開展數學活動 內化活動經驗 培育數學思維

周雪珍

《義務教育數學課程標準》（2011年版）特別強調：“數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志。幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果。”張奠宙教授認為：基本數學活動經驗是指在教學目標的指引下，通過對具體事物進行實際操作、觀察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識。我們的數學活動特別是數學教學，應幫助學生積累數學活動經驗，再通過反思、應用、拓展延伸等途徑加以提升，形成“做活動—用經驗—悟思想—育思維”的教學模式。引導學生積極主動地參與數學活動，不斷內化，積累發現問題、探究問題、解決問題的經驗，從而培育學生的思維能力，最終形成數學素養。

一、做一做操作練習，豐富數學活動經驗

心理學研究表明：兒童的思維是從活動開始的。學生在動手操作的過程中，可以獲得來自感官、知覺的直接感受、體驗等經驗，實現操作、思維、語言的有機結合，使獲得的活動經驗更加豐富、深刻，從而豐富行為操作和數學思考的經驗。

例如，在教學三年級下冊《認識面積》一課時，我是這樣設計的：（1）教師組織學生進行涂色比賽，一名學生上臺涂一片較小的樹葉，其他同學在自己的座位上涂一片較大的樹葉，最快涂完的獲勝，涂完后探討比賽規則是否公平。通過涂色比賽活動，學生產生認知沖突，在探討比賽規則是否公平的過程中，使學生對“面”的大小有切身感受，認識到這里所謂的大小，實際上是說樹葉的面有大有小，進而引出“面”的概念。活動中發展了學生對二維空間的認識，積累了認識面及面的大小的活動經驗，為認識面積做好準備。（2）摸一摸數學書封面和課桌的桌面，說一說哪一個面比較大？觀察教室中的黑板面和國旗的表面，說一說哪一個表面比較大？教師舉例說明：黑板面的大小就是黑板面的面積；國旗表面的大小就是國旗面的面積……（板書課題：認識面積）緊接著，請學生邊摸邊說身邊物體的面積。在這一過程中，教師遵循直觀性原則，讓學生通過摸一摸、比一比、邊摸邊說等活動，用豐富的實例增強學生對面積概念的直觀認識，幫助學生建立面積的概念，避免與周長概念相混淆。（3）摸摸字典的封面和側面，說一說哪一個面積比較小。觀察兩個圖形，說一說哪個圖形的面積大。摸摸橘子表面，說說什么是橘子表面的面積。通過為學生提供豐富的事例，使學生認識到不僅物體的上面、正面有面積，側面也有面積，曲面圖形、曲面也有面積，進一步完善學生對面積含義的理解；（4）將數學書按不同方式擺放，說一說封面面積的大小是否有變化。通過判斷不同方式擺放的數學書的封面面積，使學生認識到，同一個物體無論怎樣放，面積大小不變，以此發展學生的面積守恒定律。

以上動手操作的過程，不僅豐富了學生的感性認識，重要的是學生在操作中積累了數學思考的經驗，實現了行為操作經驗、思維經驗、方法性經驗與策略性經驗的有機融合，從而豐富了學生的數學活動經驗。

二、用一用生活經驗，喚醒數學活動經驗

豐富的生活經驗是形成數學活動經驗的基礎。生活中處處有數學，學生在成長過程中已經積累了不少生活經驗。在教學中，教師根據學生的年齡特點，激活學生已有的生活經驗，引領學生經歷將生活經驗轉化成數學活動經驗的過程。

例如，在教學二年級下冊《數學廣角——推理》時，教學例1前，設計一個“猜一猜”的游戲：老師兩只手上分別拿著一顆奶糖和一顆巧克力，猜一猜，兩只手上分別拿的是什么，這時學生亂猜。緊接著，教師告訴學生，左手拿的不是奶糖，現在會猜了嗎？怎么猜的？學生一下子猜出左手拿的是巧克力，還把道理講得很明白，教師伸出手驗證學生猜得正確。在此基礎上，揭示課題《數學廣角——推理》。在日常生活中，學生已經積累了一些進行推理的生活經驗，只是沒有意識到這是推理的內容。通過“猜一猜”的游戲活動，能喚起學生已有的生活經驗，激發學生濃厚的興趣，在此基礎上進一步學習推理，學生的思考過程變得清晰而有條理。

又如，學習《平行與垂直》時，學生通過畫一畫、分一分、說一說，理解“平行”和“垂直”的概念后，如果讓學生硬背概念，就不能進一步體驗兩條直線的位置關系。這時，教師激活學生的生活經驗，讓學生描述生活中見到的“平行”和“垂直”，學生就能踴躍發言，有的說：“馬路上的斑馬線是互相平行的。”有的說：“操場上架著的兩根電線是互相平行的。”有的說：“桌面上的長邊和寬邊是互相垂直的。”有的說：“象棋盤上的格子線既有互相平行的，又有互相垂直的。”……學生在生活中接觸“平行”和“垂直”的經驗，通過課堂上舉例，深化了對“平行”“垂直”的認識和理解，使學生感受到“平行”和“垂直”現象在生活中的廣泛應用，體會到數學與生活的密切聯系。通過經歷這樣的活動，學生的生活經驗進行了數學化處理，促進學生進行數學思考，恰當地將學生的生活經驗提煉成數學活動經驗，更加有利于學生數學活動經驗的形成。

