從一道物理問題及其變形到幾類積分概念的建立

李盈科，德娜·吐熱汗，葛　清（新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)　數(shù)理學(xué)院，新疆　烏魯木齊　830052）

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從一道物理問題及其變形到幾類積分概念的建立

李盈科，德娜·吐熱汗，葛清
（新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)理學(xué)院，新疆烏魯木齊830052）

摘要：以一道物理問題及其變形為背景，通過這些問題的深入解決，逐步引入高等數(shù)學(xué)中幾類常用積分概念.隨著問題的橫向展開，把高等數(shù)學(xué)中常用積分概念巧妙地聯(lián)系在一起，使初學(xué)者認(rèn)識(shí)到各類積分概念的共性，聯(lián)系，同時(shí)認(rèn)識(shí)到各類積分概念的差異，從而準(zhǔn)確把握、學(xué)習(xí)各類積分概念.

關(guān)鍵詞:物理問題；變形；幾類積分概念

各類積分概念的建立是高等數(shù)學(xué)中微積分部分教學(xué)中非常重要的奠基性工作.積分概念是人類偉大智慧的結(jié)晶，它集聚了科學(xué)的思維方法，是培養(yǎng)理性思維的重要載體，是學(xué)習(xí)其他自然科學(xué)和工程技術(shù)的重要基礎(chǔ).以往教學(xué)中學(xué)生學(xué)了積分后，往往只會(huì)停留在機(jī)械地求積分運(yùn)算層面，而在應(yīng)用積分思如在大學(xué)生數(shù)學(xué)建模竟賽中）去處理一些實(shí)際問題時(shí)就會(huì)顯得遜色許多.究其原因，我們認(rèn)為主要是學(xué)生沒有理解諸多積分概念的精髓，概念混淆，沒有有機(jī)地梳理、串在一起，從而沒有抓住其主旨思想.2014年暑假，我們有幸參加了西安交通大學(xué)與新疆大學(xué)在烏魯木齊舉辦的2014年全國(guó)高等學(xué)校非數(shù)學(xué)專業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教師暑期研修班，聆聽了馬知恩教授，王綿森教授，李繼成教授等對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)中各個(gè)板塊的疑難問題的深刻講解，受益匪淺.同時(shí)在反思以往教法的基礎(chǔ)之上，通過對(duì)一道物理問題的不斷變形的解決，引出了高等數(shù)學(xué)中幾類積分概念，從而把它們串聯(lián)起來，發(fā)現(xiàn)效果較好（如在期末課程總結(jié)中）.

為了討論方便，我們總假設(shè)以下提到的各類密度、力、流量函數(shù)等為所討論區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，曲線、曲面為光滑的.下面以一道物理問題及其變形的解決來引入幾類常見積分概念，梳理如下：

1　直細(xì)金屬絲的質(zhì)量——定積分

問題1有直金屬細(xì)絲的線密度為μ(x)，求位于區(qū)間[a,b]上金屬絲的質(zhì)量m.

若質(zhì)量分布均勻，即μ(x)=μ為一常量，易知金屬絲的質(zhì)量為m=μ(b-a)；若質(zhì)量非均勻分布，即μ(x)是一變量，我們期望借助于已知處理均勻量的方法，即在在微小局部把非均勻的量看作是均勻的（見圖1）.于是有

圖1　

①“分割”：在區(qū)間[a,b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)a=x0

②“求近似”：在小區(qū)間[xi-1,xi]上將金屬絲質(zhì)量金近似看作是均勻分布的，即將此小區(qū)間上金屬絲的線密度近似看作其中任一點(diǎn)ξi處的線密度μ(ξi), xi-1≤ξi≤xi.從而得到此小段金屬絲質(zhì)量的近似值

△mi≈μ(ξi)△xx, i=1,2,…,n.

利用這種處理問題的思想方法可以處理諸如曲邊梯形面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程等問題，它們?cè)跀?shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特征概括為定積分的定義.

