電容式微加速度計的刻度溫漂的半解析模型*

何江波，謝　進*，何曉平，杜連明，周　吳（.西南交通大學機械工程學院，成都600；.中國工程物理研究院電子工程研究所，四川綿陽6900；.電子科技大學機械電子工程學院，成都67）

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電容式微加速度計的刻度溫漂的半解析模型*

何江波1，謝進1*，何曉平2，杜連明2，周吳3
（1.西南交通大學機械工程學院，成都610031；2.中國工程物理研究院電子工程研究所，四川綿陽621900；3.電子科技大學機械電子工程學院，成都611731）

摘要：針對電容式微加速度計的刻度溫漂，根據微加速度計的檢測原理及熱變形的分析結果，建立了刻度溫漂的半解析模型，并在此基礎上分析了刻度溫漂的主要影響因素。分析結果表明，刻度溫漂由兩部分組成，第一部分主要由單晶硅的彈性模量的溫度系數決定，可以通過高摻雜降低；第二部分由微加速度計的熱變形引起，它的大小與封裝膠的彈性模量、梳齒的寬度、大電容間隙與小電容間隙的比值以及固定梳齒錨點的位置相關；第一部分和第二部分分別是正數和負數，因此相互補償。基于MEMS體硅微加工工藝，制造了微加速度計的實驗樣品，刻度溫漂的測量結果驗證了理論分析結果的正確性。

關鍵詞：電容式微加速度計；刻度溫漂；半解析模型；彈性模量的溫度系數；封裝效應；MEMS

電容式微加速度計是一種基于微機電系統（MEMS）技術的加速度傳感器。電容式微加速度計的溫漂包括零位溫漂和刻度溫漂兩個參數，分別表征了零位和刻度的溫度敏感性。溫漂是影響測量精度的關鍵因素之一，特別是當電容式微加速度計應用于慣性導航系統時，溫漂引起的加速度測量誤差經過二次積分后會嚴重影響導航系統的定位精度［1］。

電容式微加速度計的溫漂研究工作涉及降低措施和理論研究兩方面。溫漂降低措施包括恒溫控制、溫度補償和隔離封裝熱應力等。李童杰［2］等提出的自恒溫控制方案將零位溫漂由2.1 mg/℃減小到0.2 mg/℃。鄭長勇［3］等提出的基于三維曲面擬合的溫度補償法將零位溫漂降低了一個數量級。Zwahlen P［4］等使用較軟的封裝膠粘接芯片，從而隔離了電容式微加速度計的封裝熱應力。Schr?der S［5］等利用金屬引線懸浮支撐電容式微加速度計的芯片，從而隔離了封裝熱應力。對于零位溫漂，目前已有相關的理論研究。代剛［6］等運用有限元方法研究了芯片和檢測電路的發熱引起的零位溫漂。Zhang X［7］等運用有限元方法研究了封裝引起的芯片翹曲及其對零位溫漂的影響。周銘［8］等基于縮減剛度矩陣的層合板模型研究了電容式微加速度計的檢測電容的溫度特性及其導致的零位溫漂。Dai G［9］等的多物理場有限元仿真結果表明，制造誤差以及硅與玻璃的熱膨脹系數失陪是引起零位溫漂的主要原因。對于刻度溫漂的理論研究，目前還未見公開報道，這不利于設計出刻度溫漂較低的電容式微加速度計。

本文根據電容式微加速度計的檢測原理及熱變形的分析結果，建立刻度溫漂的半解析模型，并分析影響刻度溫漂的主要因素。

1　檢測原理

本文研究的微加速度計如圖1所示，芯片的制造工藝主要包括高鵬擴散摻雜、體硅深反應離子刻蝕以及硅?玻璃陽極鍵合等，芯片通過環氧樹脂膠粘接于陶瓷管殼上以進行封裝。在芯片結構中，硅敏感結構的材料為高硼摻雜的單晶硅，襯底材料為Pyrex 7740玻璃。硅敏感結構的4根彈性折疊梁構成了微加速度計的彈簧，彈簧剛度可以根據折疊梁在敏感方向的彎曲變形進行計算。位于質量塊上的可動梳齒與位于錨點上的固定梳齒構成了微加速度計的檢測電容。微加速度計采用差分電容檢測原理，如圖2所示。慣性力使質量塊發生移動，從而改變CA與CB的電容間隙，然后固定梳齒上的交流信號感應CA與CB的差值的變化，進而在質量塊上產生測量信號，再經調制放大得到微加速度計的輸出電壓：

