y2=h,h∈(0,+∞)}.

對(duì)于系統(tǒng)(1)的分支現(xiàn)象, 最近十幾年探究的比較多, 然而對(duì)于分段光滑微分系統(tǒng)

還知之甚少.我們先討論C(x,y)=1+x.

考慮如下分段光滑二次微分系統(tǒng)

(3)

其中

易知未擾系統(tǒng)(3)在x>0和x≤0時(shí)具有相同的首次積分H(x,y)=x2+y2.

文獻(xiàn)[7]考慮了平面分段近Hamilton系統(tǒng)

(4)

其中0<ε≤1, H±,f±,g±∈C∞. 對(duì)系統(tǒng)(4), 我們作出以下假設(shè)：

(H1) 存在區(qū)間J=(h1,h2), 系統(tǒng)(4)ε=0有一族順時(shí)針周期軌道

L(h):H(x,y)=h,h∈J.

(H2) 各周期軌道交y軸于不同的兩點(diǎn)A(h)=(0,a(h))和A1(h)=(0,b(h)), 這里a(h)>0, b(h)<0.

在假設(shè)(H1)和(H2)下, 根據(jù)文獻(xiàn)[7]中的定理1.1和文獻(xiàn)[8]中的引理2.2, 可以得出系統(tǒng)(4)的一階Melnikov函數(shù)

(5)

2定理1的證明

在證明定理1之前, 我們先給出一個(gè)引理.

引理1[9]如果函數(shù)F1,F2,…,Fn在實(shí)數(shù)R上是線性無(wú)關(guān)的, 那么存在b1,…,bn∈B和β1,…βn∈R

系統(tǒng)(3)等價(jià)于分段光滑近Hamilton系統(tǒng)

(6)

系統(tǒng)(6)有一族周期軌道L(h)=x2+y2=h，h∈(0,1).

有等式(5)可知

M(h)=M+(h)+M-(h),

(7)

其中

(8)

等式(8)運(yùn)用Green’s公式

M+(h)可以化簡(jiǎn)為

(9)

這里

(10)

我們可以借助Maple17對(duì)其進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

(11)

用相同的方法得到

(12)

直接可得

(13)

因此, 通過(guò)(9), (10), (11), (12)和(13), 我們得到

M(h)=C1G1(h)+C2G2(h)+C3G3(h)+C4G4(h)+C5G5(h)+C6G6(h)

(14)

其中

那么可以得出矩陣的秩為6, 因此, 通過(guò)引理2可知, 我們可以得到M(h)有0個(gè)零點(diǎn), 定理1得證.

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：王軍]

Piecewise smooth perturbation for a class of quadratic differential systems

LI Zhipeng

(College of Mathematics and Information Engineering Zhejiang Normal Universtity,Jihua 321004,China)

Abstract:In this paper, we study the number of limit cycles that bifurcate from the periodic solutions of a quadratic differential system, when it is perturbed by piecewise quadratic polynomials.By using first order Melnikov functions to this system, it is proved that 5 limit cycles can bifurcate from the period annulus.The result shows that piecewise quadratic polynomials perturbation quadratic differential system can have 3 more limits cycles than corresponding quadratic polynomials perturbation .

Key words:limit cycles; invariant curve; first order Melnikov functions; piecewise smooth systems.

中圖分類號(hào)：0175.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672-3600(2016)03-0017-05

作者簡(jiǎn)介:李志鵬(1988-), 男, 河南周口人,浙江師范大學(xué)碩士研究生.主要從事微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)的研究.

收稿日期：2015-11-26