光纖陀螺隨機誤差特性ThêoH辨識

徐東升，陸　明，賈長治，康海英（1.解放軍理工大學野戰工程學院，南京10007；.軍械工程學院火炮工程系，石家莊050003）

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光纖陀螺隨機誤差特性ThêoH辨識

徐東升1，2，陸明1*，賈長治2，康海英2
（1.解放軍理工大學野戰工程學院，南京210007；2.軍械工程學院火炮工程系，石家莊050003）

摘要：隨機誤差特性分析是光纖陀螺進入工程應用階段的關鍵技術。針對Allan方差、總方差、Thêo1 （Theoretical variance #1）等分析方法的不足，以Thêo1為基礎，通過偏差消除獲得ThêoBR（Bias-removed ver?sion of Thêo1），并將其與Allan方差合成，得到光纖陀螺隨機誤差特性分析的ThêoH（Hybrid-ThêoBR）法。通過計算重疊Allan方差、總方差、Thêo1以及ThêoH的等效自由度，結合仿真和實測信號的隨機誤差特性分析實驗，證明ThêoH法不僅提高了Allan方差估計的置信度，且解決了Thêo1估計有偏的問題，表明了該方法是目前能夠有效辨識光纖陀螺隨機誤差特性的最佳方法。

關鍵詞：光纖陀螺；隨機誤差；ThêoH；無偏估計

光纖陀螺具有體積小、功耗低、無機械運動部件等優點，在導航控制等多領域具有廣泛的應用前景，因此受到世界各國的高度重視。目前，中低精度的光纖陀螺已經獲得了廣泛應用，而高精度光纖陀螺的推廣還存在一些關鍵技術亟待突破，其中最突出的問題是存在很多難以解決的確定性誤差和隨機誤差。為了減小光纖陀螺的誤差提高精度，需要建立系統誤差模型補償確定性誤差，并對光纖陀螺隨機特性進行評價，辨識出影響其精度的主要隨機誤差項，進而采取適當措施控制其噪聲水平［1］。

根據IEEE標準關于光纖陀螺隨機誤差的定義，光纖陀螺隨機誤差主要包括量化噪聲、角度隨機游走、零偏不穩定性、速率隨機游走以及速率斜坡等能量譜密度相互獨立的5類噪聲項，其經典的辨識方法包括自回歸滑動模型（ARMA）、功率譜密度法以及Allan方差法［2］。其中，ARMA在噪聲較大時模型精度會受到一定的影響；功率譜密度法分析時，不同噪聲項的功率譜密度對數曲線可能相似度較高，從而難以區分［3］；而Allan方差法是在時域分析頻域穩定性的方法，應用于光纖陀螺隨機誤差辨識效果較好且實用性很強，因此被IEEE推薦為進行光纖陀螺隨機誤差特性辨識的方法。Allan方差法也存在一定的不足，其主要問題是：當平滑因子較大時，該方法辨識結果置信度較差。一般要求在進行Allan方差計算時，其平滑時間應小于總采樣時間的20%。當采樣數據時間較短時，不宜采用Allan方差進行辨識。為此，在Allan方差的基礎上發展了總方差以及Thêo1等辨識方法。總方差和Thêo1法大幅提高了估計值的置信度，但總方差法映射延伸采樣數據的同時也造成了數據的不連續性，致使其估計是有偏的，且延伸的數據是人為給定的，有時不能真實反映被測系統的特性，因此存在不可避免的缺陷；而Thêo1將平滑時間乘以3/4進行采樣，其估計也是有偏的［4-5］。針對這一情況，本文引入ThêoBR消除Thêo1與Allan方差之間的偏差，并將其與Allan方差合成得到ThêoH，利用該方法分析光纖陀螺隨機誤差特性既能保持較高的估計值置信度，且為無偏估計，因此將具有良好的辨識效果。

1　Allan方差、總方差及Thêo1

1.1Allan方差

假設某一光纖陀螺輸出的角速率采樣信號數據序列為{yi，i=1，2，…，N}，采樣間隔時間為t0，將該數據序列劃分為k組，每組m個采樣點，即m=N/k，定義

則Allan方差為［6］：

Allan方差與光纖陀螺隨機誤差的功率譜密度Sy（f）之間的存在確定的轉換關系［7］

因此，Allan方差估計是無偏的，在進行光纖陀螺隨機特性分析時，通過計算其Allan方差，繪制Allan方差和相關時間（σ（t）~t）的雙對數曲線圖，從而辨識出光纖陀螺的不同隨機誤差項，進一步對雙對數該曲線進行擬合，可以求取各誤差項的系數。Allan方差的估計值可以看作是一組決定于劃分組數k的隨機變量，因此隨著相關時間τ增大，劃分的組數減少，Allan方差估計值的置信度降低，其1σ的百分比誤差E可以表述為