式中，Vout為輸出電壓，M為由電路參數決定的系數。

2　熱變形分析

在MEMS結構中，硅敏感結構的體積通常遠小于襯底的體積，硅敏感結構對襯底的熱變形幾乎沒有影響，這使得硅敏感結構可以被處理為單獨的模塊，而襯底上表面的熱變形是硅敏感結構模塊的輸入［10］。玻璃襯底粘接于陶瓷上，因此玻璃、環氧樹脂和陶瓷構成復合結構，本文稱為封裝模塊。微加速度計的熱變形分析過程為：首先分析封裝模塊的熱變形，然后提取襯底上表面的熱變形，并將其作為硅敏感結構模塊的輸入，最后分析硅敏感結構模塊的熱變形。

圖1　微加速度計的結構示意圖

圖2　微加速度計的檢測原理示意圖

2.1封裝模塊

封裝模塊是復合結構，其熱變形很難得到解析公式，本文采用有限元軟件Comsol Multiphysics［11］分析封裝模塊的熱變形。環氧樹脂的彈性模量會隨溫度升高而減小，特別是在玻璃化溫度附近，但是在玻璃化溫度之前，彈性模量受溫度的影響較小［12］。由于玻璃化會顯著降低環氧樹脂的彈性模量、熱膨脹系數、耐化學性、尺寸穩定性等屬性，因此環氧樹脂的最高工作溫度通常低于玻璃化溫度［13］。根據以上分析，在不大的溫度變化范圍之內，環氧樹脂的彈性模量可以近似處理為常數。許多研究文獻在分析MEMS器件的封裝熱應力時均采用了這種近似處理方法［8，14］，這可以簡化分析過程。同理，本文在分析微加速度計的熱變形時將環氧樹脂的彈性模量設定為常數，環氧樹脂以及其它材料的參數均取自室溫條件（20℃），材料的室溫彈性模量、泊松比和熱膨脹系數（CTE）列于表1中。封裝模塊的有限元模型如圖3所示，有限元模型采用了對稱模型以降低模型自由度，模型的溫度變化量為-40℃。

表1　室溫條件下的材料參數

圖3　封裝模塊的有限元模型

由有限元分析得到的襯底上表面的敏感方向位移如圖4所示。

圖4　玻璃上表面的敏感方向位移

從圖4可以看到，敏感方向位移基本不隨縱坐標變化，換言之，可以利用襯底上表面上的任意一條平行于敏感方向的直線來表征整個平面的敏感方向位移。對于如圖3所示的對稱線，其敏感方向位移如圖5所示。

圖5　對稱線上的敏感方向位移

從圖5可以看到，位移具有非常好的線性性質，尤其是在區間［-1 000 μm，1 000 μm］內。為了方便后文分析，對位移曲線進行線性擬合可以得到：

式中，αeq稱為玻璃上表面的等效熱膨脹系數，通過計算其值約為4.3×10-6/℃。由于陶瓷的熱膨脹系數大于玻璃的熱膨脹系數，即陶瓷會加劇玻璃的熱變形，因此αeq肯定會大于玻璃的熱膨脹系數。

2.2硅敏感結構模塊

本節通過分析硅敏感結構的熱變形計算電容間隙的變化量。固定梳齒與錨點直接相連，因此固定梳齒的位移由錨點的熱變形決定，而錨點鍵合在襯底上，其體積遠小于襯底，因此錨點的熱變形由襯底上表面的熱變形決定。可動梳齒的位移由質量塊的熱變形決定，而質量塊的熱變形由單晶硅的熱膨脹系數決定，因為非常柔軟的折疊梁隔離了錨點對質量塊熱變形的影響。根據梳齒的幾何位置，梳齒的位移可以表示為：

式中，lm_i、lm_i+1和lf_i代表梳齒到結構中心線的距離，如圖6所示，下標A和B分別代表電容CA和CB，m 和f分別代表可動梳齒和固定梳齒，i和i+1代表梳齒的編號。根據梳齒的位移，電容間隙的變化量以及平均變化量可以表示為：

式中，αs為單晶硅的熱膨脹系數，d和D為溫度變化之前的小電容間隙和大電容間隙，Lf為固定梳齒錨點在敏感方向的長度的一半，lf為固定梳齒錨點到結構中心線的距離，N為單個梳齒結構中的梳齒對數。

