“四化”提高數學復習效率

程鵬

中考數學總復習應達到以下目的：使所學知識系統化、結構化、讓學生將初中三年的數學知識連成一個有機整體，更利于學生理解；通過經典習題，鞏固數學思想方法和基本解題技能；做好綜合題訓練，提高學生綜合運用知識分析問題的能力。但是，總復習階段超量的練習，又會使學生大腦活動由興奮轉向抑制，與高效課堂背道而馳。那么，如何遵循教學規律和學生的認知規律，進行有效的復習呢？結合個人教學實踐，筆者認為復習要致力于將知識轉化、變化、優化和類化。

一、單元復習———善于“轉化”

進行單元復習，通常是按照順序把概念、公理、定理、公式、法則和性質等機械地復述一遍，這種“炒冷飯”式的復習往往會使學生感到乏味、頭緒不清。針對這個問題，筆者采用了單元知識歸類編碼法：首先列出需要復習的主要知識點，將其歸類排隊，再進行數字編碼。教會學生把知識由厚變薄，增強學生思維的集斂性與概括性。

例如復習《整式》這一單元，筆者將主要知識濃縮為“一、二、三、四、五”：一個中心：整式的化簡與求值。兩個公式：平方差公式、完全平方公式。三大內容：整式的加減、整式的乘除、因式分解。四個性質：同底數冪的乘法性質、冪的乘方性質、積的乘方性質和同底數冪的除法性質。五個法則：單項式乘以單項式的法則、單項式乘以多項式的法則、多項式乘以多項式的法則、單項式除以單項式的法則、多項式除以單項式的法則。然后，再引導學生按以上提綱找答案，實現知識由薄向厚的轉化，收到了良好的復習效果。

二、例題講解———善于變化

復習課的例題應選擇最有代表性、能突出教材重點、反映“課標”基本要求的題目，注意發揮例題以點帶面的功能，并且有意識地對例題進行變化，挖掘問題的內涵和外延，提高思維的深度與廣闊性，培養學生隨問題變化而變化的應變能力。變化的基本方法有：變解題方法，訓練發散思維；對例題和習題進行變化，作出類比、推廣或引申；題型變化：封閉性變為開放性，證明題變為計算題等；變問題情境、變圖形位置、變數、變符號等。

例如，復習《直線和圓的位置關系》時，筆者舉了一例：如圖1，AB是⊙O的直徑，AC是弦，AD和過點C的切線MN互相垂直，垂足為D，求證：AC平分[∠]DAB。

變式四：變“封閉式習題”為“開放式習題”。

如圖3，把例題中⊙O的切線MN向上平移，與⊙O交于C、E兩點，連接AE，其他條件不變，此時與∠CAD相等的角是哪一個？請說明理由。

如圖4，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點P，連接PD。根據以上條件，你能得到哪些結論（至少寫出10個）。

這樣，通過“變中抓不變”的變式訓練，使一道題變成了一串題。這樣做可以構建起以原命題為核心的思維單元，不僅有利于學生更加直接觸及到數學問題的實質，防止思維定勢的負遷移，還對提高學生的觀察分析能力和應變能力，拓寬學生的解題思路，形成準確的解題技能大有裨益。

三、解題思路———善于“優化”

訓練中，教師不能局限于單一的習慣性思維方式，應結合具體問題不失時機地培養學生從多角度觀察、分析問題的能力，有意識地尋求多種途徑探討同一問題，然后進行歸納比較，提煉出最佳解法，使學生在熟練掌握常規方法的基礎上有所創新，以達到優化解題思路，培養學生發散性思維和創造性思維能力的目的。

例如，復習《平行四邊形》時，筆者舉了一例：如圖5，E、F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，且AE=CF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形。

這是人教版八年級下冊數學教材第46頁的一道例題，學生得出以下三種解法：

思路1：（證兩組對邊分別相等）先證△ABE≌△CDF得BE=DF，再證ADE△≌△CBF得DE=BF，所以四邊形BFDE是平行四邊形。__________________

思路2：（證一組對邊平行且相等）先證△ADE≌△CBF得DE=BF，∠AED=∠CFB，于是∠DEF=∠BFE，DE∥BF，所以四邊形BFDE是平行四邊形。

思路3：（證兩條對角線互相平分）連接BD，交AC于O，由平行四邊形ABCD得AO=CO，BO=DO，因為AE=CF，所以AO-AE=CO-CF，即EO=FO，所以四邊形BFDE是平行四邊形。

這三種解法分別用到了平行四邊形的三種不同的判定方法，溝通了知識之間的內在聯系，通過觀察和聯想，產生思維的飛躍，獲得嶄新而巧妙的最佳解題途徑——第三種解法，有利于提高學生的解題水平，優化思維品質。

四、習題歸納———善于“類化”

在復習中，教師要善于引導學生將習題歸納成類，集中力量解決同類題中的典型問題，總結出解這一類問題的方法和規律，并以此為契機構建思維單元，不僅可以使學生平時所學的零散知識系統化，形成良好的知識結構，還可以提高學生思維的深度與廣闊性，實現打造高效課堂、減輕學生負擔的目的。一般可讓學生從兩方面歸類：一是把那些形式上不同而解題思想方法有相似之處的習題進行歸納類比；二是把那些可用某一道習題的結論進行解答的習題歸為一類。

例如，復習《等腰三角形》時，筆者讓學生求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形。

這是人教版八年級上冊數學教材第78頁的一道例題，解決這道題并不難，學生很快就完成了證明過程。證完之后，筆者引導學生探究問題的本質特點，歸納了一個非常重要的結論：角平分線+平行線→等腰三角形，圖6是這個結論的基本圖形。接著，筆者發動學生從教材和有關資料上找出了下面一組含有基本圖形的相關習題。

1.在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于E，EF∥BC交AC于O，交外角∠ACD的平分線于F，求證：O為EF的中點。

2.已知AD是鈍角△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于E，EF⊥AD交BC的延長線于F，求證：∠B=∠CAF。

3.已知AD是銳角△ABC的角平分線，BE⊥AD交AD的延長線于E，EF∥AC交AB于F，求證：AF=FB。

4.在四邊形ABCD中，AB∥DC，E是DC的中點，且AE平分∠BAD，延長AE、BC交于點F，求證：AB=AD+BC。

上面幾道題，雖然題設和結論均不相同，但都可用基本題的結論給出簡捷的解答。這就以基本題為中心，構成一個思維單元，使學生在處理“角平分線+平行線”的一類幾何題時都能迅速地解答，達到了“會一類”的效果。經常進行這樣的歸類訓練，不僅能使學生把已掌握的結論或解題技能從一個題遷移到另一個題，同時對于培養學生良好的思維品質、發展思維能力也有十分重要的意義。

（作者單位：谷城縣城關中心學校）

實習編輯 孫愛蓉

責任編輯 劉玉琴