關于居間廣義量詞“few”的廣義三段論的有效性

吳寶祥，李　晟

(四川師范大學　a.政治教育學院; b.邏輯與信息研究中心, 成都　610066)

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關于居間廣義量詞“few”的廣義三段論的有效性

吳寶祥a,b，李晟a,b

(四川師范大學a.政治教育學院; b.邏輯與信息研究中心, 成都610066)

摘要：在自然語言中，存在大量的各種各樣的廣義量詞，其中一種被稱為居間量詞。利用廣義量詞理論給出居間量詞的語義定義，再利用集合論證明廣義三段論的有效性，這一研究方法也適用于研究關于其他廣義量詞的廣義三段論的有效性；為有助于自然語言信息處理，提出并證明了居間廣義量詞few的12個有效的廣義三段論。

關鍵詞：廣義量詞；居間量詞；廣義三段論；有效性

一、引言

在自然語言信息處理、計算機科學中的知識表示和知識推理領域，語篇推理是研究的重點與難點。經過深入的研究，一些學者發現：大多數自然語言語篇推理是根據語境省略了的、一個又一個三段論推理(在本文中，三段論推理包括傳統三段論推理和廣義三段論推理)，經過層層嵌套、環環相扣而成的[1]。因此，要判斷一個語篇推理是否有效的關鍵，大多數時候都需要判斷其所涉及的三段論推理是否有效。

在256種傳統三段論中，只有24種三段論是有效的。如何從這256種中，篩選出24種有效的三段論，是傳統邏輯的重要研究內容之一。同樣的道理，如何從數不勝數的廣義三段論中篩選出有效的廣義三段論，則應該是自然語言邏輯(乃至于現代邏輯)的重要研究內容之一。

判斷傳統三段論有效性的常見方法有：(1)基本原則法；(2)歐拉圖解法；(3)文恩圖解法[2]187-193。此外，利用廣義量詞理論，也可以判斷傳統三段論的有效性。比如：利用廣義量詞的語義定義或語義性質，就可形式化解釋和證明傳統三段論的有效性[3]。

廣義量詞理論[4]1-11主要研究廣義量詞(包括一階邏輯中的兩個標準量詞)的普遍語義性質及其推理特征；該理論是一階邏輯的擴展理論[5]2-3，也優越于一階邏輯理論。正如廣義量詞是一階邏輯中兩個標準量詞(即全稱量詞和存在量詞)的擴展一樣，廣義三段論是傳統三段論擴展，因此廣義三段論也叫擴展三段論。

廣義量詞包括全稱量詞和存在量詞、限定詞，以及由限定詞a、an、the 或其他量化關系指稱形成的所有名詞短語[6]。比如：“我的狗狗、少數人、不到一半的、5個、這些、兩者都不、兩者都、多于九分之五的、大多數的、無窮多個的”都是廣義量詞。在各種各樣的廣義量詞中，有一類廣義量詞的語義比較模糊，比如：極少(extremely few)、很少(few)、許多(a number of)、很多(many)、大多數(most)、一部分(a part of)、幾乎沒有(almost no)、幾乎全部(almost all)等等，這類廣義量詞被稱為居間量詞(intermediate quantifiers)[7]，也有學者把它們稱為模糊廣義量詞[8]。

雖然Peterson較為詳細地研究了居間量詞的語義性質[9]，但沒有對其理論進行形式化。而Novák[10]、Murinová[7]雖然對一些關于居間量詞的廣義三段論的有效性進行了形式化的研究，但是他們對居間量詞語義定義和語義性質的表示及其有效廣義三段論的證明，都較為繁瑣復雜。

經過研究，我們發現：可以首先利用模糊邏輯給出居間廣義量詞的真值定義，然后再利用廣義量詞的語義性質及其相關關系，對居間廣義量詞所涉及的廣義三段論的有效性，進行簡潔明了的形式化解釋和證明。這些形式化表示是計算機進行知識表示、知識推理、語篇推理，進而為專家系統開發更加智能的推理機的前提。由于篇幅的原因，本文僅僅研究自然語言中常見的居間廣義量詞few所涉及的廣義三段論的有效性。