式中，N為數據長度，m為劃分的數據組數。

為了減小Allan方差估計的誤差，一般在進行Allan方差分析時，采用重疊采樣進行估計，重疊采樣Allan方差定義為［7-8］：

式中，N、m等參數代表的物理意義與式（1）和式（2）中相同。

重疊采樣Allan方差通過最大限度形成所有平滑時間為mt0的子序列，充分利用已有采樣數據進行分析，提高了估計值的置信度，因此在進行Allan方差分析時，一般采用重疊Allan方差進行估計。

1.2總方差

對應Allan方差中對原始數據序列的假設，按如下方式進行擴展，產生延伸序列{y#i，i=1，2，…，N}，其中

對于延伸后的序列，總方差定義為［9］：

對比Allan方差和總方差可以看出，通過映射將原始數據長度由N延伸到3N-2，總方差估計的最大平滑因子可以達到N，相對于Allan方差估計的N/2擴展了一半的數據長度，因此在長相關時間下能夠提高估計值的置信度。但是，數據延伸擴展的同時也造成其本身的不連續性，致使總方差估計值相對于Allan方差是有偏的，該偏差計算表達式為［10-11］

式中，t表示平滑時間，T為總采樣時間，a為偏差因子，其取值與噪聲類型有關。當噪聲類型為零偏不穩定性、速率隨機游走以及速率斜坡時，a=0；當噪聲類型為量化噪聲時，a=0.75；當噪聲類型為角度隨機游走時，a=0.48。因此，對于量化噪聲和角度隨機游走，總方差相對于Allan方差是有偏估計，其偏差隨著平滑時間的增大而增大。當平滑時間t=T/2，量化噪聲估計的偏差將達到37.5%，角度隨機游走估計的偏差將達到24%。另外，總方差法中兩端的延伸數據是人為設定的，這些數據有時并不能如實體現被測系統的真實性能，因此總方差法具有不可避免的缺陷。

1.3Thêo1方差

Thêo1是由美國國家標準局（NIST）提出的一種新的描述頻率穩定性的方差分析方法，其計算表達式為［12-13］：

式中，{xi，i=1，2，…，N}表示時偏采樣數據長度，t0為數據采樣時間間隔，Nt0為總測量時間長度，m= 10，…，N-1且m為偶數。

Thêo1方差的主要特點是采用了新的采樣數據方法，其計算的相關時間的步幅ts=0.75mt0，而m最大可取到N-1，二次采樣的相關時間可以達到0.75 （N-1）t0，即可以達到總測量時間的75%，而Allan方差二次采樣的最大相關時間為Nt0/2，只能達到總測量時間的一半。因此，Thêo1方差在長相關時間測試中具有很大的優勢，是目前所有估計長期頻率穩定性的方差算子中置信度最高的一種［1］。

雖然Thêo1相對于Allan方差估計值置信度有很大的提高，但是Thêo1方差相對于Allan方差估計是有偏的，對于光纖陀螺的5項主要噪聲，其偏差可以由表1近似表示［5］。

表1　Thêo1相對Allan方差的偏差

2　ThêoH

采用表1中的系數消除Thêo1相對Allan方差的偏差具有計算簡便的優勢，但是利用該經驗公式計算必須首先假設噪聲類型已知，且當平滑因子m>N/2（N為采樣數據點數）時，Allan方差不存在，此時其相對偏差無法估計。為此，本文引入ThêoBR去除Thêo1的相對偏差，其計算表達式為［14］：

式中，Avar（）表示重疊Allan方差，Thêo1（）表示Thêo1方差，n=‖0.1N/3-3‖，‖‖表示數值向下取整。

ThêoBR去除了Thêo1方差與Allan方差之間的偏差，可以表述為Allan方差在最大可能平滑因子上的無偏估計。因此，對Allan方差和ThêoBR進行合成，可以得到一種新的方差，稱為ThêoH，其計算表達式為［15-16］：

其中k表示τ<0.1Nt0時的最大值。

ThêoH是在Thêo1的基礎上去除偏差并與Allan方差進行合成的結果，其最大平滑因子可以達到0.75N，相對Allan方差估計有很大提高。ThêoH利用ThêoBR去除偏差，而且能夠適應多種噪聲混合時頻率穩定性的估計，因此在光纖陀螺隨機誤差特性辨識，尤其是在大平滑因子條件下具有很大的優勢。

