因式分解中的整體思想

□左加亭

因式分解中的整體思想

□左加亭

整體思想是重要的數學思想之一，在因式分解中，從整體思想出發，不僅能使問題的解決化繁為簡，而且對提高解題能力是大有裨益的.現將幾種常見的整體處理方法介紹如下：

一、整體提取公因式

例1分解因式（2-3 x）2＋3 x-2.

分析：因為（2-3 x）2＝（3 x-2）2，把（3 x-2）作為整體，后兩項3 x-2添上帶正號的括號，得＋（3 x-2），從而可以發現整體公因式（3 x-2）.

解：原式＝（3 x-2）2＋（3 x-2）

＝（3 x-2）（3 x-2-2）

＝（3 x-2）（3 x-4）.

點評：如果沒有整體意識，本題的解法則需要先計算，這將破壞現成的公因式（3x-2）而使接下去的分解有小小的難度.

二、整體運用公式法

例2分解因式（2 x-3）2＋4（3-2 x）＋4.

分析：把（2 x-3）作為整體，多項式變形為（2 x-3）2-4（2 x-3）＋4可以發現能用完全平方公式分解.

解：原式＝（2 x-3）2-4（2 x-3）＋4

＝[（2 x-3）-2]2

＝（2 x-5）2.

點評：初步分解后，要對因式進行同類項的合并處理.

三、整體變形用公式

例3分解因式（x2-2 x-1）（x2-2 x＋1）-3.

分析：把x2-2 x作為整體，原式變形為（x2-2 x）2-4，至此可以發現能用平方差公式分解.

解：原式＝[（x2-2 x）-1][（x2-2x）＋1]-3

＝（x2-2 x）2-1-3

＝（x2-2 x）2-4

＝（x2-2 x＋2）（x2-2 x-2）.

點評：如果不是把x2-2 x作為整體，而是先計算，則分解將難以進行下去.

四、構造整體再分解

例4分解因式（x＋1）（x＋2）（x＋3）（x＋4）＋1.

分析：把第一個因式（x＋1）與第四個（x＋4）相乘，第二個（x＋2）與第三個（x＋3）相乘，所得的積將出現相同的二次項和一次項，即都含有x2＋5 x，再把x2＋5 x作為整體進一步變形.

解：原式＝[（x＋1）（x＋4）] [（x＋2）（x＋3）]＋1

＝[（x2＋5x）＋4][（x2＋5 x）＋6]＋1

＝（x2＋5 x）2＋10（x2＋5 x）＋25

＝（x2＋5 x＋5）2.

點評：根據題目特征構造整體，是對整體思想的進一步理解與運用，是一種較高層次的思維活動.