《導數及其應用》單元教學設計

安常勝

【摘要】教師在設計教學時，應有一個整體計劃，要根據模塊章節、關聯知識、數學方法來設計教學，而不能局限在某個知識點來設計。數學課程設計要突出主線，這對于學生理解數學將是非常重要的，也有助于學生提高應用能力。本文以《導數及其應用》為例，從不同方面介紹如何總體把握課程。

【關鍵詞】單元教學設計

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）02-0182-02

“單元教學設計”就是根據整套教材的結構體系和課程標準的要求，從模塊章節、關聯知識、數學方法等角度出發，按照數學分析、課標分析、學生分析、教材分析、重難點分析、教學安排等方面，對相關內容或方法優化整合，形成完整、總體的教學設計。“單元教學設計”體現整體性、相關性、階梯性、綜合性的基本要求。實現教師整體把握高中數學課程，不斷開拓視野和提高教學能力。例如，高中數學教材中所涉及到的垂直關系、函數單調性、常用邏輯用語等，都可作為一個“單元”，教師從不同角度和層次進行教學設計。這種系統教學設計的方法，既幫助了教師整體把握章和單元的教學內容與教學形式，也更方便學習者理清知識點之間的關系，形成體系更加完整、結構更加堅固的知識結構。根據單元教學設計的理念，結合教學實際，對人教版選修2-2《導數及其應用》本章為單元，淺談如何整體把握和實施教學過程。

一、單元教學目標

1.了解微積分概念的實際背景和幾何意義，能夠利用微積分解決簡單與函數性質有關的問題和某些實際問題。

2.通過豐富的實際背景創設情境，教學中重現新概念的背景、產生、發展、完善的過程，呈現數學的本來面目。通過學習微積分，體會從局部到整體，再由整體到局部的思想方法，學會以動態的、變化的、無限的變量數學觀點來研究問題，而不僅僅是停留在靜態的、不變的、有限的常量數學觀點上。

3.通過數學文化的學習，可以使學生了解數學科學與人類社會發展之間的相互作用，體會數學的科學價值、應用價值和人文價值，并從中受到優秀文化的熏陶，領會數學的美學價值，從而提高自身的文化素養和創新意識。

二、要素分析

1.數學分析

《導數及其應用》在整個高中數學教材中占有非常重要的地位和作用。它既是對函數知識的補充和完善，也為今后進一步學習微積分奠定基礎。

2.標準分析

《導數及其應用》內容要求注重對導數本質的認識（要求把導數作為一種重要的數學思想、方法來學習），提高對導數應用性的要求，降低了對求導計算和定積分計算的要求。

3.學生分析

（1）學習水平分析：學生學習水平和能力比較好。

（2）知識儲備分析：學生已經學習函數的相關性質，而且能夠利用性質解決一些函數綜合性問題，但學生沒有學習數列的極限、函數的極限、函數的連續性等知識的基礎上具體、直觀的認識微積分的數學思想。

4.重難點分析

教學重點：導數概念的建立及其幾何意義；簡單函數的導數運算；利用導數研究函數的單調性，極值、最值等性質。

教學難點：在沒有極限的條件下建立導數的概念；體會極限意義下的數學與精確意義下的數學的區別和聯系；利用導數研究函數的性質；微積分基本定理。

5.考點分析

函數與導數應用客觀題主要考察導數的計算；導數的幾何意義；單調區間、極值、最值的求解；分段函數、函數定義域、函數性質、函數圖像與變換、函數零點；已知函數的單調性、最值、極值等求參數的取值范圍以及與不等式的綜合應用；定積分的運算；利用定積分求平面圖形的面積。函數與導數解答題，主要考查單調性、極值點、導數公式與運算、函數方程的思想，靈活運用導數分析問題、解決問題的能力。以導數的綜合應用為主，函數、方程、不等式、曲線切線等綜合命題。

6.教學方式分析

應用現代教育技術，通過實例分析法、探究式教學法、直觀教學法進行教學設計。

三、教學流程設計

四、典型案例設計（重點教學設計）1.5.2汽車行駛的路程

創設情境

問題1：汽車以速度v作勻速直線運動時，經過時間t所行駛的路程為S=vt.如果汽車作勻速直線運動，在時刻t的速度為v（t）=0.6（單位：km/h），那么它在0≤t≤1（單位：h）這段時間內行駛的路程s（單位：km）是多少？

學生活動：通過確定汽車以速度v作勻速直線運動的路程，利用速度--時間函數圖像發現路程的幾何意義，其幾何意義就是： t=0， t=1，v=0，v=0.6所圍成的圖形面積。

問題2：如果汽車作變速直線運動，在時刻t的速度v（t）=0.6 t（單位：km/h），那么它在0≤t≤1（單位：h）這段時間內行駛的路程s（單位：km）是多少？

學生活動：根據物理知識，確定汽車在這段時間內行駛的路程，結合速度—時間函數圖像發現由t=0， t=1，v=0，v= 0.6 t所圍成的圖形面積在數值上與汽車行駛路程的關系，進一步明確路程的幾何意義是對應圖形的面積。

分析：通過探究1、2發現路程的幾何意義，為探究3汽車作變速運動時，其路程的確定問題化歸到曲邊梯形面積的方法上。

新課探究

問題3：如果汽車作變速直線運動，在時刻t的速度為（單位：km/h），那么它在0≤t≤1（單位：h）這段時間內行駛的路程S（單位：km）是多少？

分析：利用問題1、2得到路程s的幾何意義，汽車行駛的路程在數據上等于由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.所以與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變”的方法，把求勻變速直線運動的路程問題，化歸為勻速直線運動的路程問題.把區間分成n個小區間，在每個小區間上，由于的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線運動，從而求得汽車在每個小區間上行駛路程的近似值，在求和得S（單位：km）的近似值，最后讓n趨緊于無窮大就得到S（單位：km）的精確值.（思想：用化歸為各個小區間上勻速直線運動路程和無限逼近的思想方法求出勻變速直線運動的路程）。

五、反思與改進

1. 理解課程標準的要求，把握課堂教學主線——逼近思想、以直代曲思想、數形結合思想。

2. 寓德教學于數學教學之中。激發學生的學習興趣，培養民族責任感，激發學生的熱情，樹立為振興中華，開創未來的崇高理想和為科學獻身的遠大志向。

3. 在教學中傳授給學生知識的過程中，應培養學生自主學習的能力和思維品質。

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本文為甘肅省教育科學規劃“十二五”立項課題（GS[2014]GHB1076）的階段性成果。