圖6　梳齒位移的分析示意圖

3　刻度溫漂模型及分析

3.1刻度溫漂模型

溫度變化之后，并且慣性力產生的質量塊位移為x，如圖2所示，則CA與CB的溫度變化之后的電容間隙分別為（d+ΔdAi+x）、（D+ΔDAi-x）、（d+ΔdBi-x）和（D+ΔDBi+x）。根據電容間隙，溫度變化之后的CA與CB可以分別表示為：

式中，yAi=ΔdAi-Δd+x，yBi=ΔdBi-Δd-x，zAi=ΔDAi-ΔD-x，zBi=ΔDBi-ΔD+x，Ω為一對梳齒的重疊面積，εa為空氣的介電常數。將式（6）代入式（1）中，則Vout成為yAi，yBi，zAi和zBi的多元函數，根據多元函數的泰勒展開定理，Vout可以表示為：

式中，γ=（N-1）/N。由于N通常遠大于1，因此γ近似等于1。溫度變化之后，質量塊位移x可以由慣性力-ma和彈簧剛度計算得到：

式中，K為溫度變化之前的彈簧剛度，αK彈簧剛度的溫度系數。將式（8）代入式（7）中，并將γ近似等于1可以得到：

由于刻度表示了單位輸入引起的輸出變化，因此由式（9）可以得到溫度變化之后的刻度：

根據式（10），刻度溫漂可以表示為：

式中，η等于D/d。

3.2刻度溫漂分析

由式（11）可知，刻度溫漂由兩部分組成，分別由彈簧剛度的溫度系數和微加速度計的熱變形引起。根據硅微諧振器的研究結果，剛度的溫度系數等于單晶硅的彈性模量的溫度系數加上單晶硅的熱膨脹系數（2.6×10-6/℃），低摻雜硅的彈性模量的溫度系數為-63×10-6/℃，因此低摻雜硅的剛度的溫度系數約為-60.4×10-6/℃［15］。高摻雜可以降低單晶硅的彈性模量的溫度系數的絕對值，例如當硼的摻雜濃度達到1020cm-3時，單晶硅的彈性模量的溫度系數降低到約-20×10-6/℃［16］。對于摻雜濃度與彈性模量的溫度系數之間的關系，較完整的測量數據還未見公開報道。對于本文研究的微加速度計，由于高硼擴散摻雜是其敏感結構的制造工藝之一，硼離子濃度隨著結構高度變化，因此彈性模量的溫度系數同樣會隨結構高度變化，這使得微加速度計剛度的溫度系數的準確值較難計算，剛度的溫度系數是大于-60.4×10-6/℃的負數。由于刻度溫漂的第一部分等于剛度溫度系數的相反數，因此刻度溫的漂第一部分是小于60.4×10-6/℃的正數。

相關的研究表明，減小封裝膠的彈性模量可以減小MEMS器件的熱變形［4，14］。對于本文研究的微加速度計，封裝膠的彈性模量通過αeq影響器件的熱變形，進而影響刻度溫漂。刻度溫漂的第二部分隨封裝膠彈性模量的變化趨勢如圖7所示，當彈性模量從4.5 GPa減小到0.1 GPa時，刻度溫漂第二部分的絕對值從228×10-6/℃減小到80×10-6/℃，說明減小封裝膠的彈性模量可以降低刻度溫漂的第二部分。

圖7　SFTD2隨膠彈性模量的變化

根據圖8，固定梳齒錨點的半長Lf可以表示為：

式中，t為梳齒寬度。將式（12）代入式（11），刻度溫漂的第2部分可以表示為：

由式（13）可以得出，刻度溫漂第二部分SFTD2是t和lf的線性函數，減小t和lf可以降低SFTD2。SFTD2是η的非線性函數，當η趨近于1以及∞時，SFTD2都將趨近于-∞，因此SFTD2將在某一特定η值達到極值。SFTD2隨η的變化曲線如圖9所示，當η等于3.9時，SFTD2達到極值?194.6×10-6/℃。在SFTD2-η函數曲線的極值點右側，SFTD2隨η的變化比較平緩。由于微加速度計的線性度會隨著η的增大而顯著增大［17］，因此綜合考慮刻度溫漂和線性度，η的設計值應取在SFTD2-η函數曲線的極值點右側。

