“畫”里有“話”

夏光杰

蘇教版教材修訂后首次出現的“用畫線段圖整理條件和問題，分析數量關系的策略”這一教學內容，為準確了解學情，筆者編寫了一道類似例題的和差問題，在任教的兩個班分別做了課前調查，統計結果如下：

兩個班級均為筆者任教班級，班級整體水平相當。通過調查、對比表（一）和表（二）中的統計數據，四（2）班學生解答正確率明顯高于四（1）班，僅題目呈現方式的不同，正確率相差就如此之大，不難看出圖示直觀對厘清數量關系及支撐數學思考的有效性。

表（一）和表（二）反映出學生除了使用教材呈現的解題方法外，也出現了教材中沒有提及的方法，如20÷2=10（元），4÷2=2（元），10-2=8（元），10+2=12（元）。如果學生出現了這樣的解法，課堂教學中就有必要讓學生進行對比，思考解法上的異同點。

表（一）中的統計數據表明，在沒有學習和差問題的情況下，四（1）班有33.3%的學生能夠正確解答。課堂教學既要面向全體學生，也要關注個體差異，那么在課堂教學中，如何能讓這部分學生也能體驗到畫圖策略解決問題的價值？同時從表（一）中也能發現當學生遇到陌生問題情境，或者自己難以清晰理解題意的情況下，少部分學生有自主嘗試畫圖分析問題的需求和已有經驗，但僅占全班人數的15.2%，這種能力需要教師的精心呵護和用心培養。

針對課前調查和統計分析，教師確定了本節課的教學目標：初步學會用畫線段圖的方法整理條件和問題，能讀懂線段圖，能借助線段圖幫助分析數量關系，確定解題思路，并能正確解答相關的實際問題；在解決問題的過程中，發展幾何直觀，感受畫圖描述和分析對解決稍復雜問題的價值，進一步積累解決問題的經驗。為更好地還原教學實踐過程，現擷取部分教學片段以便分析總結。

【片段1】導入環節，激發需求

課前小組PK賽：

[明明][芳芳] [共20元][多4元][明明和芳芳各有多少元錢？][第三、四小組] [明明和芳芳一共20元錢，芳芳比明明多4元錢。明明和芳芳各有多少元錢？][第一、二小組]

師：三、四小組同學解答速度和正確率比一、二小組好，三、四小組獲勝！

（第一、二組學生）眾：不公平，他們組有圖。

師：有圖怎么啦？

生：圖更簡單，更直觀，能搞清楚數量關系……

師：今天這節課要解決的實際問題，同學們希望老師用什么方式呈現？

生（眾）：線段圖。

多媒體出示，文字描述的方式呈現例題：小寧和小春一共有72枚郵票，小春比小寧多12枚，兩人各有多少枚郵票？

師：很遺憾，老師沒有給你們準備，該怎么辦？

生：自己畫。

師：自己動手，好想法。如果有困難可以同桌交流，相互幫助。

【片段2】對比方法，交流體會

觀察畫好的線段圖，交流可以先算什么。如課前調查情況一樣，幾乎都想到將多的12枚郵票減掉，用剩下的60枚除以2得到小寧30枚，再求出小春有42枚。此時，教師引導學生再次觀察線段圖并啟發。

師：為什么先減掉12枚？

生1：這樣就好平均分了。

生2：這樣兩人就同樣多了，除以2就能算出小寧的郵票枚數。

師：同學們想得很棒，想到使他們變得同樣多后再平均分。除了可以用減掉12枚的方法能使兩人同樣多以外，還有其他能使兩人同樣多的辦法嗎？

生3：我覺得還可以將小寧增加12枚，他們也能變得一樣多。（生點頭贊同）

生4：如果小春將多出來的12枚，平均分成兩份，給一份給小寧，他們也同樣多。（生鼓掌贊同）

接著，學生選擇自己喜歡的方法解答。師選擇三種有代表性的解法讓學生板書到黑板上。

[多12張] [共有72張] [60張][72-12=60（張）

60÷2=30（張）

30+12=42（張）

答：小寧30張，小春42張。] [小寧][小春][小寧][小春] [多12張] [共有72張] [60張][72+12=84（張）

84÷2=42（張）

42-12=30（張）

答：小寧30張，小春42張。]

