巧用課堂生成構建數學模型
——以《雞兔同籠》教學為例

王章蓮（特級教師）

一、巧用生成，滲透思考方法

【教學片斷】

出示習題：籠子里關著一些雞和兔，從上面數，雞頭有12個，兔頭有8個，從下面數一共有多少只腳呢？

出示這一題的目的是引入新課，幫助學生找到其中兩個隱含的條件。但在課堂的教學中，我發現這一題的作用遠大于此。學生做題時，發現有這樣一種方法：（12+8）×2。

師：你認同她的計算方法嗎？

生：錯的，她把雞和兔全部看成了2只腳。

生：兔子應該是4只腳，怎么可能是2只腳呢？

生：她把兔子看成了2只腳，每只兔子少算了2只腳，腳算少了。

生：每只兔子少算了2只腳，一共少算了16只腳。

師：正確的方法是什么呢？

生：12×2+8×4＝56（只）。

師：其實，她的方法并不完全錯，你有方法補救嗎？

生：可以改成 12×2+8×4。

生：這不是在她的方法的基礎上改的。

生：（12+8）×2+8×2。

師：怎么想的？

生：因為她把所有的兔子全部看成了雞，每只兔子少了兩只腳，一共少了8×2＝16（只）腳，所以應該加上8×2。

師：看來這道題除了常規的方法外，我們還可以將錯就錯，將兔子全部看成雞，然后再補上少算的腳數。

【教學思考：

課前只是想通過這道簡單的熱身題引出新課，幫助學生明白這類題的基本結構，使學生知道這種題中隱含著兩個條件：雞有2只腳，兔有4只腳。沒曾想到，課堂上出現了不曾想到的方法：（12+8）伊2。顯然，這種方法是錯誤的，教學中我順利地捕捉到了這一生成資源，引導學生展開充分的分析與思考，使學生發現：其一，如果把兔看成雞，每只兔子就少算了2只腳；其二，在解決這一問題時，除了一般的方法外，也可以把兔看成雞，然后再補上少算的腳數。

千萬別小看了學生無意中的生成，這種方法正是用假設法解決雞兔同籠問題的最難理解的地方，一旦這點得以突破，雞兔同籠問題就迎刃而解。教學中由學生誤打誤撞的解法出發，通過師生之間、生生之間有效的交流，學生對于雞兔同籠問題的精髓已知曉了一半。】

二、善用啟發，激發思維碰撞

變式問題：籠子里有若干只雞和兔，從上面數共有8個頭，從下面數共有26只腳，雞和兔各有幾只？

通過對比，學生發現雖然與習題中有很多類似的地方，但還是有很多不同內容，不少學生思考了3分鐘，還是毫無頭緒。怎么辦呢？經過短暫的思考后，我感覺應該給他們指明思考的方向。

師：當遇到不會解決的問題時，我們可以怎么辦呢？

生：畫圖。

師：畫圖是一種不錯的方法。除此之外，還有呢？能不能用最原始的方法呢？

生：猜（這里的猜其實就是列舉）。

又過了差不多5分鐘，終于有一些學生有方法了。

1.1.1 《國務院關于加強青少年體育增強青少年體質的意見》中指出：“在校學生每天的體育鍛煉時間不得少于一小時。大力推進全民健身計劃，構建多元化體育服務體系”。以校本課程開發為載體，深入到全校教師與學生、課程與教學、制度與文化，以深化特色創建為抓手，引領學生發展、教師發展、學校發展是課程改革的宗旨。

生1：我用的是猜的方法，具體展示如下：

雞　1　2　3兔　7　6　5腳　30　28　26

生 2：4×5+3×2＝26。

師：你們看得懂嗎？有什么問題要問她？

生：你怎么一開始就知道雞有3只，兔有5只？

生2：我也是試出來的，試出結果后，我再根據結果列出的算式。

師：我明白了，你展示的是試的結果，前面的那位同學展示的是試的過程。

生3：我是用畫圖的方法來解決的，先畫8個圓，代表雞和兔有8只，然后給它們每只先畫2只腳，這樣只有16只腳，然后再從第一只開始，每個再添上2只腳，添了10只腳，是5只兔子，雞有3只。