圖8　梳齒結構示意圖

圖9　SFTD2隨η的變化

4　實驗驗證

4.1實驗方法

微加速度計的制造工藝包括高鵬擴散摻雜、體硅深反應離子刻蝕以及硅-玻璃陽極鍵合等，微加速度計的電子掃描顯微鏡圖（SEM圖）如圖10所示。

為了測量微加速度計的刻度溫漂，將微加速度計及其測量電路安放于可以精確控溫的溫箱內，從而測量不同溫度下的刻度。通過在敏感方向±1 gn翻轉微加速度計可以測量得到刻度，若微加速度計在+1 gn和-1 gn狀態時的輸出分別為Vout（+1）和Vout（-1），則刻度可以表示為：

假設微加速度計的工作溫度從T1變化到T2，則刻度溫漂的計算式為：

式中，乘以系數106的目的是將刻度溫漂的單位轉化為10-6/℃。

4.2實驗結果與分析

本文首先測量5個微加速度計的刻度溫漂的溫度曲線，測量點包括5℃、20℃、35℃、50℃、65℃、與80℃，溫度曲線的測量結果如圖11所示。從圖中可以看出，所有溫度曲線都是單調遞減的，即刻度溫漂為負數，與第3節的分析結果是吻合的。根據溫度曲線的單調特性，刻度溫漂可以由兩個定點溫度的刻度測量結果計算得到，本文實驗的固定溫度點分別為5℃與55℃，這樣的測量方法可以提高實驗效率，利于得到更多的實驗數據。

圖11　刻度溫漂曲線的測量結果

圖12　刻度溫漂的測量結果

圖12列出了由5℃與55℃的刻度值計算得到的15個微加速度計的刻度溫漂數據，數據隨機分布于區間［148.2×10-6/℃，181.3×10-6/℃］內，實驗數據的隨機性可能是由兩方面原因造成的，一是測量誤差，二是制造誤差的隨機特性導致的微加速度計的實驗樣品的電容間隙不相同［9］。刻度溫漂的測量結果的平均值約為-166.8×10- 6/℃，小于-139.6×10-6/℃，與第3節的研究結論是吻合的。由刻度溫漂的實驗測量結果以及刻度溫漂第二部分的計算結果可知，刻度溫漂第一部分約為33.2×10-6/℃，換言之，高硼摻雜使單晶硅的彈性模量的溫度系數由-63×10-6/℃變為-35×10-6/℃。

5　結論

本文建立了電容式微加速度計的刻度溫漂的半解析模型，并分析了影響刻度溫漂的主要因素。刻度溫漂由兩部分組成，并且相互補償。第一部分主要由單晶硅彈性模量的溫度系數決定，并且受到摻雜程度的影響。第二部分由微加速度計的熱變形引起，大小受到封裝膠的彈性模量、梳齒的寬度、電容大小間隙的比值和固定梳齒錨點的位置的影響。

本文未來的工作是對微加速度計的結構進行優化從而降低刻度溫漂，特別是利用刻度溫漂的第一部分和第二部分相互補償的特性。

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何江波（1987-），男，博士研究生，2011年獲得西南交通大學碩士學位，2011年起攻讀西南交通大學博士學位，主要從事于MEMS慣性器件的結構設計、穩定性及可靠性方面的研究，chuihaol @aliyun.com；

謝進（1959-），男，教授，博士生導師，1982年畢業于西南交通大學機械工程系，主要從事于機構學、機器人及設計自動化，機構混沌邊緣、混沌控制及反控制方面的研究，xj_6302@263.net。

ThêoH Analysis of Random Error Properties for FOG

XU Dongsheng1，2，LU Ming1*，JIA Changzhi2，Kang Haiying2
（1.College of Field Engineering，PLA University of Sci & Tech，Nangjing 210007，China；2.Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China）

Abstract：Analysis of random error properties was the key of engineering development for fiber optic gyroscope （FOG）. Aimed at disadvantages of Allan variance，total variance and Thêo1，ThêoBR was given based on Thêo1 by correcting the bias between Thêo1 and Allan variance. The ThêoH was obtained by integrating Allan variance with ThêoBR. The equivalent degrees of freedom of Allan variance，total variance，Thêo1 and ThêoH were calculated and random error properties of simulation experiment and test signal were analyzed. ThêoH could solve problems of low?er confidence coefficient of Allan variance and bias of Thêo1，which was the best method to analyze random error properties for fiber optic gyroscope at present.

Key words：fiber optic gyroscope；random error；ThêoH variance；unbiased estimation

doi：EEACC：7230E；763010.3969/j.issn.1004-1699.2016.01.010

收稿日期：2015-07-29修改日期：20156-10-22

中圖分類號：TH824.4

文獻標識碼：A

文章編號：1004-1699（2016）01-0045-06

項目來源：國家自然科學基金項目(51175437)