3　估計置信度對比分析

利用Allan方差、總方差、Thêo1以及ThêoH辨識光纖陀螺的隨機誤差特性，其估計值可以視為一組隨機變量，因此在計算時應當給出相應的估計置信度，以判定該估計是否有效。估計值的置信度決定于方差類型、數據長度、平滑因子以及噪聲類型、置信因子等多個條件。對于Allan方差，估計置信度可以采用公式（4）進行計算；對于重疊Allan方差、總方差、Thêo1以及ThêoH，最常用的方法是按照指定的置信因子基于χ2統計量進行計算。

根據基于χ2統計量計算置信區間的方法，定義采樣方差分布函數為：

式中，edf為等效自由度，其大小由方差類型以及數據長度、噪聲類型等確定，S2為采樣方差，σ2為真實方差，通常以多組采樣方差的平均值代替。根據公式（12），當指定置信因子p后，可以確定各方差估計置信度決定于等效自由度，等效自由度越大，估計的置信度就越高。因此，比較重疊Allan方差、總方差以及Thêo1方差估計的置信度實質為比較各方差的等效自由度。等效自由度計算的表達式為：

式中，Var（S2）表示S2的方差。

實際計算中，等效自由度常常針對不同的噪聲類型采用經驗公式進行計算。對于功率譜密度相互獨立的5類噪聲，其重疊Allan方差等效自由度計算公式分別為［17］：

式中，N為采樣數據點個數，m為平滑因子。

總方差等效自由度可以依據重疊Allan方差以及經驗公式計算。當噪聲為速率隨機游走噪聲和速率斜坡時，總方差的等效自由度比重疊Allan方差等效自由度多兩個；當噪聲為量化噪聲、角度隨機游走和零偏不穩性時，總方差等效自由度的計算依據以下經驗公式［18-19］：

b和c的取值如表2所示。

表2　不同噪聲類型下b和c的取值

應當注意的是上述公式是基于函數連續推導的，在進行計算時，對于零偏不穩定性要求t滿足τ≥8τ0，對于角度隨機游走噪聲要求t滿足t≥3τ0。

利用Thêo1方差進行估計，5類噪聲項等效自由度計算公式為［20］：

式中，N為采樣點數據個數，τts為采樣時間，且ts= 0.75mt0，t0≤T/10。

與Thêo1方差相比較，ThêoH估計的等效自由度為［21］：

式中，N為采樣數據點數，m為平滑因子。

圖1~圖5繪制了5類噪聲項的重疊Allan方差、總方差、Thêo1以及ThêoH的等效自由度。圖中采樣數據點數N設定為1000，采樣時間間隔t0設定為0.01 s。

圖1~圖5表明，對于5類功率譜密度相互獨立的噪聲項，總方差、Thêo1以及ThêoH的等效自由度均大于重疊Allan方差；而隨著平滑因子的增大，Thêo1的等效自由度相對于總方差及ThêoH都有明顯的優勢；另外，對于量化噪聲、角度隨機游走以及零偏不穩定性，總方差的等效自由度大于ThêoH方差，對于速率隨機游走和速率斜坡，ThêoH的等效自由度大于總方差。因此，對于上述4種方差估計，總方差、Thêo1以及ThêoH相對于重疊Allan方差具有更高的估計置信度，其中Thêo1估計的置信度最高，總方差和Thêo1方差則針對不同的噪聲類型，在估計置信度上各有優勢。

圖1　量化噪聲等效自由度

圖2　角度隨機游走等效自由度

圖3　零偏不穩定性等效自由度

圖4　速率隨機游走等效自由度

圖5　速率斜坡等效自由度

4　實驗及結果討論

在Allan方差、總方差以及Thêo1、ThêoH的估計值與平滑時間構成的雙對數圖中，對應的曲線斜率表征了光纖陀螺的不同噪聲類型及其參數。以下本文將設計仿真實驗和實測信號噪聲特性分析實驗，驗證Allan方差、總方差以及Thêo1、ThêoH能夠實現光纖陀螺噪聲特性的辨識，并進一步對比各方差在光纖陀螺噪聲特性分析中的優越性。

4.1仿真實驗

光纖陀螺5類噪聲項中的角度隨機游走主要來源于光源的光子噪聲、相對強度噪聲以及探測器的散粒噪聲、熱噪聲等，這類噪聲主要為白噪聲［19］；而對白噪聲進行數值積分，則可以表征光纖陀螺的速率隨機游走。如圖6和圖7所示，分別用采樣點數N=1000、采樣時間t=0.01s、均值為0、方差為1的白噪聲及其數值積分表征角度隨機游走和速率隨機游走。

