向量在高中數學解題中的應用與實踐

黃佳貝

摘 要：向量為高中數學知識學習過程會涉及到的重要知識點，在幾何、代數、不等式、三角函數等多領域均有一定的使用價值。而我們作為一名高中學生，在數學知識的學習過程中，還應掌握更多向量在高中數學解題中的應用技巧，以不斷提高自身數學成績。

關鍵詞：向量；高中數學解題；應用

數學向量是有大小與方向且遵循平行四邊形法則的量，為我們有效解決數學問題的主要工具，可提升我們的數學運算能力，讓我們更深入體會數形結合思想，理解數學本質，拉近數學與其它學科的聯系，便于我們更好的認識數學，感受數學魅力，增強數學學習興趣[1]。進一步了解向量在我們日常數學知識中的應用與實踐，可提高我們數學習題解答過程中的解題正確性，還可提高解題速度[2]。以下針對簡要分析向量在立體幾何、解不等式、平面幾何、解函數問題中的應用，以便于進一步我們更加認識與了解向量這一解題工具。

1 向量在立體幾何中的應用與實踐

立體幾何為高考必考內容，題型較復雜，難度較高，我們在解答關于立體幾何的相關問題時也較吃力，因此選擇怎樣的方式來解題非常重要，可在較短時間找出解題突破口，減少解題所花費的時間，簡化解題過程。在學習立體幾何時，我們也應學會將向量應用到相關題型中，以求正確解題。如正方體ABCD-A1B1C1D1，E為棱DD1的中點，棱C1D1上是否存在一點F，讓B1F∥平面A1BE。并證明你的結論。

那么我們在解題此題時可建構坐標系的線面平行問題的向量解法，針對此類探索性問題，在解題時，我們可先求出平面法法向量，后證明法向量與直線方向向量垂直，并先假設成立，并設出相應點的坐標，通過相關知識，來列出坐標方程式，若方程式有解，表示該點存在，無解則不存在。因此該題利用向量知識解答即為：

以A點作為坐標原點，建構下圖1中的坐標系，并假設正方形棱長為1，那么B為（2，0，0），E（0，2，1），A1（0，0，2），B1（2，0，2）。∴ =（-2，2，1）， =（-2，0，2），若假設面BEA1的法向量為m=（x，y，z），那么m· =-2x+2y+z=0，，且m· =2x+2z=0，若取x=1，那么Z=-1，而y= ，∴m=（1， ，-1），若在棱C1D1上存在一點F，讓B1F∥平面A1BE，若假設F為（x0，2，2）（0≤x0≤2），那么 =（x0-2，2，2），那么m· =1×（x0-2）+ ×2+（-1）×2=0.最終得出結論 =1，∴F為C1D1中點，B1F∥平面A1BE。

2 向量在平面幾何中的應用與實踐

平面幾何也是數學課堂上我們需要重點學習的知識點，而將向量應用于平面幾何中，可讓原本復雜的題型更加簡單化，并得出最終結論值[3]。如我們在解答五邊形ABCDE，M、N、P、Q分別為邊AB、CD、BC＼DE中點，而K、H則為MN與PQ中點，證明：KH AE。

此題中因線段偏多，需先明確一些線段為已知向量，而余下的則通過已知向量表示，通過向量共線定理，利用向量運算完成，最終證明方法為：將五邊形頂點A看作起點，而剩余頂點為終點的向量為已知向量，余下的視為未知向量，設法將需要的向量通過已知向量表達出來（如圖2）。那么即可得出， = = [ （ ）]= （ + + ）。而 = （ + ）= [ （ + ）+ （ + ）]= （ + + ）+ = = + 。因此得出， = - = ，最終也就證明了KH AE。

3 向量在解不等式中的應用與實踐

在平時的習題練習中，我們會遇到各種不等式問題，也可通過向量法來解決，比如在解答△ABC時，其3個頂點依次為A（0，-4）、B（4，0）、C（-6，2），點E、F、D均為邊AB、AC與BC中點，求直線FD、EF、DE的方程。此題中可通過向量來進一步探析各元素之間的關系，將要分析的問題轉變為共線向量與直線向量問題，再求EF與FD所表示的直線方程，那么即可得出，三角形ABC的3個頂點坐標為A（0，-4），B（4，0）、C（-6，2），得出3個中點F、D、E坐標分別為（2，-2）、（-1，1）、（-3，-1），若設M（x，y）為直線DE上的一點，加之 ，那么x+1=-（y-1），因此DE的方程即為y=-x，也就得出其余直線的方程。

4 向量在解函數問題中的應用與實踐

在每次的數學試題模擬練習中我們不難看出，函數問題在高考中所占的分數比重也相當高，那么我們在解此類題時，也可借助向量來進行分析。如求解函數f（x）= + 的值域。求解時，令 =（1，1）， =（ ， ），由 ≤ · · ，也就得出 [ ， ]，進而得出 ≤ ，因此

總之，向量在我們數學習題解答中的應用較廣，它實現了傳統幾何定性推理至代數運算定量分析的過渡，可化繁為簡，降低運算難度，更利于我們準確的、快速的解答出數學習題，讓我們更輕松掌握高中數學知識。因此，在高中數學知識學習過程中，我們每一位為了高考而共同拼搏的伙伴都應學會利用向量這一解題工具解答數學問題，以更好應對立體結合、平面幾何、不等式等多種數學高考難題。

參考文獻

[1]龔華梅.高中生“空間向量與立體幾何”學習中典型錯誤及歸因研究[D].西南大學，2011.

[2]陳曉敏.拓展思維，簡潔直觀——例談向量法在高中數學解題中的妙用[J].中學數學，2014（05）：14-16.

[3]楊國棟.關于高中向量的相關知識板塊——提高高考解題思維和能力[J].理科考試研究，2013（09）：20-21.