乘法公式的靈活運用

□華興恒

乘法公式的靈活運用

□華興恒

公式是解題的重要依據之一，對于一個公式可以正用、逆用、變形用、推廣用，還可以與其他知識綜合運用.那么怎樣靈活地運用乘法公式解決實際問題呢？

一、正用

有些數學計算題符合兩數（式）平方差、完全平方公式的特征，從左到右（即正向）應用公式可使運算過程簡捷、明了，從而快速、準確地得出結論.

例1計算：（1）49.82-39.8×40.2；（2）（-5 m-3 n）（5 m-3n）；（3）（x＋y）（x-y）（x2＋y2）（x4＋y4）.

分析：（1）將數進行分拆，可直接套用乘法公式來解；（2）觀察發現，兩個因式中“-3 n”相同，“±5 m”相反，適當調整項的位置，便符合平方差公式的特點；（3）仔細觀察，可連續使用平方差公式簡便獲解.

解：（1）原式＝（50-0.2）2-（40-0.2）×（40＋0.2）＝502-2×50× 0.2＋0.22-（402-0.22）＝880.08.

（2）原式＝（-3 n-5 m）（-3 n＋5 m）＝（-3n）2-（5m）2＝9 n2-25m2.

（3）原式＝（x2-y2）（x2＋y2）（x4＋y4）＝（x4-y4）（x4＋y4）＝x8-y8.

有些問題看似與乘法公式無關，但經過適當的變形、運算后便可巧妙地運用乘法公式順利求解.

例2已知兩個連續奇數的平方差為2000，則這兩個連續奇數可以是_________.

分析：根據題意可建立兩個連續奇數的方程組，然后用平方差公式展開代入，從而順利、簡捷求解.

∴x＋y＝1000或x＋y＝-1000，

例3若x是不為零的有理數，已知M＝（x2＋2 x＋1）（x2-2 x＋1），N＝（x2＋x＋1）（x2-x＋1），則M與N的大小關系是（）.

A.M＞N B.M＜N C.M＝N D.無法確定

分析：要比較M、N的大小，可先求差，然后利用乘法公式化簡便可快速找出正確的選項.

解：∵M-N＝（x2＋2 x＋1）（x2-2 x＋1）-（x2＋x＋1）（x2-x＋1）

＝[（x2＋1）2-（2 x）2-[（x2＋1）2-x2]

＝（x2＋1）2-4 x2-（x2＋1）2＋x2＝-3 x2＜0，

∴M＜N，故應選B.

二、逆用

把乘法公式反過來，得a2-b2＝（a＋b）（a-b）；a2±2 a b＋b2＝（a±b）2也成立.因此逆用可獲奇效.

分析：對于此題，如果直接計算，不僅運算量大，而且極易出錯.若對（1）逆用平方差公式，則可巧妙獲解；認真觀察（2），設a＝1.2345，b＝0.7655，則有2 a b＝2.469×0.7655，再逆用完全平方公式就會變得簡捷.

（2）原式＝（1.2345＋0.7655）2＝22＝4.

例5已知a＝2016 x＋2015，b＝2016 x＋2016，c＝2016 x＋2017，那么a2＋b2＋c2-ab-bc-a c的值是（）.

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：由題設條件難以求出a、b、c的值，通過仔細觀察代數式，聯想相關恒等式，則問題容易獲解.

解：∵a＝2016 x＋2015，b＝2016 x＋2016，c＝2016x＋2017，

∴a-b＝-1，b-c＝-1，a-c＝-2.

∴a2＋b2＋c2-a b-bc-a c

故應選C.

分析：本題看上去很難求解，其實只要將公式（a＋b）（a-b）＝a2-b2反過來用，求解很容易.

例7整數x、y滿足不等式x2＋y2＋1≤2 x＋2y，求x＋y的值.

分析：對于兩個未知數的不等式，須運用特殊方法與手段才能求出x、y的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解題的關鍵是拆項和重組.

解：原不等式可化為（x-1）2＋（y-1）2≤1，

又x、y為整數，（x-1）2≥0，（y-1）2≥0，

∴x＋y＝1或2或3.