二、相關基礎知識

在自然語言中，〈1,1〉類型的量詞最為普遍。絕大多數限定詞對應于這類量詞，它表示其左論元和右論元所涉及的集合之間的關系。本文所涉及的量詞few、all、no、some、most、many、almost all都是〈1,1〉類型量詞。以〈1,1〉類型量詞開頭的量化語句都具有Q(A,B)這樣的三分結構，這種結構在自然語言中非常普遍[11]。例如：“很少大學生畢業論文寫得很好”，可以表示為few(A,B)。其中，few是居間廣義量詞，A是論域中的大學生個體組成的集合，B是畢業論文寫得很好的個體組成的集合。類似的：“所有的S是P”可以表示為all(S,P)， “很少S不是P”可以表示為few(S,P)。下文中的其他表示與此類似。

下面我們給出本文將涉及到的量化語句的語義定義，這類語義定義也可以看作是所涉及的廣義量詞的真值定義。

定義1：量化語句的語義定義

(1) all(S,P) ? S?P；

(2) no(S,P) ? S∩P = ?；

(3) some(S,P) ? S∩P ≠ ?；

(5) most(S,P)?|S∩P|≥0.75|S|；

(7) many(S,P)?|S∩P|≥0.8|S|；

(9) almost all(S,P)?|S∩P|≥0.9|S|；

(11) few(S,P)?|S∩P|≤0.3|S|；

對于上面的語義定義，有一點值得一提，我們所設置的數值帶有一定主觀性，即：不同的人可能會賦予表達式不同的數值，這是由于不同的人對具體的廣義量詞存在感受性的差異。但是數值的變化，不會對本文所涉及到的廣義三段論的有效性產生影響。比如，若把(9)改為：almost all(S,P)?|S∩P|≤ 0.95|S|，則(10)應改為：almost all(S,P) ?|S∩P|< 0.05|S|；不論數值如何改變，我們賦予almost all(S,P)與almost all(S,P)的數值之和均為1，即P與P這一關系是不變的，因此所涉及到的廣義三段論的有效性是不會變的。

根據上面的定義，直觀上，我們很容易得到以下事實：

事實0：

(1) no(S,P) ? few(S,P)；

證明：(1)假設no(S,P)成立，根據定義1的(2)可知：no(S,P) ?S∩P=?，而|S∩P|= 0 ≤ 0.3|S|，即|S∩P|≤ 0.3|S|，再根據定義1的(11)可知，few(S,P)成立。(2)、(3)和(4)的證明與(1)的證明類似。(5)假設命題不成立，即few(S,P)成立，但some(S,P)不成立，即some(S,P)成立。根據定義1的(4)可知：some(S,P) ?(SP) ? S?P，則|S∩P|=|S|。又由于few(S,P)成立，根據定義1的(11)可知：few(S,P)?|S∩P|≤ 0.3|S|，這就產生了矛盾，所以，假設不成立。故：few(S,P) ? some(S,P)。

三、關于居間量詞few的有效的廣義三段論推理模式及其證明

根據定義1以及事實0，結合Murinová與Novák[7]、Peters與Westerst?h[4]等人的研究成果，筆者給出了如下12個關于居間廣義量詞few的廣義三段論推理模式，并對其有效性進行了證明。

事實1：廣義三段論no(M,P) & almost all(S,M) ? few(S,P)是有效的。

證明：首先證明廣義三段論no(M,P) & almost all(S,M) ? almost all(S,P) 是有效的。假設no(M,P) & almost all (S,M)這兩個前提都成立，那么根據no(M,P)和almost all(S,M)的語義定義可知：no(M,P) ? M∩P=?，almost all(S,M)?|S∩M|≤0.9|S|。即：M∩P=?且|S∩M|≤0.9|S|，因此：|S∩P|<0.1|S|。根據定義1的(10)“|S∩P|<0.1|S|?almost all(S,P)”可知：almost all(S,P)成立。再根據事實0的(2)“almost all(S,P) ? few(S,P)”可知：few(S,P)成立。證畢。

例如：

[1] 大前提：沒有進口水果被賣出去，

小前提：幾乎所有的每斤30元以上的水果都是進口水果；

結論：每斤30元以上的水果很少被賣出去。

這一廣義三段論實例例證了事實1是有效的。

事實2：廣義三段論no(M,P) & many(S,M) ? few(S,P)是有效的。

證明：首先廣義三段論no(M,P) & many(S,M) ? many(S,P)是有效的。假設no(M,P) & many(S,M)這兩個前提都成立，那么根據no(M,P)和many(S,M)的真值定義可知：no(M,P) ? M∩P=?，many(S,M)?|S∩M|≤0.8|S|。即：M∩P=?且|S∩M|≤0.8|S|，因此：|S∩P|<0.2|S|。根據定義1的(8)“|S∩P|<0.2|S|?many(S,P)”可知：many(S,P)成立。再根據事實0的(3)“many(S,P) ? few(S,P)”可知：few(S,P)成立。證畢。

