“波利亞解題思想”在高中數學學困生轉化中的應用研究

一、問題的提出

新課程理念強調以人為本，希望每位學生都能夠獲得全面的、和諧的發展。事實上，目前普通高中存在著大量的數學學習困難生（以下簡稱數困生），數學學習困難很大程度影響了他們自身的成長和未來的發展。因此，從實踐層面探索轉化數困生的途徑有著非常重要的意義。

毫無疑問，學習數學的關鍵在于解題。筆者通過對數困生的觀察研究發現，解題能力差、毫無章法、無解題的策略意識是導致他們學習數學困難的最核心因素。怎樣解題？怎樣有思想的解題？對于解題理論的研究和教學首推美國當代數學教育家喬治·波利亞，他的研究工作給我們提供了理論和實踐兩個層面的指導。筆者利用波利亞解題思想在轉化數困生的實踐方面，作了一點有益的探索，以期能為轉化數困生提供一條新的途徑。

二、波利亞解題與教學思想簡介

1.波利亞的解題思想

波利亞的重要數學著作有《怎樣解題》《不等式》《數學的發現》《數學與猜想》等等，但他的解題思想集中體現在他的《怎樣解題》一書中，解題的流程如下圖所示：

為了更清楚地展現解題的思維過程，波利亞又把每個環節分成若干個小的問題，部分重要的問題分別如下：

（1）已知是什么？

（2）未知是什么？

（3）題目要求你干什么？

（4）可否畫一個圖形？

（5）可否引入符號，實現數學化？

（6）你能否一眼看出結果？

（7）是否見過形式上稍有不同的題目？

（8）你是否知道與此有關的題目，是否知道用得上的定義、定理公式？

（9）有一個與你現在的題目有關且你已解過的題目，你能利用它嗎？

（10）已知條件A，B，C……可否轉化？可否建立一個等式或不等式？

（11）你能否引入輔助元素？

（12）如果你不能解這個題，可先解一個有關的題，你能否想出一個較易下手的、較一般的、特殊的，類似的題？

（13）把你想好的解題過程具體地用術語、符號、圖形，式子表述出來。

（14）修正解題方向以及原來擬定的不恰當的方案。

（15）解題要求是：嚴密具有邏輯性。

（16）你能擬定其他解題方案嗎？

（17）你能在別的問題中利用它嗎？你能用它的結果嗎？你能用它的方法嗎？

（18）你能找到什么方法檢驗你的結果嗎？

由此可見，解題表主要由四個環節構成，其中弄清題意是關鍵，擬定計劃是核心，檢驗回顧是解題中不可缺少的重要條件。由此可見，波利亞特別強調解題前和解題后的工作，這與我們僅強調解題過程（執行計劃）有很大的差異。

2.波利亞的解題教學思想

波利亞主張教師在解題教學過程中要教會學生思考和培養學生的創新精神，倡導“探索式”教學。從《怎樣解題》中可見波利亞還十分注重對學生“反思性思維能力”的培養，倡導解題過程中數學方法的教學，他主張對解題結論的應用，從而激發學生的想象力。波利亞強調在解題過程中調動學生的“主動性”，創造解題教學的“最近發展區”極為重要，他認為適當的題目可以培養學生良好的情感和態度，可以調動學生的非智力因素。

關于學生的解題訓練，波利亞反對數學教學中讓學生用大量的時間操練一些常規運算。他認為學生用大量的時間操練常規運算會扼殺學生的興趣，阻礙學生智力的發展，錯失教育良機。相反，如果用和學生的知識相稱的題目來激起學習的好奇心，并且用一些激勵性的問題去幫助他們解答題目，那么就能培養學生獨立思考問題的興趣，并教會學生某些方法。他認為在一個易受到外界影響的年齡段，這樣的經歷可能會培養出對智力思考的愛好，并對思想和性格留下終生的影響。

三、研究的方法及過程

為了研究的方便，經學校同意，筆者隨機選擇高三（5）班和高三（6）班的部分數困生作實驗研究，這是兩個選修“物理生物”的普通班級，學校同類型的平行班級還有（3）班、（4）班、（7）班、（8）班等。

1.數困生的界定

為了統計和研究的方便，我們把數困生界定為“多次數學考試得分不足理科班平均成績一半的學生。”這個界定的科學性盡管有待商榷，但這個標準確實很低，并且易于操作，以下的統計數據都遵照此標準。為了預防實驗班新的數困生的產生，在進行波利亞思想解題實驗時，根據9月份的市高三調研考試和之前的高二期末成績，把標準提高到“數學得分不足理科班成績的三分之二”，并排除個別特殊的學生，于是兩個班共有15人參加實驗。

