“變”則通

魏娜

這里的“求變意識”指在數學教學中對題型進行多角度、多層次（如改變命題的題設、結論等）的演變，以啟發學生的發散思維，提升學生數學素養的思維品質。筆者結合幾則教學實例，談談培養學生“求變意識”的具體做法。

一、一題多解，培養思維的廣闊性

一題多解既可以開闊思維，提高思維的敏捷性，又有利于培養學生的創新意識。教學中，教師圍繞問題結論之間的關系，引導學生通過對比，進行多角度、多方向的思考，有助于學生打通知識的內在聯系，培養其思維的廣闊性。

二、一題多變，培養思維的深刻性

一題多變是培養學生創新思維能力的有效途徑之一。教學中，教師適當地運用一題多變法，能激發學生發現和創新的欲望，加深他們學生對所學知識的理解，鍛煉其思維的廣闊性、深刻性和獨創性。

我們來看下面這道題目。

如圖1，要在燃氣管道L上修建一個泵站，分別向A、B兩工廠供氣。請問：泵站修在什么地方，所用的輸氣管線最短？

這道題的解法很簡單：作B關于L的對稱點B'（如圖2），則PB=PB'，只要PB'+PA最小，那么PA+PB最小（兩點之間線段最短），所以連接AB'交直線L于P，P就是泵站所建的位置。這是八年級數學中已經解決的問題。運用這個數學模型，我們可以解決很多數學問題。例如下面幾個變式題。

這道題也是求兩條線段之和的最小值，它是不是和解決“泵站問題”類似呢？學生通過比較發現，求EC+ED的最小值實際上就是作C（或D）關于AB的對稱點（圖4），然后根據“兩點之間線段最短”求出EC+ED的最小值等于C'D。

分析作出圖4后，有學生提出，如果連接圖4的AC'，不就構成一個正方形了嗎？（圖5）教師肯定了這種想法，并鼓勵學生嘗試解題。

原題是利用軸對稱性和“兩點之間線段最短”來解決泵站問題，而變式1的題設也是以等腰直角三角形為幾何背景求線段之和的最小值。等腰直角三角形本身就是一個軸對稱圖形，解決變式1所添加的輔助線也構成了正方形這個軸對稱圖形。換句話說，“泵站”問題是不是以軸對稱圖形為背景的圖形變換呢？學生的好奇心被挑動了。教師適時給出了變式2和變式3。

變式2：如圖6，P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上的一個動點，M、N分別是AB、BC邊上的中點，則PM+PN的最小值是_____。

變式3：如圖7，已知⊙O的半徑為r，C、D是直徑AB同側圓周上的兩點，弧AC的度數為96°，弧BD的度數為36°，動點P在AB上，則PC+PD的最小值_____。

這些變式題以“泵站問題”為基礎，或變換題目的條件和結論，或變換題目的形式，但題目的實質不變。這有利于從不同角度、不同方面提示題目的本質，使學生通過變式較深刻的理解同類型問題的內涵、特征和解答技巧。

三、對比辨析，培養思維的批判性

思維的批判性主要表現為有獨立見解，敢于懷疑，有較強的辨識能力。在解題教學中，教師抓住典型性錯誤有意識地設置“陷阱”，引導學生進行錯題辨析，并對比類似問題解法上的異同，能提高學生的辨識、判斷能力，培養其思維的批判性。

多項選擇題涉及的內容廣泛，且命題者往往設置有“陷阱”，要選出正確的答案，必須用批判性的態度去思考，請看下面這道題目。

培養學生數學思維的批判性應首先落實在概念、公式、法則和定理的教學中。教師既要讓學生明確它們的作用，又要讓學生理解它們的真正含義。比如（1），a與b的關系可以通過對稱軸的關系來建立，為此，學生必須熟悉拋物線的對稱軸公式x=-[b2a]。找到了這層關系，由題意可得x=-[b2a]=1，于是很快就能判斷出2a+b=0這個結論正確。

數學思維批判性的特征在于有能力評價解題思路是否正確，能用批判性的態度分析解題過程，發現其中的不足，并加以改正和完善。如（2），由圖學生很快發現各項系數的范圍a>0，b<0，c<0，但單憑這些條件還不足以推出a+b+c的正負。在尋找條件的過程中，學生運用數形結合知識發現，當-1

問題越辯越明，自由討論、爭辯的學習氛圍有利于發展學生思維的批判性。教學中，很多學生認為（5）正確。出現錯誤的原因，在于學生沒有充分利用題目所給的已知條件。教師沒有直接指出學生判斷錯誤的原因，而是引導他們進一步讀題，并自主交流討論。通過討論，學生發現要使△ABC為等腰直角三角形，有AB=BC=4，AB=AC=4和AC=BC三種情況，但并不一定能據此確定a的值的個數。于是，學生抱著質疑的態度進行驗證。最后，學生通過計算得出，當AC=BC時，關于a的方程無解，因此a的值只有兩個，結論（5）是錯誤的。

培養學生數學思維的批判性是一個復雜的過程，不能期望一蹴而就。教學中，教師有意識地對學生進行數學論證和計算方面的科學訓練，學生數學思維的批判性就會逐步增強。

四、注重聯想，培養思維的靈活性

思維的靈活性指解題時不局限于某一方面或受思維定勢的影響，而能隨機應變，觸類旁通。

我們來看這樣一道題目：設a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0且1-ab2≠0，求[（ab2+b2+3a+1a）2]的值。不少學生一看到題目，就按照常規思維對求值的分式進行化簡；還有的學生則去解關于a，b的方程，再代入求值。這些思維方法都沒錯，但這樣解題計算量相當大，學生往往難以求出正確的值。其實，解這道題時，上述兩種解法都不是最佳選擇。學生如果能通過觀察兩個方程系數的特征，聯想到[1a]和b2可以看作一元二次方程x2-2x-1=0的兩個根，然后運用“韋達定理”來解決問題，解題的過程就會變得很簡單。

數學的多個分支在內容和方法上都是密切聯系，互相滲透的。在解決數學問題時，豐富而恰當的聯想，能使看似復雜的問題變得熟悉起來，簡單起來。因此，平時教學中，教師經常指導學生整理知識，讓他們發現知識的縱向聯系和橫向聯系。這樣，學生思維的靈活性就會越來越強。

（作者單位：赤壁市蒲紡一中）

責任編輯 姜楚華