基于Split-Bregman方法的稀疏角度CT重建算法研究

張丹丹

(中北大學 信息探測與處理技術研究所,山西 太原 030051)

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基于Split-Bregman方法的稀疏角度CT重建算法研究

張丹丹

(中北大學 信息探測與處理技術研究所,山西 太原 030051)

摘要：離散梯度變換已被廣泛地用作稀疏算子，相應的全變差(TV)最小化方法也被用于基于壓縮感知(CS)的CT重建中.與此同時Split-Bregman算法在求解L1正則化問題方面引起了很大關注，此方法對原來的L1正則化問題引入一個分裂變量后利用Bregman迭代求解.本文將Split-Bregman方法用于稀疏角度CT重建，并與傳統的SART和基于SART的軟閾值算法(STF-SART)進行比較，最后用Head模型作為測試模型進行仿真實驗，實驗結果表明：對于稀疏角度CT重建問題，TV正則化(STF-SART和Split- Bregman)算法明顯優于傳統的SART算法，且Split-Bregman算法在收斂速度和重建圖像質量方面又優于STF-SART算法.

關鍵詞：離散梯度變化；壓縮感知；稀疏角度CT；TV最小化；Split-Bregman算法

0引言

在醫學CT掃描過程中，過量的X射線照射會對接受掃描的患者造成一定的危害性，故需要在保證成像質量的前提下盡可能降低X射線的輻射劑量.稀疏角度CT是降低X射線輻射劑量的一種有效手段，該方法在CT掃描過程中將只針對均勻分布的稀疏角度進行投影采樣[1].但少量的投影數據并不滿足奈奎斯特采樣定率，若采用傳統的重建算法，往往得不到高質量的圖像[1-3].

隨著壓縮感知(CS)理論的發展稀疏角度CT重建問題有了很大進展.該理論表明若原始信號或圖像在適當的變換域內具有稀疏表示，則可由少量投影重建圖像[4].離散梯度變換(DGT)是最為常用的稀疏算子之一，其L1范數被稱為TV，相應的TV最小化方法也被用于基于CS的CT重建中，包括稀疏角度重建[5].該問題的關鍵是如何在投影數據的約束下最小化TV.

2009年，Yu等人使用梯度下降法進行TV最小化，具體做法是先用經典算法對圖像進行更新，然后用梯度下降法調整TV以實現TV最小化[6].2010年，Yu和Wang應用軟閾值濾波框架，通過構建DGT的偽逆變換將軟閾值濾波算法用于實現TV的最小化[5,7].與此同時，Split- Bregman算法在求解L1正則化問題方面引起了很大關注.此方法對原來的L1正則化問題引入一個分裂變量后利用Bregman迭代求解.它將目標函數的L1和L2范數部分“分裂”為多個子問題，該算法的有效性主要依賴于子問題的合理求解[8-9].本文基于TV最小化將Split-Bregman算法用于稀疏角度CT圖像重建.

2基于TV最小化的CT重建模型

在醫學成像領域，DGT已被廣泛用作稀疏算子.一個二維圖像f=(fi,j)I×J的DGT定義為：

(1)

相應的TV定義為：

(2)

基于TV最小化的CT圖像重建問題可以表示為：

min‖f‖TV，s.t. ‖Af-Y‖≤ε

(3)

其中A是投影矩陣，Y是投影數據，ε是測量誤差.

通過引入懲罰項，問題(3)可轉換為無約束凸最小化問題：

(4)

其中μ是懲罰參數.

該問題的求解通常可分兩步：第一步用經典迭代算法(如SART)進行重建：

(5)

其中f=(fj)J′1∈J是二維圖像f=(fi,j)I×J的另一種表示形式，是迭代次數，0<λk<2是一個自由松弛因子；第二步在迭代框架下最小化圖像的TV.

