一堂散發(fā)數(shù)學(xué)思想的習(xí)題課

余麗

去年有幸參加了區(qū)教研室組織的《一題一課，自主編題》的課堂教學(xué)評比活動，也幸運的獲得了區(qū)一等獎的榮譽，現(xiàn)在把對這堂課的設(shè)計和反思在這里和大家分享及交流。

這是一道初一的閱讀材料題，題目是：

閱讀下面的材料：

1×2=（1×2×3-0×1×2），

2×3=（2×3×4-1×2×3），

3×4=（3×4×5-2×3×4）， 由以上三個等式相加，可得

1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20

根據(jù)以上材料，請你計算下列各題：

（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（寫出過程）；

（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）= （結(jié)果可以不化簡）

（3）模仿上面的材料，試計算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12的值（寫出過程）

由于我面對的學(xué)生是民工子弟，基礎(chǔ)不太好，因此課堂的設(shè)計我想到了由淺入深。

課例展示：

1.復(fù)習(xí)鞏固

師：我們已經(jīng)學(xué)過了有理數(shù)的混合運算，在遇到比較復(fù)雜的運算題時，我們通常會運用一些運算規(guī)律和技巧簡便運算，比如分配律，結(jié)合律等，當然還有一些題目需要我們尋找其中的規(guī)律，從而解決問題。現(xiàn)在，請同學(xué)們做這樣一道計算題：

學(xué)生：第1小題可以去括號，有些數(shù)可以正負抵消。

師：非常好

學(xué)生：第2小題可以提取5倍，然后把括號里的數(shù)相加，也可以正負抵消一些數(shù)。

通過這兩道題讓學(xué)生體會互為相反數(shù)的項可以抵消的規(guī)律，以及逆用乘法分配律可以簡便運算。

2.引入

讓學(xué)生計算：

（1）1×2 （1×2×3-0×1×2）=

（2）2×3 （2×3×4-1×2×3）=

（3）3×4 （3×4×5-2×3×4）=

師：觀察以上3小題左右兩邊的運算結(jié)果，你能得出什么結(jié)論？

學(xué)生：左邊和右邊的結(jié)果相等

學(xué)生經(jīng)過思考得出：

1×2=（1×2×3-0×1×2）

2×3=（2×3×4-1×2×3）

3×4=（3×4×5-2×3×4）

由以上3個等式相加可得：

1×2+2×3+3×4=（3×4×5-0×1×2）=×3×4×5=20

師：三個等式的左邊是兩個連續(xù)自然數(shù)的乘積，右邊是連續(xù)三個自然數(shù)乘積組成的兩項的差。右邊相加后提取，括號里的項依次相加，正負項抵消后，只剩下最大項減最小項。

3.利用“裂項相消”規(guī)律解決問題

根據(jù)以上運算規(guī)律，讓學(xué)生計算下列各題：

（1）1×2+2×3+3×4……+10×11=

（2）1×2+2×3+3×4……+n×（n+1）=

對于第2題先引導(dǎo)學(xué)生類比歸納得到：n×（n+1）[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]

4.提出問題——編題

請你模仿上面的材料，編擬一道計算題

引導(dǎo)方向：

（1）從自然數(shù)的個數(shù)去變化；

學(xué)生：1×2×3+2×3×4+……+9×10×11

（2）從起步“1×2”去變化；

學(xué)生：2×3+3×4+4×5……+99×100

（3）從兩個連續(xù)的自然數(shù)到不連續(xù)的自然數(shù)；

學(xué)生：2×4+4×6+6×8……+2n·（2n+2）

（4）從整數(shù)到分數(shù)；

四位板演的學(xué)生不僅編出了四種類型的題目，而且還一一分析了解答過程。

5.總結(jié)

師：同學(xué)們，對于這道題的編題方法，我相信還有很多同學(xué)有更精彩的想法，同學(xué)們可以課后再討論研究一下，有想法的同學(xué)還可以寫篇小論文呢！今后遇到類似的項數(shù)比較多的計算題，可以考慮是否能用“裂項相消”的規(guī)律來解決。

教學(xué)反思

這節(jié)課我讓學(xué)生通過計算比較，得出規(guī)律，應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來引導(dǎo)學(xué)生來編題，而且給學(xué)生明確的編題方向，可以從數(shù)字的個數(shù)，是否連續(xù)性以及是否是自然數(shù)等改變其中一個或幾個特點進行改編。因此，學(xué)生在編題的過程中也精彩紛呈，四個板演的同學(xué)從不同角度進行了改編，而且還能解答。

如何幫助學(xué)生建立并理解規(guī)律的數(shù)學(xué)關(guān)系模型，提高學(xué)生抽象思維水平，把一個數(shù)學(xué)問題的解決方法提升為一類數(shù)學(xué)問題的解決方案，這正是我們上這類專題課的目的和本源。課堂中我們要及時組織學(xué)生回溯規(guī)律形成過程，品味是如何解決復(fù)雜問題的，引導(dǎo)學(xué)生反思“從簡單問題入手——找規(guī)律——用規(guī)律”，幫助學(xué)生積累必要的活動經(jīng)驗，學(xué)生通過這樣的學(xué)習(xí)方式，收獲的更多是學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)素養(yǎng)的提升，從而為學(xué)生可持續(xù)發(fā)展注入更多的動力。

有效的學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索、合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。由于本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的活動性和探究性比較強，所以在教學(xué)設(shè)計上，我們應(yīng)多采用學(xué)生獨立思考和小組合作交流的方式，特別是四人小組合作完成計算并展示，通過課前感知規(guī)律——情境中發(fā)現(xiàn)規(guī)律——操作中深化規(guī)律——體會中創(chuàng)新規(guī)律——生活中應(yīng)用規(guī)律這五個環(huán)節(jié)，由淺入深，層層遞進進行教學(xué)。

最后，我覺得自己不足的地方在于：所編的題目的深度可以再加強，如題目1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12，可以把數(shù)字由三個連乘，改編為多個，把連續(xù)的幾個自然數(shù)改編為等差的幾個數(shù)，自然數(shù)也可以改為任意數(shù)。可以引導(dǎo)讓學(xué)生編出以下題目并計算：

a（a+d）（a+2d）……（a+kd）+（a+d）（a+2d）……（a+（k+1）d）+（a+kd）……（a+2kd）（a，d為任意數(shù)，k為整數(shù)）

我想這樣應(yīng)該更能發(fā)揮學(xué)生的積極性，更開拓學(xué)生對這類題目的理解等，使整節(jié)課的深度得到提升，使學(xué)生們的能力得到進一步發(fā)展。