事實3：廣義三段論no(M,P) & most(S,M) ? few(S,P)是有效的。

證明：首先證明廣義三段論no(M,P) & most(S,M) ? most(S,P) 是有效的。其證明過程與事實2中的證明“no(M,P) & many(S,M) ? many(S,P)”的有效性類似。再根據事實0的(4)“most(S,P) ? few(S,P)”可知：few(S,P)成立。證畢。

事實4：廣義三段論all(P,M) & no(S,M) ? few(S,P)是有效的。

證明：假設all(P,M) & no(S,M)這兩個前提成立。根據all(P,M)和no(S,M)的語義定義可知：all(P,M) ? P?M，no(S,M) ? S∩M=?。即：P?M且S∩M =?，因此：S∩P=?，所以|S∩P|=0 ≤0.3|S|，再根據定義1的(11)“|S∩P|≤ 0.3|S|? few(S,P)”可知：few(S,P)成立。證畢。

事實5：廣義三段論no(P,M) & all(S,M) ? few(S,P)是有效的。

事實5的證明類似于事實4的證明。

事實6：廣義三段論all(P,M) & few(S,M) ? few(S,P)是有效的。

證明：假設all(P,M) & few(S,M)這兩個前提成立。根據all(P,M)和few(S,M)的語義定義可知：all(P,M) ? P?M，few(S,M) ? |S∩M|≤0.3|S|。即：P?M且|S∩M|≤ 0.3|S|，因此：|S∩P|≤ 0.3|S|，再根據定義1的(11)“|S∩P|≤ 0.3|S|? few(S,P)”可知：few(S,P)成立。證畢。

事實7：廣義三段論all(M,P) & most(S,M) ?few(S,P)是有效的。

證明：假設all(M,P) & most(S,M)這兩個前提成立，根據all(M,P)和most(S,M)的語義定義可知：all(M,P) ? M?P，most(S,M) ?|S∩M|≤0.75|S|。即，M?P &|S∩M|≤0.75|S|，因此：|S∩P|≤ 0.75|S|> 0.7|S|，再根據定義1的(12)“few(S,P)?|S∩P|> 0.7|S|”可知：few(S,P)成立。證畢。

事實8：廣義三段論all(M,P) & many(S,M) ? few(S,P)是有效的。

證明：假設all(M,P) & many(S,M)這兩個前提成立，根據all(M,P)和many(S,M)的語義定義可知：all(M,P) ? M?P，|S∩P|≤ 0.8|S|? many(S,P)。即，M?P &|S∩M|≤ 0.8|S|，因此：|S∩P|≤0.8|S|> 0.7|S|。再根據定義1的(12)“few(S,P)?|S∩P|> 0.7|S|”可知：：few(S,P)成立。證畢。

事實9：廣義三段論no(P,M) & almost all(S,M) ? few(S,P)是有效的。

事實9的證明類似于事實1的證明：可以先證明no(P,M) & almost all(S,M) ? almost all(S,P)，然后再根據事實0的(2)“almost all(S,P) ? few(S,P)”即可證得事實9。

事實10：廣義三段論few(M,P) & almost all(M,S) ? some(S,P)是有效的。

證明：假設few(M,P) & almost all(M,S)這兩個前提成立。根據few(M,P)和almost all(M,S)的語義定義可知：few(M,P) ? |M∩P|≤ 0.3|M|，almost all(M,S)?|M∩S|≤ 0.9|M|。即|M∩P|≤ 0.3|M|且|M∩S|≤ 0.9|M|，因此：SP，再根據定義1的(4)“some(S,P) ? SP”可知：some(S,P) 成立。證畢。

事實11：廣義三段論few(M,P) & many(M,S) ? some(S,P)是有效的。

證明：假設few(M,P) & many(M,S)這兩個前提成立。根據few(M,P)和many(M,S)的語義定義可知：few (M,P) ? |M∩P|≤ 0.3|M|，many(M,S)?|M∩S|> 0.8|M|。即|M∩P|≤ 0.3|M|且|M∩S|> 0.8|M|，因此：SP，再根據定義1的(4)“some(S,P) ? SP”可知：some(S,P) 成立。證畢。