三、變用

根據解題需要，公式可以進行等價變形或重新組合.如：

a2＋b2＝（a±b）2?2 a b；（a±b）2＝（a?b）2±4ab；（a＋b）2-（a-b）2＝4a b；（a＋b）2＋（a-b）2＝2（a2＋b2）；a2＋b2＋c2＝（a＋b＋c）2-2（a b＋bc＋ca）；

應用上述變形式解決相關問題，不僅更簡捷、更靈活，而且能夠更深刻地感悟到數學的奇趣和妙用.

例8（1）設a＋b＝5，a b＝3.求（a-b）2的值；

（2）若x2-13 x＋1＝0，則的個位數字是（）.

A.1 B.3 C.5 D.7

分析：對于本題若想直接求出a、b、x的值代入，則需要解二次方程，但目前同學們還沒學到這一知識，故此路不通.其實，若用上述變形式求解則簡便快捷.

解：（1）原式＝（a＋b）2-4 ab＝52-4×3＝13.

（2）由x2-13 x＋1＝0，知x≠0，則兩邊都除以x，可得

應選D.

例9計算6（7＋1）（72＋1）（74＋1）（78＋1）＋1.

分析：若按部就班計算，顯然將異常繁雜.可又不能直接利用乘法公式計算，為此可對求式進行恰當的變形，使之符合乘法公式的結構特征.

解：原式＝（7-1）（7＋1）（72＋1）（74＋1）（78＋1）＋1

＝（72-1）（72＋1）（74＋1）（78＋1）＋1＝（74-1）（74＋1）（78＋1）＋1

＝（78-1）（78＋1）＋1＝716-1＋1＝716.

例10已知a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝4，則a4＋b4＋c4的值為（）.

A.6 B.8 C.20 D.34

解析：∵a＋b＝-c，a2＋b2＝4-c2，

∴a4＋b4＋c4＝（a2＋b2）2-2 a2b2＋c4＝（4-c2）2-2（c2-2）2＋c4＝8，

故應選B.

四、活用

有些數學問題需要靈活運用乘法公式才能順利獲解.

例11設a、b、c、d都是整數，并且m＝a2＋b2，n＝c2＋d2，m·n可以表示成兩個整數的平方和，其形式是___________.

分析：求解此題需用公式（x＋y）2＝x2＋2 xy＋y2和（x-y）2＝x2-2 xy＋y2，每個公式均有兩種用法：從左到右將（x±y）2展開，或從右到左將一個合乎標準的二次三項式變為完全平方式，后一種方法很重要，在右邊的式子不合標準（例如只有兩項）時，常常增配一項，使它合乎標準，成為完全平方式，這種方法就是配方法.求解本題宜采用配方法.

解：∵m·n＝（a2＋b2）（c2＋d2）＝（a2c2＋2 a bcd＋b2d2）＋（a2d2-2 a bcd＋b2c2）＝（a c＋bd）2＋（a d-bc）2.

例12若x＋y＝a＋b，且x2＋y2＝a2＋b2，求證：x2017＋y2017＝a2017＋b2017.

分析：從完全平方公式入手，根據已知條件尋找解題的突破口，找出x、y與a、b之間的關系.

①2-②，得2 xy＝2 a b，③

②-③，得（x-y）2＝（a-b）2，即|x-y|＝|a-b|，

∴x-y＝a-b或x-y＝b-a，

∴x2017＋y2017＝a2017＋b2017.

五、綜合運用

將乘法公式與其他知識結合起來運用，可使有關問題迎刃而解.

例13（1）一個正方形的邊長減少3cm，它的面積就減少33cm2，求這個正方形的邊長.

（2）請證明x（x＋1）（x＋2）（x＋3）＋1是一個完全平方式.

分析：（1）由面積關系建立方程，結合乘法公式求解；（2）根據所給式子的結構信息，略作變形即可說明.

解：（1）設此正方形的邊長為x，則據題意得（x-3）2＝x2-33，即x2-6 x＋9＝x2-33.解得x＝7，即這個正方形的邊長為7cm.

（2）∵原式＝x（x＋3）（x＋1）（x＋2）＋1＝（x2＋3 x）（x2＋3 x＋2）＋1

＝（x2＋3 x）2＋2（x2＋3 x）＋1＝（x2＋3 x＋1）2

∴x（x＋1）（x＋2）（x＋3）＋1是一個完全平方式.