線面分離深化感知
——『周長與面積』有效教學策略的思考

蔡水華　丁群俐

“周長與面積”是小學生最初接觸到有關圖形的計算，在小學數學“圖形與幾何”板塊的教學中占有重要的地位。北師大版教材分別于三年級上、下冊編排了認識周長和面積的相關教學內容，在教學情境圖中暗含著周長的定義：封閉圖形一周的長度。在習題中一般表現為圖形所有邊長的和，用長度單位衡量；面積指的是物體表面或平面圖形的大小，用面積單位衡量。似乎概念十分簡單、清晰，但在實際教學中，學生在綜合運用“周長與面積”知識解決實際問題時，常常把周長、面積這兩個概念混淆，容易出錯。因此，“周長與面積”有效的教學策略值得我們思考與研究。

一、緣由分析

分析學生對周長和面積容易混淆的問題，其產生的原因有以下幾個方面：

1.教材方面。

教學素材呈現有共存性。下圖為北師大版小學數學三年級上冊教材《什么是周長》的情境圖和練習用圖，學生在材料中同時看到邊（周長）和面（面積），其中樹葉和著色的平面圖形更吸引學生關注的是面，不利于學生對周長的感知與抽象。教學素材中“面”的視覺沖擊力干擾著學生對“邊”（周長）的注意力。即便教師在教學中有意地強調物體的“邊”和“面”，學生也不易將它們真正區分開。因此，教學素材呈現上有共存性，給學生感知概念帶來了負面影響。

2.教學方面。

（1）“線”“面”分離不夠。在“周長和面積”的教學中，教師應讓學生清楚：面積指的是封閉圖形圍成的面的大小，屬于二維空間的度量，有長和寬兩個表示的量。而周長是一維空間度量的量，它只有長度，是長度單位的累加。實際教學中，教師常常會呈現具體事物，通過摸、描、畫、量、算等方法來引導學生建立周長和面積的概念，盡力讓學生知道物體的邊框是它的周長。但學生在觀察的時候，往往是既看到物體上的“線”（邊框），又看到了物體的“面”，即周長和面積同屬在一個平面內，不利于周長和面積的區分，干擾了學生的理解。

（2）過多強調公式。在教學中，教師往往會引領學生通過一定的推理得出平面圖形的周長、面積計算公式，并理想地認為學生都已經理解、掌握了公式，便不斷地引導學生利用公式來解決問題。學生在不斷的機械化練習過程中記住的是套搬公式，就不可能去關注周長、面積的本質與內涵。

3.學生方面。

（1）空間思維有局限。周長在小學解釋為（封閉）圖形一周的長度，關鍵詞是“一周”和“長度”，它們同屬于一維空間的測量，但周長卻常用在二維圖形上，如平面、曲面。也就是說周長是一維的量，卻在二維的面里出現和應用，因此，一維的周長與二維的面積容易混淆。同時，小學生的思維以形象思維為主，空間想象能力比較薄弱，往往需要借助直觀演示、實踐操作等方法感知空間觀念。

（2）解題過程多定式。小學生在解題過程中，容易出現“重結果、輕方法”的現象。很多學生面對練習題時，首先想的是如何利用條件中的數據套用公式進行“簡單化”、“定式化”解題，而不是分析這些條件、數據的意義與聯系，找尋解決問題的突破口與關鍵點。

二、策略思考

為解決學生在學習過程中由于線、面概念不清而造成的平面圖形周長、面積計算混淆問題，筆者對平面圖形區分“線”、“面”教學進行探索與研究，旨在教學中給學生以足夠的空間經歷實踐操作、對比辨析、思維內化過程，幫助學生有效建立周長與面積兩個不同維度的概念，發展數學思維，提升解決問題的能力。

1.有效素材，利于表象。

有效學習的過程中，新知識與原有知識間的可辨析度，是影響學習的重要變量之一。因此，在教學過程中，教師應關注教學素材的有效選擇與呈現，需要有利于喚起學生已有的認識經驗，同時也能幫助學生建立并理解周長與面積兩個不同維度的概念。

周長屬于一維空間（只有“長度”）。在處理教學素材時，就應淡化“面”的干擾，突出長方形四邊的長度信息（如下圖），給學生以視覺沖擊，助其在大腦中形成長方形周長就是四條邊長度之和的正確表象。而面積屬于二維空間，研究“面”的大小，是由它的長度和寬度兩個因素決定的。教師需讓學生建立二維表象，弱化四邊的長度信息，助其轉化為二維信息。（如下圖）

2.對比分析，線面分離。

周長與面積混淆的現象集中出現在呈現兩者計算公式之后，究其原因，是學生對周長和面積概念的本質缺乏清晰和深刻的理解。因此，在“周長與面積”的教學中，應關注“線”“面”分離，強化對比分析，凸顯其本質特征。例如，“周長與面積”的對比課教學：

（1）在黑板上貼一個紅色三角形（三角形的一周貼了一圈黑邊，如下圖），請學生指出這個三角形的周長。

（2）學生指出周長后，教師問：用什么辦法可以知道這個圖形的周長？

生：用尺子分別量出三角形三條邊的長度，再把它們的長度相加。

（3）教師順勢把三角形一周的黑邊揭下，粘貼在黑板上連成線，說：“周長是封閉圖形一周的長度，就是長長的一條線。”

（4）在分析三角形的周長后，教師問：它的面積又是哪部分呢？

此時，黑板上已形成了鮮明的對比，一邊是周長——黑黑的一條線，一邊是面積——紅紅的一整片，給學生造成強烈的視覺沖擊，教師通過“長長的線”和“紅紅的面”直觀地展示了周長與面積的本質。

又如，特級教師朱志明在教學《認識面積》之后，強化了面積與周長的對比練習，突出了對周長與面積的本質理解與內在聯系，提升了學生的能力。

課件出示（如上圖），請同學們比較這5個圖形面積的大小，思考并說明理由：

（1）圖形______面積相等；

（2）圖形①和圖形_____面積不相等；

（3）圖形①和圖形_____面積不相等，理由是_________。

而后，讓學生判斷“圖形的周長相等，面積一定相等。圖形的周長大，面積一定大”的正誤，并結合圖形驗證，說說你的理由。

3.直觀促思，提升能力。

小學生以直觀形象思維為主，思維方法比較單一，抽象概括水平較低，而運用幾何直觀的方法來“畫數學”，可以把文字語言轉換成直觀符號語言，讓學生參與知識的產生和發展過程，體會知識的生成過程，培養和發展學生的數學思維，提升獲取知識和解決問題的能力。

問題：把一個邊長為8厘米的正方形平均分成四個小正方形，每個小正方形的周長是多少厘米？

讓學生再用實物量一量、折一折、剪一剪或在紙上畫一畫、算一算等過程中，體會圖形分剪后的變化及周長的計算方法。通過這樣的直觀操作，學生對這一知識難點的理解就簡單了。

總之，為避免學生對“周長與面積”知識的混淆，在教學中應強化“線”與“面”的分離，深化內涵感知，凸顯數學本質，發展學生思維，提升數學能力。