事實12：廣義三段論all(P,M) & no(M,S) ? few(S,P)是有效的。

事實12的證明類似于事實4的證明。

例如：

[2] 大前提：所有的純情女人都是喜歡看電視劇《花千骨》的女人，

小前提：沒有喜歡看電視劇《花千骨》的女人是李村的女人；

結論：很少李村的女人是純情女人。

這一廣義三段論實例例證了事實12是有效的。

四、結束語

通過對有效的24種傳統三段論的形式化[12]就可以發現這樣的規律：有效的傳統三段論的前提中，要么包含all(A,B)，要么包含no(A,B)這樣的量化語句，要么二者兼之。這里的A、B或是主項S，或是謂項P，或是中項M。那么，在本文涉及的12個有效的廣義三段論中，是否也存在這樣的規律呢？在事實1—5、事實9和事實12這7個有效的廣義三段論中，都包含no(A,B)這樣的量化語句。而在事實4—8和事實12這6個有效的廣義三段論中，都包含all(A,B)這樣的量化語句。而事實10的前提是 few(M,P) & almost all(M,S)和事實11的前提是few(M,P) & many(M,S)，由于few(M,P)接近于no(M,P)，almost all(M,S) 接近于all(M,S)，可見這一規律對于大多數廣義三段論而言，還是成立的。至少我們可以得出這樣的結論：要找出一個任意廣義量詞Q所涉及的所有的廣義三段論，我們可以把這個量詞所涉及的量化語句Q(P,M)，與all(S,M)或no(S,M)或almost all(S,M)或few(S,M)這樣量化語句作為前提，我們只需要判斷并證明結論Q(S,P)是否有效就可以了；通過變換中項的位置，就可以得到新的廣義三段論。

仔細觀察就可以發現，本文的研究方法并不需要一些特設的條件，這一研究方法既適用于其他的居間廣義量詞，也適用于其他普通廣義量詞。只要給出一個居間量詞的真值定義，就可以判斷其特定推理模式是否有效，因此這一研究方法具有普適性、可操作行。自然語言中還有眾多的有效廣義三段論等待我們去發掘，比如，涉及a number of、a part of、a great deal of等等居間量詞的廣義三段論，其有效性都有待我們去研究。

人的記憶有限，要記住傳統三段論中的有效式已并非易事，更不用說廣義的有效三段論。但是計算機卻不一樣，它沒有記憶的限制，如果我們能用可行的方法使計算機“理解”這些推理，那么每多一條有效推理，計算機的處理能力就增強一份。因此，我們的研究成果，相比于人，對自然語言信息處理、計算機科學中的知識表示和知識推理要更有意義，這些研究成果對于實現真正意義上的自然語言信息處理的自動化，更好地實現人際對話和人機對話都是大有裨益的。

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(責任編輯張佑法)

收稿日期：2016-01-10

基金項目：國家社會科學基金西部項目“面向中文信息處理的漢語主謂句的邏輯語義及其推理模式研究”(15XYY012)

作者簡介：吳寶祥(1988—)，男，安徽安慶人，碩士研究生，研究方向：現代邏輯和自然語言邏輯；李晟(1986—)，男，四川德陽人，邏輯學博士，研究方向：現代邏輯和自然語言邏輯。

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(s).2016.07.003

中圖分類號：B81

文獻標識碼：A

文章編號：1674-8425(2016)07-0012-05

The Validity of Generalized Syllogisms of the Intermediate Generalized Quantifier “Few”

WU Bao-xianga,b, LI Shenga,b

(a.College of Political Education; b.Institute of Logic and Information,Sichuan Normal University, Chengdu 610066, China)

Abstract:There are a great number of generalized quantifiers of all kinds in natural languages, one of which is named intermediate quantifiers. The semantic definitions of intermediate quantifiers are firstly given by means of generalized quantifier theory, and then set theory is utilized to prove the validity of generalized syllogisms. This research method is also applicable to the validity of generalized syllogisms including other generalized quantifiers. 12 valid generalized syllogisms including the intermediate generalized quantifier few are proposed and proved in this paper. It is hoped that the original findings will make contributions to natural language information processing.

Key words:generalized quantifier; intermediate quantifier; generalized syllogisms; validity

引用格式：吳寶祥，李晟.關于居間廣義量詞“few”的廣義三段論的有效性[J].重慶理工大學學報(社會科學)，2016(7):12-16.

Citation format：WU Bao-xiang, LI Sheng.The Validity of Generalized Syllogisms of the Intermediate Generalized Quantifier “Few”[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2016(7):12-16.