從“馬飲水”問題引發的中考關于圖形對稱變換問題的思考

【摘要】從七年級、八年級數學課本當中的練習題出發，引出兩道中考題，剖析牽涉到的知識點，尋找解題關鍵，將中考題回歸教材，分析題意，尋找基本圖形，回憶課本上關于這一部分知識是如何講解的，觀察這個圖與基本圖形之間的異同點，以教材為理論依據，將問題逐次展開，一層層解決。

【關鍵詞】對稱 展開 最短

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）02-0119-01

人教版八年級上冊《軸對稱》中的一道題：如圖1，A為馬廄，B為帳篷，木馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。

我們用軸對稱的知識將這一天所走的最短路線這一組折線轉化為一條線段，畫出圖形，根據兩點之間線段最短這一定理來求解，并通過反證法來證明。以這道題為基礎，可以將問題背景布置為我們所學過的各種幾何圖形，例如2014四川涼山州中考卷26題：如圖2，圓柱形容器高為18cm，底面周長為24cm，在杯內壁離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點A處，求螞蟻從外壁A處到達內壁C處的最短距離。

當所討論的圖形是對稱圖形時，一切居于對稱位置的元素都是可證相等的，一切居于對稱位置的三角形或其他多邊形都是可證全等的，若所討論圖形不是完備的對稱圖形，但存在對稱因素時，添加輔助性的思考是“從對稱的觀點補所缺的部分”。本題以圓柱為背景，似乎與軸對稱沒有絲毫關聯，但因為設置了從杯外壁到杯內壁之間的路徑問題，螞蟻要從杯外到內必須經過杯子的上沿，杯上沿就可以作為對稱軸，先將杯壁展開成一矩形，再將內、外壁看成是兩個重合的矩形，將內壁向上翻折成一個平面。如圖3，將圓柱側面展開成矩形EFGH，使得螞蟻A在矩形的邊EF上，則蜂蜜C在EH、FG中點的連線上，將點A沿著杯上沿EH翻折得到A，則AC的長度就是螞蟻從外壁A處到達內壁B處的最短距離。

由此，又想到七年級《相交線與平行線》一章中的造橋選址問題：如圖4，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）。對于這道題的分析，運用的是平移的方法，利用橋的長度不變，假設可以先過橋，那么橋兩岸的小路就可以連成一條路，轉化為兩點之間線段最短問題來解決。

以此為理論依據，2013年天津市中考第25題：在平面直角坐標系中，已知點A（-2，0），點B（0，4），點E在OB上，且∠OAE=∠0BA.將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B、BE′，當A′B+BE′取得最小值時，求點E′的坐標。

當拿到一道綜合題，不急于動手去解，先想象，弄懂它所描繪的情景，這是“合理、科學的思考”的核心，是其最重要的組成部分，本題第一感覺這是典型的“馬飲水”問題，但是與傳統的軸對稱問題又有所不同，傳統問題中，在直線的同側有兩個定點，要在直線上找一個點，使得兩定點到這個點的距離之和最小，而本題直線上有一定點，線外有兩個動點，但動點A′E′的相對位置不變，如圖5，要找到某個位置使得A′B+BE′最小，注意到A′A與E E′始終相等，因此，可以通過構造全等三角形將BE′變換到能與A′B組成一條折線的位置，利用兩點之間線段最短解題。過點A作AB′⊥AO，并截取AB′=BE，連接A′B′，則△A A′B′≌△EE′B，從而A′B′=BE′，則A′B+BE′= A′B+ A′B′，當B、A′、B′三點共線時，A′B+ A′B′最短，通過EE′=A A′，可得到點E′的坐標。

圖形的對稱變換問題在近年中考有大量的應用，遇到這類題時，通過分析題意，尋找基本圖形，回憶課本上關于這一部分知識如何講解，觀察這個圖與基本圖形之間的異同點，以教材為理論依據，將問題逐次展開，一層層解決。

參考文獻：

[1]《數學七年級上冊》，北京：人民教育出版社，2004，04.

[2]《數學八年級上冊》，北京：人民教育出版社，2013，03.

作者簡介：

張麗華（1978.11-），女，漢族，福建三明人，本科，中學二級。