3Split-Bregman算法

式(4)表示的CT重建問題的Split-Bregman算法的主要步驟可以概括如下.首先引入兩個新的變量將式(4)轉換為：

(6)

然后引入懲罰項，將(6)轉換為：

(7)

(7)可由Bregman迭代求解：

(8)

(9)

(10)

(8)可由交替方向乘子法(ADMM)交替迭代更新f和d：

第一步可使用各種優化方法，考慮到CT重建矩陣A的特殊性，用最速下降法解決[10]：

fk+1=fk-αkgk

(11)

(12)

第二步可通過廣義收縮公式求解：

(13)

(14)

基于Split-Bregman算法的CT重建的具體流程為：

S2：使用(11)執行梯度下降法；

S3：計算中間變量dx，dy，bx，by；

S4：轉到S2，直到滿足停止標準.

3實驗設計及結果分析

實驗選取Head模型進行試驗，模型的大小為256×256，掃描方式為圓軌跡扇束掃描，掃描半徑為500 mm，探測器包含320個探元，扇角為0.49弧度.實驗對Head模型在[0,2π)范圍內均勻采集90個角度下的投影數據，使用Split-Bregman算法進行重建，并與傳統的SART算法和STF-SART進行比較，迭代200次的重建結果如圖1所示.為了進一步驗證三種算法對噪聲數據的穩定性，對投影數據加入N(0，0.022)信噪比為38.2 dB的高斯噪聲，重建結果如圖2所示.另外為了定量地評估三種算法的性能，采用均方誤差(MSE)和結構相似性(SSIM)作為評判標準，結果如表1所示.可以看出，對于稀疏角度CT重建，傳統的SART算法重建的圖像出現過平滑現象，TV正則化(STF-SART和Split- Bregman)算法重建圖像的質量明顯優于傳統的SART算法，且Split-Bregman在收斂速度和重建圖像的質量方面又優于STF-SART.這一結論同樣適用于噪聲投影數據的情況.

圖1　三種算法對無噪聲投影迭代200次的重建結果

圖2　三種算法對噪聲投影迭代200次的重建結果

算法SARTSTF-SARTSplit-BregmannSART-噪聲STF-SART-噪聲Split-Bregman-噪聲MSE0.16480.15520.11200.19020.18560.1255SSIM0.49660.53450.67150.46360.49340.6103

4結論

針對稀疏角度CT重建問題研究了Split-Bregman算法在TV最小化方面的應用，并通過仿真實驗與SART和STF-SART進行了比較.實驗結果表明，對于稀疏角度CT重建，TV正則化(STF和Split-Bregman)算法明顯優于傳統的SART算法，且Split-Bregman算法在收斂速度和重建圖像質量方面又優于STF-SART算法.后續研究工作將基于GPU或者使用有序子集方法等對Split- Bregman算法進行加速.

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[責任編輯：王軍]

Study on Split-Bregman algorithm for sparse-view CT reconstruction

ZHANG Dandan

(Institute of Signal Capturing Processing Technology, North University of China,Taiyuan 030051, China)

Abstract:The TV minimize technique which corresponds to Discrete Gradient transform is widely used in the CT reconstruction basing on CS, including sparse-view reconstruction based on compressed sensing(CS).Meanwhile, Split-Bregman algorithm has caused great concern in solving L1regularization issues, this method first introduces a split variation to the original regularized problem and then use Bregman iterative solve it.In this paper, we apply the Split-Bregman approach to reconstruct an ROI for the CS-based sparse-view CT reconstruction, and combined with the traditional SART algorithms and soft thresholding algorithm based on SART (STF-SART) .Finally Head model is applied as a test model to the simulation experiment，and the results shows that: for sparse-view CT reconstruction , TV regularization (STF-SART and Split- Bregman) algorithms outperform conventional SART algorithm, and Split-Bregman algorithm is superior to STF-SART algorithmsn terms of convergence speed and reconstructed image quality.

Key words:gradient descent algorithm; compressive sensing; sparse-view CT; TV minimization; Split-Bregman algorithm

中圖分類號：TP391.41

文獻標識碼：A

文章編號：1672-3600(2016)03-0013-04

作者簡介:張丹丹(1991-)，女，山西臨縣人，中北大學理學院碩士研究生，主要從事圖像重建研究.

收稿日期：2015-10-20