發現教學法在極值教學中的應用

【摘要】本文提出在極值教學中運用發現教學法，在教師的引導下，使學生自覺地、主動地發現探索知識，并得到解決問題的方法及步驟。有利于學生獲得發現問題進而提高解決問題的能力。

【關鍵詞】發現教學法 極值 高等數學

【基金項目】東華理工大學校級教改課題——《線性代數》在實踐教學環節的改革研究（1310100027）。

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）02-0143-01

發現教學法是在學習過程中不將學習內容直接提供給學生，而是向學生提供問題和實例，讓學生積極思考，自行發現并掌握知識的一種方法[1]。當今國內高等教育處于普及型教育、素質教育的時期，對學生的學習能力培養顯得尤為重要，這就要求教師在教學上就不能直接給學生灌輸知識點，而是應該讓學生變被動為主動，讓學生參與思考，對知識感興趣，提高學習能力[2-3]。《高等數學》是我國大學生的重要基礎課之一，是學生踏入大學校園就開始接觸的課程，因此在高等數學中就引導學生自己獨立思考、自我學習可以為以后的學習打下良好基礎。高等數學內容豐富，公式定理多，邏輯嚴密且具有一定的抽象性，學生較難掌握，容易厭學，這對教學方式提出了很高的要求，這時將發現教學法引入教學中就很有優勢。本文主要討論極值教學中如何實施發現教學法。

1.引入觀察

高等數學中經常對函數的局部性質進行討論，比如某點處的極限、單調區間、凹凸區間等等。由此引出最大值最小值概念也可以在某鄰域內討論，并給出圖1讓學生觀察。引導學生觀察在x1的某鄰域內，x1處取到最小值，同理觀察到在x2的某鄰域內函數取到最大值，學生自然會發現在x4，x5，x6，處有同樣的性質，對這種性質我們引入極值概念：

定義[4] 設函數f（x）在區間（a，b）內有定義x0∈（a，b），如果在x0的某一區間鄰域內有

f（x）f（x0）），

則稱f（x0）是函數f（x）的一個極大值（極小值）。

函數的極大值與極小值統稱為函數的極值，使函數取得極值的點稱為極值點。

2.發現探索

在圖中學生可以自己觀察到除x4，x7外，其余點處均可導，則可分可導點，不可導點兩類對極值點進行討論。

第一類可導點處x1，x2，x5，x6取到極值且容易觀察這些點處導數為零，由此引入費馬引理：

引理[4] 設函數f（x）在點x0處可導，且在x0處取得極值，那么這函數在x0處的導數為零 即f'（x0）=0。

費馬引理說的是可導函數f（x）的極值點必為駐點，可直觀的用集合表示：

可導點處{極值點}？奐{駐點}

再引導學生觀察圖1可知駐點未必是極值點（例如x3）。

第二類不可導點x4為極值點，x7不是極值點，集合表示：

不可導點處{極值點}？奐{不可導點}

總結第一類和第二類點可得：

{極值點}？奐{駐點，不可導點}，

但反之不一定包含。那如何確定駐點和不可導點是否是極值點呢？再次切入圖1中x1，x2，x4，x5，x6這些極值點，引導學生觀察左右兩端函數的單調性，可以發現左右兩端單調性不一致，自然得到判定極值的充分條件：

定理[4] 設函數f（x）在點x0的一個鄰域內連續，在x0的左右鄰域內可導

（1）如果在x0的某一左鄰域內f'（x）>0，在x0的某一右鄰域內f'（x）<0那么函數f（x）在x0處取得極大值；

（2）如果在x0的某一左鄰域內f'（x）<0，在x0的某一右鄰域內f'（x）>0，那么函數在處取得極小值；

（3）如果在x0的某一鄰域內f'（x）不改變符號，那么函數f（x）在x0處沒有極值。

3.總結結論

有上述發現探索式講解可得判定函數極值點和極值的步驟：

（1）求出導數f'（x）；

（2）求出f（x）的全部駐點和不可導點；

（3）通過上述定理確定出函數的所有極值點和極值。

經過以上學習，可以讓學生在發現中學習知識，使他們獲得學習的成就感，并對極值內容有深刻印象。

進一步還可通過圖1和文中集合表示法讓學生思考最大值最小值的判別思路，提高學生分析問題和解決問題的能力。

參考文獻：

[1]布魯納.布魯納教育論著選[M].北京：人民教育出版社，1991.

[2]喻孜，劉寧寧.發現教學法在大學物理課堂中的運用[J].內蒙古民族大學學報，2010，16（5）：169-170.

[3]肖俊.發現式教學法在中值定理教學中的應用[J].高等函授學報（自然科學版），2012，25（2）：19-20.

[4]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007.

作者簡介：

樊繼秋（1985—），男，江蘇贛榆人，講師，碩士，主要從事代數學的研究。