圖6　角度隨機游走

圖7　速率隨機游走

對白噪聲及其積分表征的角速度隨機游走及速率隨機游走，分別計算其Allan方差、總方差以及Thêo1、ThêoH，結果如圖8和圖9所示。

圖8反映出對于角度隨機游走，Allan方差、總方差以及Thêo1、ThêoH能夠實現隨機誤差特性辨識，但是當相關時間較長時，Allan方差估計由于置信度較低會出現一定的波動，而總方差、Thêo1以及ThêoH估計值對數曲線相對平滑，證明其置信度較高；圖9針對速率隨機游走進一步印證了圖8中的結論，并反映出相對于Allan方差估計，Thêo1對速率隨機游走的估計是有偏的。

圖8　角度隨機游走仿真分析結果

圖9　速率隨機游走仿真分析結果

4.2實測信號隨機誤差特性分析實驗

仿真實驗證明總方差以及Thêo1、ThêoH相對Allan方差估計的置信度有很大的提高，且Thêo1估計是有偏的，但是，對于前述總方差估計的有偏性并未得到體現。為此，本文將通過分析光纖陀螺實測信號的隨機誤差特性對比各方差估計的優劣。

如圖10所示是某型光纖陀螺實測信號，總測試時間為3000s，采樣間隔為0.3 s，對該實測信號進行Allan方差、總方差、Thêo1以及ThêoH計算，其結果如圖11所示。

圖11的計算結果表明，利用總方差、Thêo1和ThêoH辨識該型光纖陀螺的隨機誤差特性，其估計值置信度相對Allan方差有較大的提高，但是總方差和Thêo1估計是有偏的，且相關時間較短時Thêo1估計偏差大于總方差偏差，相關時間較長時總方差估計偏差大于Thêo1偏差，而ThêoH估計則是無偏的，因此ThêoH更適用于光纖陀螺隨機誤差特性的辨識。

圖10　某型光纖陀螺實測信號

圖11　實測信號誤差特性各方差分析結果

依據辨識結果，利用最小二乘法擬合ThêoH曲線，得到的光纖陀螺各項噪聲系數，如表3所示。表3中各噪聲類型及其噪聲系數表明速率斜坡、角度隨機游走以及量化噪聲為該組實測信號的主要噪聲項，而根據前述分析，采用Thêo1估計速率斜坡及量化噪聲將引起的較大偏差，采用總方差估計角度隨機游走及量化噪聲將引起隨相關時間增長而增大的偏差，這就進一步驗證了實測信號隨機誤差特性辨識結果與前述理論分析是吻合的。

表3　光纖陀螺各項噪聲ThêoH辨識結果

5　結論

隨機誤差特性分析是光纖陀螺進入工程應用階段的關鍵技術。本文介紹了光纖陀螺隨機誤差特性辨識的Allan方差、總方差和Thêo1方法，并針對其不足，提出采用ThêoH分析光纖陀螺的隨機誤差特性。通過對比重疊Allan方差、總方差、Thêo1以及ThêoH的估計置信度，并結合仿真和實測信號隨機特性分析實驗，證明ThêoH作為一種具有較高估計置信度的無偏估計方差，有效解決了Allan方差、總方差以及Thêo1估計存在的問題，是目前能夠實現光纖陀螺隨機誤差特性辨識的最佳方法。

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徐東升（1988-），男，安徽黃山人，博士研究生，研究方向為武器系統運用工程，xds19881127@163.com；

陸明（1958-），男，江蘇南京人，博士生導師，研究方向為軍用精確爆破，305497576@qq.com.

Mobile Robot Target Recognition Based on Dynamic Template Matching*

PENG Yuqing*，LI Mu，GAO Qingqing，ZHANG Yuanyuan
（Department of Computer Science and Technology，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China）

Abstract：A target recognition strategy under unknown environments for mobile robot was presented with the combi?nation of vision salience and the target recognition method based on dynamic template matching. Specifically，a mo?bile robot vision system based on distributed control was designed for improving the efficiency of video processing. Secondly，the saliency measure based on background priors was used for image preprocessing and excluded the background regions which were less important. Finally，the recognition accuracy of the target was improved accord?ing to the dynamic template matching to images which had been processed. The experimental results show that the method can meet the requirements of real-time and veracity in the process of mobile robot’s target recognition，the method show good effectiveness.

Key words：mobile robot；target recognition；template matching；vision salience；distributed control

doi：EEACC：6135；722010.3969/j.issn.1004-1699.2016.01.011

收稿日期：2015-07-14修改日期：2015-10-21

中圖分類號：TN256

文獻標識碼：A

文章編號：1004-1699（2016）01-0051-07