定義1[3]設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中插入若干個(gè)分點(diǎn)

把[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]，其區(qū)間長(zhǎng)度為△xi=xi-xi-1,(i=1,2,…,n)在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函數(shù)值f(ξi)與區(qū)間長(zhǎng)度△xi的乘積f(ξi)△xi(i=1,2,…,n)并作和

其中f(x)叫作被積函數(shù)，f(x)dx叫作被積表達(dá)式，x叫作積分變量，a叫作積分下限，b叫作積分上限，[a,b]叫作積分區(qū)間.

有了定義1之后，自然地，金屬絲的質(zhì)量

2　平面金屬薄片的質(zhì)量——二重積分

問題2若直細(xì)金屬絲被鑄造成區(qū)域D上，面密度為μ(x,y)的平面金屬薄片，求此金屬薄片的質(zhì)量m.

此問題的解決類似于問題1，也是“分割”、“求近似”、“求和”、“求極限”四步，只不過分割區(qū)間[a, b]換成了對(duì)區(qū)域D的分割，D分成了n個(gè)小閉區(qū)域△σi（這些小閉區(qū)域的面積也是△σi）（i=1,2,…,n）；第i個(gè)小塊的質(zhì)量近似值為△mi≈μ(ξi,ηi)△σi，其中坌(ξi,ηi)∈△σi(i=1,2,…,n)，取d為所有閉區(qū)域△σi的直徑的最大值.此時(shí)

把這一形式的和式極限歸納出來，形成了平面區(qū)域上二重積分的概念：定義2[4].因此，此平金屬薄片的質(zhì)量為

3　空間金屬體的質(zhì)量——三重積分

問題3若直細(xì)金屬絲被鑄造成空間區(qū)域V上，體密度為μ(x,y,z)的金屬塊，求此金屬塊的質(zhì)量m.

此問題的解決類似于問題1，不過轉(zhuǎn)到了對(duì)空間三維體V的作用，把這一形式的和式的極限歸納出來，在空間區(qū)域上形成了三重積分的概念：定義3[4].因此，此金屬快的質(zhì)量為

4　彎曲細(xì)金屬絲的質(zhì)量——對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分（第一型曲線積分）

問題4若直細(xì)金屬絲被鑄造成平面弧形，線密度為μ(x,y)的金屬構(gòu)件L，求此弧形構(gòu)件的質(zhì)量m.

類似于問題1，對(duì)弧段L進(jìn)行任意分割，L被分成了n個(gè)小弧段，設(shè)它們的弧長(zhǎng)分別為△si(i=1,2, …,n)，第i個(gè)小弧段的質(zhì)量△mi≈μ(ξi,ηi)△si，其中(ξi, ηi)是第i個(gè)弧段上任意一點(diǎn).用d表示n個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度，則此弧形構(gòu)件的質(zhì)量為

把這一形式的和式的極限歸納出來，在平面曲線上形成了對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念：定義4[4].因此，此弧形金屬構(gòu)件的質(zhì)量為

5　彎曲的金屬薄片的質(zhì)量——對(duì)面積的曲面積分（第一型曲面積分）

問題5若直細(xì)金屬絲被鑄造成空間薄曲面片S，面密度為μ(x,y,z)，求此薄曲面片的質(zhì)量m.

類似于問題1，直細(xì)鐵絲變成了曲面S，相應(yīng)的線密度μ(x)改為面密度μ(x,y,z)，小段直線的長(zhǎng)△xi改為小塊曲面的面積△Si，而第i小段直線上的點(diǎn)ξi改為第i小塊曲上的點(diǎn)(ξi,ηi,ζi)，那么，所求的薄曲面片的質(zhì)量為

其中d表示n個(gè)小塊曲面的直徑的最大值.把這一形式的和式的極限歸納出來，在空間曲面上形成了對(duì)面積的曲面積分的概念：定義5[4].因此，此薄曲面片構(gòu)件的質(zhì)量為

6　變力沿曲線做功——對(duì)坐標(biāo)的曲線積分（第二型曲線積分）

問題6質(zhì)點(diǎn)受到變力F(x,y)沿平面光滑曲線弧L移動(dòng)，求此力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功W.