三、悟一悟認知過程，感悟數學思想

教學中，教師努力從學生實際和已有經驗出發，創設能激發學生數學學習需要的情境，制造認知沖突，激活學生的已有活動經驗，從而引領學生經歷知識的形成過程，感悟數學思想。

例如，在教學二年級上冊“5的乘法口訣”時，教師創設情境，激活學生經驗。教師呈現了1盒學生喜愛的福娃；數一數，1盒有多少個？再呈現5盒福娃；數一數，現在一共有多少個？可以幾個幾個地數？學生：5個5個地數。這時，教師引領學生做以下五步：第一步，數一數。教師課件演示福娃圖，并結合圖出示5個、10個、15個、20個、25個，一共有25個福娃。這樣一五一十地數數，很有節律感，學生通過數一數，感受到所學內容的價值，為編制乘法口訣提供了實物模型。第二步，算一算。教師：請同學們根據剛才數數的過程，把2個5、3個5、4個5、5個5相加的得數分別填在下面的空格里，即5+5+5+5+5得出一共有25個。通過計算，有效地激活了學生已有的相同數連加的經驗，再請學生說說：連加過程中發現有什么規律？學生通過連加和進一步的觀察思考，為編制和理解乘法口訣打下了扎實的基礎。第三步，想一想。每盒福娃5個，那么3盒福娃共有多少個？除了用加法計算，還可以怎樣計算？得出乘法算式5×3和3×5后，教師追問：如何計算乘法算式的積？有的學生根據乘法意義擺點子圖找到答案，有的根據前面加法計算的結果找到答案。此后，學生按照這樣的探究方法，算出1盒、2盒、4盒、5盒福娃分別有多少個。教師繼續追問：同學們在計算乘積時，有的要看點子圖數一數，有的要反復看前面連加的結果，如果每次計算乘法算式的積都要這樣算，你會有什么感受？學生們認為每次都這樣算，不但速度慢，而且容易出錯。教師通過讓學生交流探索過程中的情感體驗，產生怎樣快速計算乘法得數的學習需求。教師設計這一環節的目的是，制造認知沖突，激發學生學習乘法口訣的需求。第四步，答一答。請學生快速搶答：3個5相加的和是多少？5個5相加的和是多少？4個5呢？使學生體會熟記幾個幾是多少可以迅速、準確地計算出乘法的得數，體會編乘法口訣的意義，也為編制5的乘法口訣架起了知識的橋梁。第五步，編一編。請學生用簡潔的語言把幾個5相加的得數記錄下來，進行討論、比較，逐步形成規范的“5的乘法口訣”。最后，教師引領學生在練習中用口訣，并體會“用口訣”計算乘積的便捷、準確，使學生自覺地熟記乘法口訣。

在上述教學活動中，教師利用學生喜歡的教學情境，根據學生已有的經驗，設計遞進式問題，不斷制造認知沖突，有效激活學生原有的認知基礎，把數學活動經驗轉化為數學思想方法，培養了學生思維的有序性和嚴謹性。學生親身經歷編制乘法口訣的過程，理解了每句乘法口訣的意義，掌握了編制的方法，為以后編制其他乘法口訣、進行抽象的數學思考打下了扎實的基礎。

四、整一整數學活動經驗，培育數學思維能力

學生經歷了一定的數學活動后，頭腦中會形成一定的數學活動經驗，但這些經驗往往是零散的、低層次的，要從“經歷”走向“經驗”，教師得促進學生將已有的經驗整一整，或改造，或重組，再獨立地解決一些數學問題，使低層次的經驗向高層次的經驗轉化，從而形成比較完整的經驗圖式。教學中，教師及時組織學生回顧、總結、反思、抽象、概括，知道自己運用了哪些基本的思想方法，有什么好的經驗，自我領悟，內化成自身的數學活動經驗，進一步培育學生的數學思維。

例如，教學三年級下冊“長方形、正方形面積計算公式的推導”時，教師出示一個長5厘米、寬3厘米的長方形，求它的面積。先讓學生用1平方厘米的小正方形擺一擺，想辦法知道長方形的面積。學生擺好后，反饋交流，結合圖形說明自己的想法。

有的學生用小正方形鋪滿整個長方形，1個1個地數出長方形的面積是15平方厘米，這是最本源的方法；有的學生只在長邊和寬邊上擺出面積單位，說：一行擺5個，可以擺3行。長方形的面積是5×3=15平方厘米。教師問：其他長方形的面積是不是也可以這樣來計算呢？學生經歷任取幾個1平方厘米的正方形，拼成不同的長方形。教師繼續追問：長方形的長、寬與面積單位的個數有什么關系？長方形的面積與它的長、寬有什么關系呢？推導出長方形的面積計算公式后，學生完成教材例4（3）：量一量，再計算它們的面積。教師再繼續追問：你能自己得出正方形的面積計算公式嗎？

在這一活動過程中，學生不僅理解了長方形、正方形的面積計算公式，知道公式是怎么推導出來的，更重要的是能夠進一步感悟到在學習新知識、解決新問題時，可以通過溝通量與量之間的關系，運用以往的知識經驗去探索新思路、解決新問題，其中有兩個問題十分重要。一是：“長方形的長、寬與面積單位的個數有什么關系？長方形的面積與它的長、寬有什么關系呢？”旨在引導學生體會數據表示的意義，借助幾何直觀，溝通長、寬與每行面積單位個數、行數之間的關系，長方形的面積與它的長、寬之間的關系，進而概括出長方形的面積計算公式。二是：“你能自己得出正方形的面積計算公式嗎？”旨在利用長方形和正方形之間的關系，由學生在實際計算中通過推理得出正方形的面積計算公式，既減輕了學生的學習負擔，又便于學生形成良好的認知結構。將數學的基本知識和基本技能通過一定的“數學活動經驗”內化成為學生的數學素養，使學生的數學活動經驗從低層次向高層次轉化，從零散向系統性轉化，從低級的數學活動經驗向高級的數學思維轉化。?