2.師生的理論學習

目前波利亞的解題思想在國內中學的數學教學中，還沒有被教師廣泛的認可和接受，學生更是聞所未聞。為了確保實驗中能夠深刻領會，不曲解、不偏離波利亞的解題思想，筆者安排了兩個月的師生理論學習時間。2014年9月為自我學習階段，在這一個月內，筆者除了仔細研讀前期收集的波利亞的最主要的解題類著作《怎樣解題》《數學與猜想》外，還學習了別人研究波利亞解題思想的著作和論文，如劉云章教授的《數學鑰匙思維策略：波利亞著作選講》、柳成行的《喬治·波利亞的解題思維理論》等。2014年10月份，筆者主要利用課余時間如午自修和夜自修等時間，帶領數困生學習波利亞的解題思想，并結合解題的實例說明，讓每位數困生能夠牢記解題的四個環節和每個環節中思考的著眼點。

3.探索實踐方法

正式的實驗階段從2014年的11月始到2015年的5月底，除去寒假，正好為期半年。大體分為三個階段：教師引導階段、強化應用階段和自覺應用階段。endprint

從2014年11月始到12月末為教師引導階段。在前期對波利亞解題理論學習的基礎上，由教師利用課外的時間，對參加實驗的學生進行專門解題策略引導。在這個階段，主要是以老師講解例題，學生模仿為主，為使四個環節更具操作性、更加具體，對這四個環節作進一步細化，如下表所示：

2015年1月和2月為強化應用階段。由于這樣的解題過程需要大量的時間，所以對參加實驗的學生的數學作業區別對待，在完成必要教學任務的作業外，盡可能地減少作業量，追加典型的能夠用波利亞思想解題的作業，并單獨印制試卷，在每題的答題區，印制好每個環節需要思考的問題，并要求學生逐步填寫，而不僅僅是完成解題，每天晚上完成1到2個這樣的問題。

2015年的3月和4月為自覺應用階段。通過前兩個階段的訓練，大部分參與實驗的學生能夠自覺地按解題流程進行解題。值得一提的是在2015年5月的四大市第二次模擬考試中，參加實驗的同學在中等難度題（第9到16題）上平均得分與班級其他同學平均得分基本相當。有力地說明實驗確實起到了一定的效果。

四、數據的收集與分析

為了跟蹤檢驗實驗的有效性，我們選取了最接近實驗前的三次考試數困生人數，和開展實驗后的三次考試數困生人數（見表1）。除了2014年10月檢測之外，均為市級以上的考試，無論是試卷信度、考試組織還是閱卷都具有較強的權威性。

由于高三開始時按照高二的期末成績進行了均勻分班，所以數困生人數非常平均，均為5人。接下來9月和10月考試數困生人數有了一定的變化，從表中數據可見，開展實驗后實驗班的數困生數量明顯減少，我們使用SPSS15.0進行單因素方差分析（One-Way ANOVA），得到實驗前和實驗后的數困生平均人數差異的F值，見表2。

就實驗前因變量而言，F值不顯著（F=0.056，p>.05），就實驗后的因變量而言，F值顯著（F=18.059，p>.05）。這說明進行實驗后各班數困生人數發生了顯著的變化，我們的實驗是卓有成效的。

五、研究的結果及教學改進

這次實驗結果有力地說明了只要采用科學的、適當的途徑，是能夠實現數困生轉化的。因此，對已經形成的數困生采取有效的補救措施。改進課堂教學迫在眉睫，我們可以從以下幾個方面入手：

1.教給學生審題的方法，提高學生審題能力

認真審題是提高解題效率和保證解題有效性的關鍵，通過審題充分理清題目的條件和所求，邊讀題邊翻譯，將條件轉化成圖形語言或符號語言。弄清題目屬于哪種題型，有什么通法或找到問題的突破口，挖掘出與所求相關的信息或隱含條件，進行聯系和疏通，使問題迎刃而解。我們在教學中要給予學生足夠的審題時間，教會學生審題的方法，千萬不能越俎代庖。

2.解題力求找到問題的源頭

解題時學生對問題中的有些條件無從“翻譯”，或偏離方向越做越復雜，最終放棄，非常可惜。“問渠哪得清如許，為有源頭活水來。”學生進行審題后難于駕馭的問題，我們要積極引導，提供正確的步驟和方法，促使學生有效探究，力求找到問題的源頭，層層推進，及時疏通，在不斷嘗試中找到解題的切入口，這一系列思維過程無不伴隨著學生最基本的思考。

3.對學生的"不同意見 "要熱處理

我們在課堂上講解題目時，可能有學生會對解法持有“不同意見”，從而打亂了我們所謂的教學計劃。這時我們千萬不能做辛勤的園丁，拿著把大剪子急切地修剪著，導致學生的思維就如籠中鳥，生怕自己的答案不標準，卻也難于理解自己究竟錯在哪里。相反，我們要及時為學生的“不同意見”及時調整教學計劃，開啟綠色通道，可能這些學生的意見是有限制性和偏差的，我們不妨和學生一起用發展的理念討論要不要全盤接受，慢慢思考培養什么，舍棄什么，可以作什么改進，從不同的視角感悟我們可以留下些什么。

（施莉莉，吳江高級中學，215200）

責任編輯：顏瑩endprint