設(shè)質(zhì)點(diǎn)在xoy面內(nèi)受到變力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x, y)j的作用，沿光滑曲線弧L從點(diǎn)A移動(dòng)到B.若問題為恒力F(x,y)=F沿直線L對(duì)質(zhì)點(diǎn)作用，則作功為W=F|AB|.若為非恒力，則類似于問題1，分四步來處理：

①“分割”：在弧段L中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)A=M0，M1，…,Mn=B，把L分成n個(gè)小弧段.

③“求和”：

其中d表示n個(gè)弧段的最大長(zhǎng)度.可以看出，d越小，此近似值越高，從而有了④中的極限思想.把這一形式的和式的極限歸納出來，在平面曲線上形成了對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念：定義6[4].因此，變力F(x,y)沿平面全線L所做的功為

7　流向曲面一側(cè)的流量——對(duì)坐標(biāo)的曲面積分（第二型曲面積分）

問題7穩(wěn)定流體以變速度v(x,y,z)流向有向曲面∑指定側(cè)的流量Φ.流體質(zhì)量Φ.

設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體以速度v(x,y,z)=P (x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在單位時(shí)間內(nèi)流向曲面∑指定側(cè).若各點(diǎn)以恒速為v的流體流經(jīng)面積為A的平面，則流體流向此閉區(qū)域A的法向量v一側(cè)的流量Φ=Av·n.若為非恒速，則類似于問題1，分四步來處理：

①“分割”：把曲面∑分成n個(gè)小曲面塊△Si（△Si同時(shí)也代表其面積）.

②“求近似”：在第i個(gè)小曲面塊上流向∑指定側(cè)的流向的流量為

其中其中d表示n個(gè)小塊曲面的直徑的最大值.可以看出，d越小，此近似值越高，從而有了④中的極限思想.把這一形式的和式的極限歸納出來，在曲面上形成了對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念：定義7[4].因此以流速v流向曲面∑指定側(cè)的流量為

把一根細(xì)鐵絲鑄造成直的、曲的、平面的、曲面的不同鑄件，來求這個(gè)鑄件的質(zhì)量，實(shí)際上是把連續(xù)函數(shù)定義在不同的區(qū)域上，形成了上述7類積分的概念.認(rèn)清區(qū)域的特點(diǎn)是區(qū)分上述7類積分的本質(zhì).

8　小結(jié)

通過一道物理問題及其變形，逐步建立了高等數(shù)學(xué)中幾類常用的積分概念.只要確立了問題是定義在直線、平面、空間上的標(biāo)量，就可以分別利用定積分、二重積分、三重積分的概念來進(jìn)行解決；只要確立了問題是定義在曲線、曲面上的標(biāo)量，就可以分別利用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分（第一型曲線積分）、對(duì)面積的曲面積分（第一型曲面積分）的概念來解決；只要確立了問題是定義在有向曲線、有向曲面上的矢量，就可以分別利用對(duì)坐標(biāo)的曲線積分（第二型曲線積分）、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分（第二型曲面積分）的概念來進(jìn)行解決.通過這中梳理，類比歸納總結(jié)，學(xué)生會(huì)對(duì)常用的定積分概念有一個(gè)清晰、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)與理解.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2010.

〔2〕華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版下冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2010.

〔3〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2011.

〔4〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版下冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2011.

〔5〕馬知恩，王綿森.高等數(shù)學(xué)疑難問題選講[M].北京：高等教育出版社，2014.

〔6〕陳輝，胡耀華.定積分概念的另一種引入方式[J].高等數(shù)學(xué)研究，2012，15（6）：39-42.

〔7〕張建，定積分概念的教學(xué)思考與實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013，52（8）：21-25.

基金項(xiàng)目：新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)高等教學(xué)研究項(xiàng)目（2015JXGG07）

收稿日期：2915年10月19日

中圖分類號(hào)：O13；O172

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2016）01-0007-03