（實物投影展示學生畫的圖）

師：你每只動物畫2只腳，一共只有16只腳，少了多少腳呢？是誰少的？

生：少了10只腳，正好是5只兔子。

……

【教學思考：

1.恰當地啟發，引出精彩。

問題拋出后，教室里靜悄悄的，沒有一丁點的聲音，學生都在冥思苦想，巡視后發現學生基本上是束手無策，怎么辦呢？此時，最好的辦法就是通過師生之間的交流，找到思維的癥結所在，引導學生逐步找到解決問題的策略。經過5分鐘左右的嘗試，最終有不少學生想到了解決的方法。

2.充分地展示，呈現多彩。

每種方法，學生都是經過深思熟慮的，在他們自己看來，自己的方法都是最好的！課堂上為了了解學生的方法，引導學生直觀感知解決雞兔同籠問題的一般方法，花了大量的時間，讓學生展示自己的方法。共展示了三種方法，為了讓每個學生都能看懂，我要求他們配合實物投影儀介紹自己的方法，并通過同學的提問，提升自己和同學對每種方法的認識與理解，這種介紹、展示的方法，使學生不僅解決了問題，而且認識到解決這類問題可以用列舉法、畫圖法、假設法等多種方法來解決。

3.巧妙地延伸，做好鋪墊。

畫圖法是一種直觀的解決問題的方法，學生之所以能想出這樣的方法，他們的思維層次是初級的，在畫圖時，學生更多的是想到通過畫圖來解決這個問題，這種畫圖只是單一的、低層次的。但是在教學中我抓住這一生成的資源，巧妙地引導，將其和假設法聯系起來，為下一環節的假設法的學習做了充分的鋪墊。】

三、構建模型，巧留思維懸念

【教學片斷】

出示：龜鶴問題

1.有龜和鶴共40只，龜的腿和鶴的腿共有112條。龜、鶴各有幾只？

師：今天我們不是學習雞兔同籠問題嗎？怎么出現了這個問題，是不是我搞錯了？

生：沒有，這也是雞兔同籠問題。

師：怎么看？

生：龜是4只腳，就相當于兔，鶴是2只腳，就相當于雞。

師：你會用什么方法解決？

生：雞兔同籠問題的方法。

師：剛才我們把兔全部看成雞，可不可以換種假設對象呢？

生：還可以全部都假設成兔。

師：怎么假設呢？下課后自己思考。

【教學思考：

教學“雞兔同籠”問題價值何在呢？“讓學生通過接觸這些重要的數學思想方法，經歷猜想、實驗、推理等數學探索的過程，激發學生對數學的好奇心和求知欲，增強學生學習數學的興趣。”在教學中有目的地滲透轉化的思想、列舉的思想、畫圖的思想、假設的思想、建模的思想，是實施這類教學的核心所在。其中，數學建模思想的滲透是本節課滲透的重點，通過幫助學生建立起解決“雞兔同籠”問題的數學模型，進而形成解決這一類數學問題的思維策略。同時，數學建模的思想方法得到有效的滲透。

正是基于以上的認識，在教學中，有意識地引導學生借助“龜鶴”問題，拓展例題中關于“雞兔同籠”問題的思考空間，引導他們從更廣泛的層面去觀察、分析、思考不同意義下的“雞”與“兔”之間的關系，鞏固“雞兔同籠”的解題策略，豐富“雞兔同籠”數學模型的內涵。

學生課堂生成的學習成果與課后呈現的數學問題有機地交織在一起，不僅有效地促進了數學建模思想的延伸與發展，更有利于學生數學思維的延伸與發展。】