對比交流：方法一和方法二，想法上有什么相同？做法上有什么不同？

生5：方法一是減掉12張，方法二是加上12張。

生6：都是要變成同樣多后再平均分。

生7：方法一先算出小寧的，方法二先算出小春的。

師：同學們說得真不錯，抓住了問題的本質，線段圖上也體現得很直觀。第三種方法與前兩種想法又有什么相同和不同的地方呢？

[多12張] [共有72張] [60張][72÷2=36（張）

12÷2=6（張）

36-6=30（張）

36+6=36（張）

答：小寧30張，小春42張。][小寧][小春]

……（思考片刻后）

生8：這里也是把他們變成同樣多。

生9：但是這里總數72張沒變，剛才兩種方法中郵票總數都變了。

師：咦！這里為什么總數沒變呢？

生：小春分6枚給小寧，郵票總數沒變，但是剛才的假設都是拿掉12枚，或者借來12枚，所以總數變了。

師（向一、二小組同學）：課前PK題和例題類似，為什么現在都能做出來了？

生1：看圖很簡單。

生2：看圖讓我明白了為什么要減12枚……

師（向三、四小組同學）：你們還有什么體會？

生：我原來會一種方法，現在聽懂了三種方法。

師：你們這些體會和感受是誰帶給你的呢？

……

師：同學們以后在分析、解決問題的時候，又多了一個很好的幫手，畫圖策略我們以前用過，今天也在用，以后還要用下去。同學們以后會經常想起用畫圖的方法幫助自己解決問題嗎？

教學前通過調查分析找準了學生的認知起點，用PK賽為誘導，誘發出學生圖示直觀的內在需求。四年級學生的抽象思維能力還在逐步形成和成長之中，在學習和思考問題時更多地借助形象思維，借助實物操作或者具體的圖形、圖像，他們解決問題的經歷和經驗還不夠豐富，這給理解題中較復雜的數量關系帶來很大困難。教學中先調起學生想看線段圖而又沒有直接呈現的悱憤狀態，激發出學生想自己動手畫線段圖來表示題中數量關系的想法，意在調動學生積極動手操作。在動手操作的過程中，必然伴隨著學生自主地動眼觀察、動腦思考。借助畫線段圖的過程，能將抽象的語言文字化為具體、形象、直觀的圖形表達，從而較好地分析和解決復雜的實際問題。數學課程標準將“利用圖形描述和分析問題”界定為幾何直觀。通過與學生交流后發現，學生能夠感受到借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路。

直觀可以付諸感官的直接感知，但直接感知到的未必就有“直觀”的含義，這取決于主體的認知水平和既有的經驗積累。在教學實踐中，我們通過片段2的描述可以看到，都是借助線段圖，不同的學生想到的方法有所不同，層次也有所不同。筆者認為，教學中滲透幾何直觀，能夠幫助學生養成主動地想到用形象、直觀的圖形幫助思考、探索數學問題，從而逐漸直觀地理解數學。

幾何直觀的教學價值還在于可以化知識為能力。線段圖不但有利于學生從視覺形象的角度來表征數學問題，直觀、清楚地抓住思考問題的關鍵，有效避免學生感知疏忽和意識模糊，更能進一步幫助學生一下子抓住問題的本質進行思考和解答，提高學生的理解能力，促進學生的思維發展，是行之有效的解決問題的策略。正如數學課程標準中所說：“幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。”這是學生第一次學習用畫線段圖幫助分析題意，其實在此之前的學習中已經用過畫圖策略認識倍數、研究周長、面積等；現在學習用畫線段圖分析數量關系，畫圖解決面積變化問題等；之后還會不斷用到畫線段圖解決行程問題，用畫圖策略解決倒推問題，結合畫圖和替換策略解決問題，畫圖直觀分析分數的實際問題及長方體、正方體、圓柱、圓錐等立體圖形的表面積和體積問題，等等?？梢哉f使學生養成用圖形語言的直觀方法來分析問題、解決問題的習慣，有助于提升學生解決問題的能力，同時還有助于培養學生的符號意識和模型思想。

作為數學教師，我們應該有這樣的認識，引導并培養學生用圖形來理解和闡釋數學對象的含義，使幾何直觀貫穿整個數學學習過程。這是一個長期的、循序漸進的過程，不斷使學生積累起豐富的幾何直觀經驗，有助于提升學生的數學素養。?